Ví dụ 1: Cho
0m
>
còn
, ,a b c
là 3 số bất kỳ thoả mãn điều kiện
+ + =
+ +
0
2 1
a b c
m m m
Chứng minh phơng trình
+ + =
2
0ax bx c
có ít nhất một nghiệm thuộc
khoảng (0;1).
Giải:
Đặt

= + +
1 2
( ) ( ).
m
f x x ax bx c
Ta xét
( )F x
là 1 nguyên hàm của
( )f x
,

0 0 0 0 0 0 0
'( ) ( )
m m m m
F x ax bx cx x ax bx c
Nên
+ + =
2
0 0
0ax bx c
, nghĩa là phơng trình
+ + =
2
0ax bx c
có ít nhất
một nghiệm thuộc khoảng (0;1).
Nhận xét: Với cách giải trên ta có thể giải quyết bài toán tổng quát sau
Cho
0n
>
và các số
0 1
, ,...,
n
a a a
thoả mãn

+ + + + =
+
1
1

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với
a 0
>
, hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất


= + +

=

ln(1 ) ln(1 ) (6.1)
a. (6.2)
x y
e e x y
y x
( ĐH Khối D - 2006 )
Giải:
Điều kiện
> >
1, 1.x y
Rút
y
từ phơng trình (6.2) thay vào phơng trình (6.1) ta dợc phơng trình:
+
+ + + + =
a
ln(1 ) ln(1 a ) 0.
x x
e e x x
Đặt

1
lim ( ) , lim ( ) .
x x
f x f x
Nên phơng trình
( ) 0f x
=
có một nghiệm trong
( 1; )
+
. Vậy hệ phơng
trình đã cho có nghiệm duy nhất với
> 0a
.
Chú ý: Học sinh dễ mắc sai lầm khi thấy hàm số đồng biến (nghịch biến) đã
kết luận phơng trình có nghiệm duy nhất. Ta chỉ có thể kết luận phơng trình có
nghiệm duy nhất khi hàm số đơn điệu liên tục và trong giá trị của nó có cả các
giá trị âm và dơng.
Ví dụ 3 (Định lý Cauchy)
Nếu các hàm số
( )f x
và
( )g x
đều liên tục trên đoạn
[ ; ]a b
, khả vi trong
khoảng
( ; )a b
và
'( ) 0g x

( ) ( )
'( ) 0
g b g a
g c
b a
( mâu thuẫn với giả thiết).
Xét hàm số

=

( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
f b f a
F x f x g x
g b g a
Do các hàm số
( ), ( )f x g x
liên tục trên đoạn
[ ; ]a b
, khả vi trong khoảng
( ; )a b
nên hàm số
( )F x
cũng liên tục trên đoạn
[ ; ]a b
, khả vi trong khoảng
( ; )a b
.
áp dụng định lý Lagrang


=

( ) ( )
'( ) ( )
ah b bh a
xh x h x
b a
Hớng dẫn: Xét
( )
( )
h x
f x
x
=
và
1
( )g x
x
=
. Rồi áp dụng ví dụ 4.