Các quy ớc viết tắt
1-ĐPCM : điều phải chứng minh
2-BĐT : Bất đẳng thức
3-CMR : Chứng minh rằng
4-GTNN : Giá trị nhỏ nhất
5-GTLN : Giá trị lớn nhất
6-THCS : Trung học cơ sở
ĐặT Vấn đề
I)lý do chọn đề tài
Khi giảng dạy các đội tuyển học sinh giỏi ,học sinh thờng gặp dạng toán Chứng
minh bất đẳng thức có điều kiện .Tôi thấy học sinh thờng e ngại hoặc làm bài
không tốt dạng toán này.Lý do là học sinh không chứng minh đợc các bài toán đó vì
không tìm đợc cách chứng minh .Để đáp ứng một phần đòi hỏi thực tế đặt ra tôi đã nghiên
cứu và mạnh dạn trình bày Sáng kiến về biến đổi để chứng minh bất đẳng thức có điều
kiện . Đây là một trong các cách giải cho bài toán bất đẳng thức có điều kiện và qua thử
nghiệm tôi thấy phơng pháp này có hiệu quả nhất định trong quá trình giảng dạy học
sinh .
II) Điều tra thực trang tr ớc khi nghiên cứu :
Để đánh giá đợc khả năng giải toán về chứng minh bất đắng thức , tôi đã tiến hành
kiểm tra 20 em học sinh giỏi lớp 8 ở trờng ra đề cho học sinh làm bài trong 30 phút nh
sau:
Bài1: (6đ) a) Ch o a + b = 2 Chứng minh rằng a
2
+ b
2
2
b) Cho a > 2 , b > 2 .Chứng minh rằng ab - 2a - 2b + 4 > 0
Bài 2 : ( 4 đ ) Cho a + b > 1
CMR : a
4
+ b

những bài cha áp dụng đợc phơng pháp này ).
- Chuyên đề này còn để ngỏ để tiếp tục khai thác nên chuyên đề vẫn còn nhiều vấn
đề để mở không đi sâu hết các dạng đề bài.
Giải quyết vấn đề
5
A ) Các công thức cơ bản:
I)Các hằng đẳng thức:
(a b)
2
=a
2
2ab +b
2
( a b)
2
= a
2
3a
2
b +3ab
2
b
2
(a+b)(a-b) = a
2
- b
2
( a+ b )( a
2
- ab + b

2
0 với a ,b
a
2
0 với a .
B)Các ví dụ minh hoạ :
I.) Điều kiện bài toán là đẳng thức:
Bài1 Cho a + b = 6 Chứng minh: a
4
+ b
4
162
Giải
Do a + b = 6 nên có thể đặt




=
+=
mb
ma
3
3
với m tuỳ ý
Ta có : a
4
+ b
4
= (3 + m)

mb
ma
2
2
với m tuỳ ý
Ta có : a
4
+ b
4
= (2 + m )
4
+ (2- m)
4
= 32 + 48m
2
+2m
4
32
Với mọi m . Đẳng thức xảy ra khi m =0 hay a = b = 2 . Ta suy ra ĐPCM.
Nhận xét 1:Nếu giả thiết cho a + b = c ta nên đặt ẩn phụ tơng ứng nh trên với








=
+=

1
1
Với a,b tuỳ ý
Thay vào vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta có:
x
2
+ y
2
+ z
2
+xy +yz +zx = (1 + a)
2
+ (1 + b )
2
+ (1 - a - b)
2
+
+ (1+ a) (1 + b) + (1+b) (1- a -b) + (1- a - b)(1+ a) = 6 + a
2
+ ab + b
26
4
3
2
6
2
2

m
k
x
3
3
3
Hoặc









+=
+=
+=
c
k
z
b
k
y
a
k
x
3
3





++






+






+++












Nhận xét 3 : Nếu giả thiết cho a + b + c + d = k .
Ta có thể đặt theo 2 cách :












=
+=
+=
++=
zy
k
d
zy
k
c
zx
k
b
zx
k
a

b
m
k
a
4
4
4
4
với m + n + p + q = 0
Bài 5: Cho a + b = c + d chứng minh rằng.
a
2
+ d
2
+ cd 3ab
a
2
+ b
2
+ ab 3cd
Giải
Phần a , b tơng tự nhau, ta chứng minh phần a.
Giải: Do a +b = c + d nên ta đặt




=
+=
xbd