BÀI TẬP SỐ 2

XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
Mục đích: giúp sinh viên hình thành kỹ năng giải bài toán liên quan đến xác suất có điều
kiện. Các công thức sử dụng: xác suất có điều kiện, xác suất giao (theo quy tắc nhân)
hoặc xác suất tổng (công thức phân hoạch).

Tóm tắt lý thuyết:
Xác suất có điều kiện:


















A, B độc lập  Pr(A|B) = Pr(A)
Luật nhân:
Pr(AB) = Pr(A|B) Pr(B) = Pr(B|A) Pr(A)
Pr(A

} là một phân hoạch của không gian mẫu S (nghĩa là



 và A
i
là các
biến cố tách rời)


























Xích Markov: là một tiến trình ngẫu nhiên với
Pr(X
n+1
=x
n+1
|X
1
=x
1
, ,X
n
=x
n
) = Pr(X
n+1
=x
n+1
|X
n
=x
n
)
Xích Markov hữu hạn: chỉ có k trạng thái, và tại mỗi thời điểm xích chỉ nhận 1 trong k
trạng thái đó. Khi đó, ma trận chuyển (ký hiệu P) có kích thước k×k và p
ij
(phần tử hàng i
cột j của P) là xác suất chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j, vector xác suất đầu có kích

c
B
c
)
Pr(C) =Pr(C|AB) Pr(AB) + Pr(C| A
c
B) Pr(A
c
B) + Pr(C|AB
c
) Pr(AB
c
) + Pr(C|
A
c
B
c
)Pr(A
c
B
c
) = 3/23 . 4/24 . 5/25 + 4/23 . 20/24. 5/25 + 4/23 . 5/24 . 20/25 + 5/23 .
19/24 . 20/25 = 0,2

Bài tập tự giải:
1) Cho Pr(A|B) = 0,4 và Pr(B) = 0,5. Xác định: a) Pr(A ∩ B) b) Pr(A
c
∩ B)

2) Cho Pr(A|B) = 0,2 và Pr(A|B

b) Xác định vector trạng thái đầu
c) Xác định xác suất A đi làm bằng xe máy vào ngày thứ 5.
Giải:
Tiến trình này là xích Markov vì hậu quả của 1 ngày chỉ phụ thuộc vào hậu quả cùa ngày
trước đó.
Không gian trạng thái bao gồm 2 trạng thái: xe máy (ký hiệu: M), xe buýt (ký hiệu: B)
Vì A không đi xe buýt liên tục 2 ngày, nên nếu A đi xe buýt, hôm sau A chắc chắn không
đi xe buýt. Suy ra các giá trị xác suất P(X
n
=M|X
n
-1=B)=1, P(X
n
=B|X
n-1
=B)=0
Nếu A đi xe máy, thì hôm sau hoặc A đi xe buýt hoặc đi xe máy. Suy ra:
P(X
n
=M|X
n
-1=M)= P(X
n
=B|X
n-1
=M)=1/2
Như vậy, ma trận chuyển là:


 



 


Suy ra xác suất A đi xe máy vào ngày thứ 5 là 61/96.

Bài tập tự giải:
1) Một trường học có 200 học sinh nam và 150 học sinh nữ. Trong buổi khám sức khỏe,
lần lượt từng học sinh được chọn vào kiểm tra mắt. Gọi X
n
là biến xác định giới tính của
học sinh thứ n vào kiểm tra mắt. Hỏi tiến trình này có phải là xích Markov không, tại sao.
Nếu phải:
a) Xác định ma trận chuyển.
b) Xác định vector trạng thái đầu.
c) Xác định giới tính của học sinh vào khám ở lượt thứ 5.

2) A, B, C chơi ném bóng. A luôn ném bóng cho B, và B luôn ném bóng cho C, nhưng
khi C giữ bóng thì khả năng C ném cho A và B là như nhau. Gọi X
n
là biến xác định
người ném bóng thứ n. Hỏi tiến trình này có phải là xích Markov không, tại sao. Nếu
phải, xác định ma trận chuyển.
a) Xác định ma trận chuyển.
b) Xác định vector trạng thái đầu.
c) Xác định người ném bóng ở lượt thứ 4.

Bài tập thêm (không bắt buộc)
Bài tập 6: Trong 18 xạ thủ có 5 người có khả năng bắn trúng bia với xác suất 0,8; 7