một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
Th viện SKKN của Quang Hiệu http://quanghieu030778.violet.vn/
Phần A: đặt vấn đề
I. lí do:
Mục tiêu giáo dục hiện nay là nâng cao chất lợng, hiệu quả của việc dạy và
học, làm cho kết quả học tập của học sinh ngày một nâng cao. Muốn đáp ứng đợc
yêu cầu đó thì nhiệm vụ của giáo viên và học sinh là: Phải dạy và học thế nào để
đạt hiệu quả cao nhất.
Cùng với các môn học khác, môn toán là môn học giữ vai trò rất quan
trọng. Thông qua môn toán học sinh nắm vững kiến thức toán học, từ đó có cơ sở
thuận lợi để học các môn học khác, cũng nh ứng dụng các kiến thức đã học vào
thực tiễn. Dạy toán tức là dạy phơng pháp suy luận. Học toán là rèn luyện khả
năng t duy logic. Giải toán là hoạt động hấp dẫn và bổ ích. Nó giúp các em nắm
vững thêm kiến thức, phát triển từng bớc năng lực t duy, hình thành kĩ năng kĩ
xảo.
Đối với học sinh bậc trung học cơ sở hiện nay thì nhiều phần trong môn đại
số là rất khó. Một trong các phần đó là phần bất đẳng thức. Các bài toán về bất
đẳng thức thờng khó nhng lại hay, loại toán này rất đa dạng và phong phú, có
nhiều ứng dụng, đặc biệt rèn luyện tốt t duy sáng tạo, kĩ năng suy luận. Để giải tốt
loại toán này cần vận dụng rất nhiều kiến thức một cách linh hoạt. Trong sách giáo
khoa không đề cập nhiều đến dạng toán này, tuy nhiên trong các đề thi học sinh
giỏi, thi vào trung học phổ thông thì lại thờng xuyên có loại toán này. Bên cạnh đó
nếu học tốt các bất đẳng thức sẽ giúp học sinh học tốt hơn các phần khác. Qua tìm
hiểu thực tế tôi thấy học sinh rất sợ dạng bài chứng minh bất đẳng thức. Trớc
thực trạng nh vậy chúng ta không khỏi băn khoăn, trăn trở phải làm thế nào để
tháo gỡ giúp các em bớt đi khó khăn khi gặp các bài toán về bất đẳng thức.
Trong phạm vi nhỏ hẹp này tôi xin đợc trình bày một số ý kiến nhỏ mà qua
thực tế giảng dạy tôi thấy đã làm giảm bớt khó khăn cho học sinh khi giải các bài
toán về bất đẳng thức, làm cho các em say mê, hứng thú học toán hơn.
Trang 1
một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
Trang
2
một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
III . đối tợng, phơng pháp ngnhiệm vụ
1. Đối tợng và phơng pháp nghiên cứu
*Đối tợng nghiên cứu : học sinh THCS
*Phơng pháp nghiên cứu :
+ Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh.
+ Thực nghiệm giảng dạy bồi dỡng học sinh giỏi lớp 8, 9.
+ Trao đổi trong các nhóm chuyên môn.
+ Điều tra, đánh giá kết quả của học sinh sau khi thực nghiệm đề tài.
2. Nhiệm vụ của đề tài
- Đa ra những kiến thức cơ bản nhất về bất đẳng thức.
- Đề xuất một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức.
- Rèn cho học sinh kĩ năng phân tích tìm lời giải bài toán chứng minh bất đẳng
thức.
- Rèn cho học sinh biết lựa chọn phơng pháp giải hợp lí cho mỗi bài toán.
Muốn vậy phải rèn khả năng phân tích, xem xét bài toán dới nhiều góc độ khác
nhau, cũng nh tính đặc thù của mỗi bài toán, từ đó mà lựa chọn cách giải phù hợp.
Nó giúp phát huy khả năng t duy sáng tạo, linh hoạt, tạo đợc lòng say mê, tự tin và
không ngại ngùng khi gặp bài toàn về bất đẳng thức.
IV.nội dung đề tài
I : Các kiến thức cần nắm vững.
II : Một số phơng pháp thờng dùng để chứng minh bất đẳng thức.
III : Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng.
IV :

Trang


ac > bc
a > b; c < 0

ac < bc
4. Một số kiến thức bổ sung :
4.1 a > b; c > d

a + c > b + d
4.2 a > b; c < d

a c > b - d
4.3 a > b

0; c > d

0

ac > bd
4.4 Nếu a > b và a.b > 0 thì
<
a
1
b
1
4.5 a > b > 0

a
n
> b

Nếu a > 1 thì a
m
> a
n

Nếu a = 1 thì a
m
= a
n

Nếu 0 < a < 1 thì a
m
< a
n
4.8 a
2


0

a ;- a
2


0

a dấu = xảy ra

a = 0
4.9

ab

0 và
ba

4.12 a
2
+b
2


2ab

a ,b
4.13
ba,ab
2
ba
2
ba
2
2222










a,b
4.17 3(a
2
+b
2
+c
2
)

(a+b+c)
2
4.18 (Bất đẳng thức Côsi) Đối với hai số không âm:
21
2
21
aa
2
aa







+

Dấu= xảy ra


2
2
2
1
2
2211
+++
Mở rộng đối với 2n số bất kì :

)b...bb)(a...aa()ba...baba(
n
2
2
2
1
2
n
2
2
2
1
2
nn2211
+++++++++
Dấu = xảy ra

n1; với
====
i0a
a

2
- 4ab = a
2
+ 2ab + b
2
- 4ab
= a
2
- 2ab + b
2
= (a - b)
2
Vì (a b)
2


0 với mọi a, b

R nên (a + b)
2

4ab với mọi a, b

R
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b
Vậy (a + b)
2

4ab với mọi a, b


(a
2
+b
2
+ab)
= (a-b)
2
Rba,0
4
3b
)
2
b
(a
2
2







++
Dấu = xảy ra khi a = b.
Vậy a
4
+ b
4


1
S
1 k
+
+
+
++
+
+
+
=
+
++
++
+
++
=
+
> B
1



A
n
> B
n
(2)
Trong đó (1) là bất đẳng thức cần chứng minh.
(2) là bất đẳng thức đã có (đề bài cho hoặc là hằng bất đẳng thức).

Hớng dẫn:
9
b
1b
a
1a
(1)

++

.


ab +a+b+1

9ab (vì ab > 0)


a+b+1

8ab


2

8ab (vì a + b =1)


1


1
ba
ab 2
4

+
2

4
ab
ba
+
( Do
0ba
>+
)


bab2a0
4
+


( )
2
44
ba0

2

+
+++
++
0b2aba
2b2ab2aba
ba2ba(1)
22
2222
2
22
2
Ta thấy (2) đúng nên (1) đúng
Chứng tỏ a > 0; b > 0 thì
( )
22
ba2ba
++

Dấu = xảy ra

a = b
3. Dùng các tính chất của bất đẳng thức
- Sử dụng các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi dữ kiện đề bài cho
thành điều phải chứng minh.
- Sử dụng tính chất bắc cầu
Để chứng minh A > B ta chứng minh A > C > D > > M > B.
Từ đó suy ra A > B.
Chú ý: Một số bớc trung gian có thể xảy ra dấu = hoặc

b
2
2bc +c
2

0

với mọi b, c (3)
Do a + b + c = 1
( )
1cba
2
=++

12ac2bc2abcba
222
=+++++
(4)
Cộng từng vế của (1), (2), (3), (4) ta đợc

( )
1cba3
222
++
3
1
cba
222
++
*Ví dụ 7 : Cho a, b > 0. Chứng minh rằng

;
a
1
ta có:
)2(
ab
1
2
b
1
a
1
)1(ab2ba+
+
(Theo Côsi)
Vì các vế của các bất đẳng thức (1) và (2) đều dơng, nhân từng vế ta đợc:
ab
1
2.ab2
b
1
a
1
)ba(




Do đó (1- a)(1- b)(1- c) > 1- a- b - c (2)
Nhân hai vế của (2) với 1- d > 0 ta đợc :
(1- a)(1- b)(1- c)(1- d) > (1- a- b - c)(1- d)
Mà 1- a- b- c- d + ad + bd + cd > 1-a-b-c-d
(vì ad + bd + cd > 0)
Vậy (1- a)(1- b)(1- c)(1- d) >1- a - b - c - d
*Ví dụ 9: Chứng minh rằng: a
4
+ b
4
+ c
4

abc(a + b + c) với mọi a, b, c
Hớng dẫn
áp dụng ví dụ 1

Trang
9
một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức

)2)(cba(abccbcaba
)bc)(ac()bc)(ab()ac)(ab(cbcaba
)1(cbcabacba
222222
222222
222222444
++++
++++
++++

nn
1
...
2n
1
1n
1
)n;1k(
n
1
n
1
kn
1
222
22
+++<
+
++
+
+
+
==<
+

suy ra
1
nn
1
...


( )( )
4ab ab2 1 b
=++
ab2.aba
Vậy (a + b) . (ab + 1)

4ab
Dấu "=" xảy ra khi
1 b a
1 ab
b
==



=
=
a

Trang
10