Chuyên đề chứng minh bất thức
(Tham khảo của nhiều tác giả)
Phần I. kiến thức cơ bản.
1-Đinhnghĩa

0
0
A B A B
A B A B




2.Các tính chất bất đẳ ng thức :
1.
dbcadcba
+>+>>
,
6.
nn
baba
>>>
0
2.
dbcadcba
><>
,
7.

10.
ba
abba
11
0,
<>>
3.Một số hằng bất đẳng thức

1.
A
2


0 với

A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
4.
A B A B+ +
( dấu = xảy ra khi
2.
0

A
với
A

(dấu = xảy ra khi A = 0 )
3.
A
< A =

.....
321
.
*Dạng đơn giản:
3
3
;
2
abc
cba
ab
ba

++

+
.
3.Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốpx-ki:
*Cho n cặp số bất kì
nn
bbbbaaaa ,.....,,,;,.....,,,
321321
, ta có:
).....)(.....(),.....,(
22
3
2
2
2
1

*Dạng đơn giản;
))(()(
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2211
bbaababa
+++
.
*Biến dạng:
222222
)()( dcbadbca
++++++
Chuyên đề BDHS chứng minh bất thức Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên NHa
năm 2007
1
4.Một số bất đẳng thức đ ợc áp dụng:
1.
2
11


x
x

11
11110
+

+

+++<
ab
a
bc
a
bcacabcba
3.
4
11
)(







++
ba
ba
;
9
111
)(

4
ba
ab
ba
ba
ab
abba
+

+

+
+
13
xy
yx



+

1
2
1
1
1
1
22
5
.

2
++

+
6
ab
ba







+
2
2
hay
( )
abba 4
2
+
1
5
0,;
411

+
+
ba

)1(2
1
221
kk
kkkkk
+=
++
>
+
=
9
)1(2
1
221
=
+
<
+
=
kk
kkkkk
1
8
Phần II. Một số ph ơng pháp cơ bản.
Ph ơng pháp 1 : dùng định nghĩa
Kiến thức : Để chứng minh A > B
Ta chứng minh A - B > 0
Lu ý dùng hằng bất đẳng thức M
2


2
+ y
2
+ z
2
- xy yz zx =
2
1
.2 .( x
2
+ y
2
+ z
2
- xy yz zx) =
=
2
1
[ ]
0)()()(
222
++
zyzxyx
đúng với mọi x;y;z
R
Vì (x-y)
2
0 vớix ; y do đó dấu bằng
xảy ra khi x=y (x-z)
2

2
0

đúng với mọi x;y;z. Vậy x
2
+ y
2
+ z
2

2xy 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z
R
.Dấu
bằng xảy ra khi x+y=z
c) Ta xét hiệu: x
2
+ y
2
+ z
2
+3 2( x+ y +z ) = x
2
- 2x + 1 + y
2
-2y +1 + z
2
-2z +1 = (x-1)
2
+ (y-1)
2


++

++
cbacba
c) Hãy tổng quát bài toán
Lời giải: a) Ta xét hiệu:
2
22
22






+

+
baba
=
( )
4
2
4
2
2222
bababa
++


baba
; Dấu bằng xảy ra khi a = b.
b)Ta xét hiệu:
2
222
33






++

++
cbacba
=
( ) ( ) ( )
[ ]
0
9
1
222
++
accbba
Vậy
2
222
33


aaa
nn
Tóm lại các bớc để chứng minh A

B tho định nghĩa
Bớc 1: Ta xét hiệu H = A - B
Bớc 2:Biến đổi H= (C + D )
2
hoặc H= (C + D )
2
+ .+ ( E + F )
2
Bớc 3:Kết luận A B
Ví dụ Chứng minh m,n,p,q ta đều có
m
2
+ n
2
+ p
2
+ q
2
+1 m ( n + p + q + 1 )
Lời giải:
01
4444
2
2
2
2

++








+
m
m
qmq
m
pmp
m
nmn
m
01
2222
2222







+












=
=
=
=
01
2
0
2
0
2
0
2
m
q
m
p
m
n
m


1
2
qpn
m
phơng pháp 2 : Dùng phép biến đổi tơng đơng
L u ý : Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã
đợc chứng minh là đúng.
Chú ý các hằng đẳng thức sau:

( )
22
2
2 BABABA
++=+

( )
BCACABCBACBA 222
222
2
+++++=++

( )
3223
3
33 BABBAABA
+++=+
Chuyên đề BDHS chứng minh bất thức Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên NHa
năm 2007
3
Ví dụ 1: Cho a, b, c, d, e là các số thực chứng minh rằng:

044
22
+
baa

( )
02
2

ba
(bất đẳng thức này luôn
đúng). Vậy
ab
b
a
+
4
2
2
(dấu bằng xảy ra khi 2 a = b )
b)
baabba
++++
1
22
)
)(21(2
22
baabba
++>++

044444444
22222222
+++++++
cacadadacacababa


( ) ( ) ( ) ( )
02222
2222
+++
cadacaba
Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng:
( )( ) ( )( )
4488221010
babababa
++++
Lời giải:
( )( ) ( )( )
4488221010
babababa
++++


128448121210221012
bbabaabbabaa
++++++




)
2
( a
4
+ a
2
b
2
+b
4
)

0
Bất đẳng thức cuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 3: cho x.y =1 và x.y ;Chứng minh
yx
yx

+
22

22
.
Lời giải:
yx
yx

+
22


+y
2
+2-
22
x+
22
y -2

0

x
2
+y
2
+(
2
)
2
-
22
x+
22
y -2xy

0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2

(x-y-
2
)
2

111
1..
Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1

Lời giải:
Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1
=(xyz-1)+(x+y+z)-xyz(
zyx
111
++
)=x+y+z - (
0)
111
>++
zyx
(vì
zyx
111
++
< x+y+z theo gt)


2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dơng.
Nếủ trờng hợp sau xảy ra thì x, y, z >1

x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trờng hợp
trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1
Chuyên đề BDHS chứng minh bất thức Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên NHa
năm 2007
4

aaaa
....
....
321
321

++++
Với
0
>
i
a
3)Bất đẳng thức Bunhiacopski

( )
( )
( )
2
2211
22
2
2
1
22
2
2
2
.............
nnnn
xaxaxaxxaaa


3
.
33
CBAcbacCbBaA
++++

++
Dấu bằng xảy ra khi



==
==
CBA
cba
Ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng ( a + b ) ( b + c ) ( c + a )

8 a b c
Lời giải :
Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ:
( )
xyyx 4
2
+
Tacó
( )
abba 4
2
+

8abc
Dấu = xảy ra khi a = b = c
Ví dụ 2 1)Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1 CMR:
9
111
++
cba

2)Cho x, y,z > 0 và x +y + z = 1 CMR: x + 2y + z
)1)(1)(1(4 zyx


3)Cho a > 0 , b > 0, c> 0 CMR:
2
3

+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
4)Cho x
0


c







+

+

+

ba
c
ca
b
cb
a
cba
222
áp dụng BĐT Trê- b-sép ta có








=
2
3
.
3
1
=
2
1
Chuyên đề BDHS chứng minh bất thức Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên NHa
năm 2007
5
Vậy
2
1
333

+
+
+
+
+
ba
c
ca
b
cb
a
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=
3

222
+=+++
ab
abcdabcba
(1)
Mặt khác:
( ) ( ) ( )
acddcbcba
+++++
=( ab + cd ) + ( ac + bd ) + ( bc + ad )
=
222
111
++






++






++



22
2 dcbdacbadbca +++++=+++
( )
22222222
.2 dcdcbaba
++++++

222222
)()( dcbadbca
++++++
Ví dụ 6: Chứng minh rằng
acbcabcba
++++
222
Lời giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có
( )
( )
2
222222
.1.1.1)(111 cbacba
++++++


3
( )
( )
acbcabcbacba
+++++++
2

>>
>>
0
0
cdb
dca


( a c ) ( b d ) > cd


ab ad bc + cd > cd


ab > ad + bc (điều phải chứng minh)
ví dụ 2:
Cho a,b,c > 0 thỏa mãn
3
5
222
=++
cba
Chứng minh
abccba
1111
<++
Giải:
Chuyên đề BDHS chứng minh bất thức Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên NHa
năm 2007
6

Chia hai vế cho abc > 0 ta có
cba
111
+


abc
1
ví dụ 3
Cho 0 < a,b,c,d <1 Chứng minh rằng (1 - a).(1 - b) ( 1- c).(1- d) > 1- a b c - d
Giải:
Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab
Do a>0 , b>0 nên ab>0

(1-a).(1-b) > 1-a-b (1)
Do c <1 nên 1- c >0 ta có

(1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c


(1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)=1-a-b-c-d+ad+bd+cd


(1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều phải chứng minh)
ví dụ 4
1- Cho 0 < a, b, c <1 . Chứng minh rằng

accbbacba
222333
3222

b
>
2
a
+ b
mà 0< a,b <1


2
a
>
3
a
,
2
b
>
3
b
; Từ (1) và (2)

1+
2
a
2
b
>
3
a
+

ac
2
1
+
Cộng các bất đẳng thức ta có :

accbbacba
222333
3222
+++++
b)Chứng minh rằng : Nếu
1998
2222
=+=+
dcba
thì ac+bd =1998
Giải:
Ta có (ac + bd)
2
+ (ad bc )
2
= a
2
c
2
+ b
2222
2 daabcdd
++
22



( ) ( )
2
22
1998
=++
bcadbdac


1998
+
bdac
2-Bài tập : 1, Cho các số thực : a
1
; a
2
;a
3
.;a
2003
thỏa mãn : a
1
+ a
2
+a
3
+ .+a
2003
=1

1
).(1
1

cba
Ph ơng pháp 5: dùng tính chấtcủa tỷ số
Kiến thức
1) Cho a, b ,c là các số dơng thì
a Nếu
1
>
b
a
thì
cb
ca
b
a
+
+
>
b Nếu
1
<
b
a
thì
cb
ca
b

++
<
bad
d
adc
c
dcb
b
cba
a
Giải :
Chuyên đề BDHS chứng minh bất thức Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên NHa
năm 2007
7
Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có

dcba
da
cba
a
cba
a
+++
+
<
++
<
++
1
(1) Mặt khác :

+++
+
<
++
<
+++
(4)
dcba
cb
adc
c
dcba
c
+++
+
<
++
<
+++
(5)

dcba
cd
bad
d
dcba
d
+++
+
<

b
a
<
d
c
db
cdab
<
+
+
22
Giải: Từ
b
a
<
d
c
22
d
cd
b
ab
<


d
c
d
cd
db


d
b

Từ :
c
a

d
b


d
b
dc
ba
c
a

+
+


1

c
a
vì a+b = c+d
a, Nếu :b
998

b
c
a
+
=999+
999
1
khi a=d=1; c=b=999
Ph ơng pháp 6: Phơng pháplàm trội
L u ý:
Dùng các tính bất đẳng thức để đa một vế của bất đẳng thức về dạng tính đợc tổng hữu hạn hoặc tích hữu
hạn.
(*) Phơng pháp chung để tính tổng hữu hạn :
S =
n
uuu
+++
....
21
Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u
k
về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau:

1
+
=
kkk
aau
Khi đó :
S =

2
2
1
......
++
=
nn
n
a
a
a
a
a
a
a
a
Ví dụ 1 :
Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng
Chuyên đề BDHS chứng minh bất thức Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên NHa
năm 2007
8

4
31
....
2
1
1
1
2

1
1
1
==++>++
+
+
+
n
n
nnnnn
Ví dụ 2 :
Chứng minh rằng:
( )
112
1
....
3
1
2
1
1
+>++++
n
n
Với n là số nguyên
Giải : Ta có
( )
kk
kkkk
+=

1
....
3
1
2
1
1
+>++++
n
n
Ví dụ 3 : Chứng minh rằng
2
1
1
2
<

=
n
k
k

Zn

Giải: Ta có
( )
kkkkk
1
1
1

2
1
222
2
2
2
<+++


<
<
<
n
nnn
Vậy
2
1
1
2
<

=
n
k
k
Ph ơng pháp 7: Dùng bất đẳng thức trong tam giác
L u ý : Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0
Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a
Ví dụ1 : Cho a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng
Chuyên đề BDHS chứng minh bất thức Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên NHa