Th viện SKKN của Quang Hiệu : http://quanghieu030778.violet.vn
Các tài liệu tham khảo
1) Tạp trí toán học tuổi trẻ tháng 1/2002
(Hội toán học Việt Nam)
2) Một số vấn đề phát triển đại số 8, 9
(Tác giả Vũ Hữu Bình - Nhà xuất bản Giáo dục 2002)
3) 500 bài toán bất đẳng thức
(TG. Phan Huy Khải - NXB Giáo dục 1996)
4) Tuyển tập các đề thi đại học cao đẳng
(TG. Lê Thống Nhất - NXB Giáo dục 2001)
5) Phơng pháp giảng dạy Toán
( TG. Hoàng Chúng - NXB Giáo dục)
ĐặT Vấn đề
I)lý do chọn đề tài
Khi giảng dạy các đội tuyển học sinh giỏi ,học sinh thờng gặp dạng toán
Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện .Tôi thấy học sinh thờng e
ngại hoặc làm bài không tốt dạng toán này.Lý do là học sinh không chứng
minh đợc các bài toán đó vì không tìm đợc cách chứng minh .Để đáp ứng
một phần đòi hỏi thực tế đặt ra tôi đã nghiên cứu và mạnh dạn trình bày
Sáng kiến về biến đổi để chứng minh bất đẳng thức có điều kiện . Đây là
3
một trong các cách giải cho bài toán bất đẳng thức có điều kiện và qua thử
nghiệm tôi thấy phơng pháp này có hiệu quả nhất định trong quá trình giảng
dạy học sinh .
II) Điều tra thực trang tr ớc khi nghiên cứu :
Để đánh giá đợc khả năng giải toán và có phơng án , phơng pháp truyền
đạt đến học sinh.Tôi đã tiến hành kiểm tra 20 em học sinh giỏi lớp 8 ở trờng
ra đề cho học sinh làm bài trong 30 phút nh sau:
Bài1: (6đ) a) Ch a + b = 2 Chứng minh rằng a
2
+ b

IV) Phạm vi áp dụng của đề tài .
- Bản kinh nghiệm sáng kiến này đợc áp dụng trong việc giảng dạy
các chuyên đề trong trờng học hoặc sử dụng để bồi dỡng nâng cao vốn
kiến thức cho các đội tuyển học sinh giỏi môn toán lớp 8 , lớp9 và các
lớp bậc trung học phổ thông .
- Dạng toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh
bất đẳng thức có điều kiện có thể sử dụng phơng pháp này .Song tuỳ
4
theo từng bài cụ thể . ( Còn có những bài cha áp dụng đợc phơng pháp
này ).
- Chuyên đề này còn để ngỏ để tiếp tục khai thác nên chuyên đề vẫn
còn nhiều vấn đề để mở không đi sâu hết các dạng đề bài.
Giải quyết vấn đề
A ) Các công thức cơ bản:
I)Các hằng đẳng thức:
(a b)
2
=a
2
2ab +b
2
( a b)
2
= a
2
3a
2
b +3ab
2
b



4ab
3
+b
4
II) Các bất đẳng thức :
(a b)
2
0 với a ,b
a
2
0 với a .
B)Các ví dụ minh hoạ :
I.) Điều kiện bài toán là đẳng thức:
Bài1 Cho a + b = 6 Chứng minh: a
4
+ b
4
162
Giải
Do a + b = 6 nên có thể đặt
5




=
+=
mb

Giải: Do a + b = 4 nên có thể đặt




=
+=
mb
ma
2
2
với m tuỳ ý
Ta có : a
4
+ b
4
= (2 + m )
4
+ (2- m)
4
= 32 + 48m
2
+2m
4
32
Với mọi m . Đẳng thức xảy ra khi m =0 hay a = b = 2 . Ta suy ra ĐPCM.
Nhận xét 1:Nếu giả thiết cho a + b = c ta nên đặt ẩn phụ tơng
ứng nh trên với




=
+=
+=
baz
by
ax
1
1
1
Với a,b tuỳ ý
Thay vào vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta có:
x
2
+ y
2
+ z
2
+xy +yz +zx = (1 + a)
2
+ (1 + b )
2
+ (1 - a - b)
2
+
+ (1+ a) (1 + b) + (1+b) (1- a -b) + (1- a - b)(1+ a) = 6 + a
2
+ ab + b
2


=
+=
+=
nm
k
z
n
k
y
m
k
x
3
3
3
Hoặc









+=
+=
+=
c
k












++






+






+++





2
2
= zyx
Vớii mọi x , y . z .
Dấu = xảy ra khi x - y = z = 0 hay a = c và b = d suy ra ĐPCM.
Nhận xét 3 : Nếu giả thiết cho a + b + c + d = k .
Ta có thể đặt theo 2 cách :












=
+=
+=
++=
zy
k
d
zy
k
c
zx

p
k
c
n
k
b
m
k
a
4
4
4
4
với m + n + p + q = 0
Bài 5: Cho a + b = c + d chứng minh rằng.
7
a
2
+ d
2
+ cd 3ab
a
2
+ b
2
+ ab 3cd
Giải
Phần a , b tơng tự nhau, ta chứng minh phần a.
Giải: Do a +b = c + d nên ta đặt


Dấu = xảy ra khi x = a - b +
2
x
= 0 hay a = b = c = d
Với c
2
+ d
2
+cd 3ab với a, b thoả mãn a + b = c + d
Bài 6 : Cho a + b + c + d = 2 CMR a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
1
Vì a + b + c + d = 2 nên đặt
td;yb
zc;xa
+=+=
+=+=
2
1
2
1
2
1
2







++






+= tzyx
ttzzyyxx +++++++++++
2222
4
1
4
1
4
1
4
1
( )
( )
tzyxtzyx ++++++++




n
2
22
4
2
3
2
2
2
1
+++++
Ta nên đặt
,x
n
k
a
11
+=
,x
n
k
a
22
+=
,x
n
k
a
33
+=

3
= 9 +9 t +9t
2
9 vì t 0
Dấu = xảy ra khi t = 0 hay x = 1 và y = 2 suy ra ĐPCM
b) 2x
4
+ y
4
=2 (1 - t)
4
+ ( 2 + t)
4
=18 +24t + 36 t
2
+ 3t
4
18 vì t 0
Dấu = xảy ra khi t = 0 hay x =1 và y =2 Suy ra ĐPCM
Nhận xét 5: Với điều kiện x + y = k và y l (hay x n) thì nên
đặt y = 1 + m với m 0 ( hay x = n - m với m 0)
Từ đó suy ra x = k - l - m (hay y = k - n - m)
suy ra:



+=
=
mly
mlkx


++=
=
kty
tx
3
2
Thay vào vế trái của bất đẳng thức ta có
5x
2
+2y
2
+8y = 5 (2 - t )
2
+ 2(3 + k + t )
2
+8 (3 + k + t) =
= 62 + 2 (k + t )
2
+5t
2
+20 k > 62 k , t Suy ra ĐPCM .
Bài 9 Cho a + b > 8 và b > 3 Chứng minh rằng:
27a
2
+10 b
3
> 945

Giải Do a + b > 8 và b > 3 Nên ta đặt

310527 ttk
( )
945109027027945
32
2
++++= ttktk
Vì ,t,k >0 Suy ra ĐPCM
Nhận xét6:Nếu điếu kiện cho là:




+
vx
uyx
Ta nên đặt



=
+=+
mvx
nuyx
Với m,n > 0 từ đó



=
++=
mvx

+b
4
+c
4
a
3
+ b
3
+ c
3
Giải:
Do a + b + c 3 nên ta đặt :






+=
+=
+=
zc
yb
xa
1
1
1
Thoả mãn x + y + z 0
Xét hiệu :
=++


++






++






++++
+
zyxz
z
y
y
x
xzyx
Vậy:
333444
cbacba ++++
Dấu'' = ''xảy ra khi x = y = z hay a = b = c = 1
Nhận xét 7
Đây là đề thi học viện bu chính viễn thông.Ta thấy nếu biết cách đặt ẩn phụ
hợp lý học sinh vẫn có thể chứng minh đợc đối với học sinh THCS

=
( )
( )
( )
( )
2332
2222
+++++++ yxyxyxyxyx
Vì
0+ yx
Suy ra
2
33
+ ba
Trái giả thiết.Vậy a + b < 2
Bài 12 Cho a
4
+ b
4
< a
3
+ b
3
Chứng minh rằng: a + b < 2
11
Giải Phơng pháp phản chứng:
Giả sử
2+ ba
.Đặt


3344
baba
với a + b 2 Thì: a
4
+ b
4
a
3
+ b
3
Trái với giả
thiết . Vậy a + b < 2
Bài toán 13
Cho a,b,c là 3 số dơng Chứng minh :
2
3

+
+
+
+
+ ba
c
ca
b
cb
a
Giải:
Đặt x = b + c ; y = c + a ; z = a + b Khi đó:
2

2
1
111
2
1
222
=++
















++







+
z
y
y
z
z
x
x
z
y
x
x
y
z
y
z
x
y
z
y
x
x
z
x
y
z
zyx
y
zyx
x

v
v
u
u
Giải
Đặt a = u +
u
1
và
v
vb
1
+=
Ta có a > 0, b > 0
Và
2
2






+ ba
<
2
22
ba +
(1)
Vì

11
2
11
11
2
1
2
2
2
22
22
22
=






+






















++






+=
+
uv
vu
vu
v
v
u
u
v
v
u

2
2
2
+






++
a
b
b
a
a
b
b
a

Giải : Đặt x =
a
b
b
a
+
ta có :
2
2
2

( )( )
021 xx
Nếu ab< 0

Thì ta có
02
22
++ baba
abba 2
22
+
Chia cả hai vế cho ab ta đợc
2
22

+
ab
ba
Vậy x
2

Trong cả hai trờng hợp thì
( )( )
021 xx
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b
c) Kết quả thực hiện
1)Kết quả chung
Sau khi học sinh đợc thực hành '' Sáng kiến đổi biến để chứng minh bất đẳng
thức có điều kiện ''đa số các học sinh khá giỏi không những học sinh nắm
vững cách đặt ẩn phụ mà còn biết vận dụng các hằng đẳng thức một cách


4
9
b)Cho a + b = 1tìm GTNN của M = a
3
+ b
3
+ ab
14
Đề 3
Cho x + y = 3 và x 1.chứng minh rằng:
a)2x
2
+ y
2
6
b) xy 2
c) x
3
+ y
3
- 6x
2
- 3y
2
+ 9 0
Kết quả thực hiện nh sau :
Điểm Dới5
56
7

3x
Đề 2:
a) Cho x + y = c + d = 1 Chứng minh rằng
bdac
< 1
b)Cho a + b + c + d 2 Chứng minh rằng
1+++ dcba
Đề 3
a) Cho a
2
+ b
2
2 chứng minh rằng a + b 2
b) Cho a + b 2 Chứng minh rằng
3344
baba ++
Kết quả cụ thể nh sau
Điểm
Dới 5 5 - 6 đ 7đ 8-10 5-10
Đề SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
1 9 45 7 35 3 20 0 0 11 55

tiêu đơn giản là giúp cho giải toán Chứng minh bất đẳng thức có điều
kiện có thêm một cách giải mới vừa đơn giản dễ nhớ và hiệu quả
Qua đề tài giúp cho bản thân tôi cũng nh các thầy co giáo và học sinh
thấy đợc mọi vấn đề đều có hớng giải quyết , nếu nh ta biết đơn giản hoá
các vấn đề phức tạp .
B. Kiến nghị , đề xuất hớng nghiên cứu .
Qua thực tế áp dụng đề tài tôi xin lu ý các đồng chí khi vận dụng đề tài trên
đây cần :
- Dạy cho học sinh nắm chắc các đẳng thức , các bất đẳng thức cơ bản .
- Đặt ẩn phụ hợp trên cơ sở điều kiện đề toán có lời giải chứng minh ngắn
gọn nhất cho bài toán .
- Mở rộng phơng pháp cho các dạng toán khác nh các bất đẳng thức khó ,
các bài giải phơng trình , các bài giải hệ phơng trình có đều kiện kèm
theo .
- Từ kết quả đúc rút kinh nghiệm từ bản thân tôi xin kiến nghị .
- Đối với hội đồng khoa học cấp trờng , cấp huyện cần xem xét phơng
pháp mà tôi trình bầy trong đề tài này để có những nhận xét , đánh giá
những u nhợc điểm của đề tài , và hớng chỉ đạo trong thời gian tới . Tôi
hy vọng đề tài sẽ đóng góp một phần trong công tác nghiên cứu khoa học
và áp dụng vào giảng dạy ở nhà trờng .
16