ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài 120 phút
(Đề thi gồm 01 trang)

PHÒNG GD&ĐT NAM TRỰC
ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1: (4,0 điểm)
 1 - x3

1 - x2
Cho biểu thức B = 
(với x  1 )
- x :
2
3
1-x
 1-x-x +x

1) Rút gọn biểu thức B.
2) Tìm giá trị của x để B < 0.
3) Tính giá trị của biểu thức B với x thỏa mãn: x - 4 = 5
Bài 2: (4,0 điểm)
4

3

2


+
+
AA' BB' CC'

2) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM và IN theo thứ tự là phân giác của
 và AIB
 . Chứng minh: AN.BI.CM = BN.IC.AM
AIC

Bài 6: (2,0 điểm)Cần dùng ít nhất bao nhiêu tấm bìa hình tròn có bán kính bằng 1 để phủ kín một
tam giác đều có cạnh bằng 3, với giả thiết không được cắt tấm bìa.
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí


PHÒNG GD&ĐT
NAM TRỰC

Bài

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán
Nội dung chính

1) Với x  1 thì:



A = 1+x+x

2) Với x  1 thì B < 0 khi và chỉ khi x 2 +1 1-x   0 (1)

0,25
0,5

1
(4,0đ)

=

x

2

=

x

2

1 -x

+1 :
+1 :

1+x

2




2

1) x + 3x + 4x + 3x + 1 = 0
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của PT. Chia cả hai vế của phương trình cho x2  0, ta
được

x 2 + 3x + 4 +


1 
 2
x  2 
x 





3
x

+

3 x 

1
x2

0,5


0,5
0,5
0,25
0,25

2) Ta có 2x2 + 3xy – 2y2 = 7
 2 x 2  4 xy  xy  2 y 2  7
 2 x( x  2 y )  y ( x  2 y )  7
 (2 x  y )( x  2 y )  7

0,5

Vì x, y nguyên nên 2x-y, x+2y nguyên và là ước của 7
Mà 7 = 1.7 = (-1).(-7) = 7.1 = (-7).(-1)
Ta có bảng sau:

0,5

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí


2x-y
1
x+2y
7
x
1,8 (loại)
y
2,6 (loại)

x
y
2

x

2

+ 3y2 +

3

y

2

+

4 5
+
x 2 y2

1  
1   4 5 

= 2  x 2 + 2  +3  y 2 + 2  +  2 + 2 
x  
y  x y 

3


D
A
M
Q

4
(4,0đ)

B

P

I

H

C

1) Chứng minh EA.EB = ED.EC
- Chứng minh  EBD đồng dạng với  ECA (g-g)
EB ED
- Từ đó suy ra

 EA.EB  ED.EC
EC EA
2) Kẻ MI vuông góc với BC ( I  BC ) . Ta có
BM
BI







DH DC
2 DQ DC
DQ DC

0,25



  DCQ

- Chứng minh  DPB đồng dạng với  CQD (c-g-c)  BDP
  PDC
  90o  DCQ
  PDC
  90o  CQ  PD
mà BDP
1
HA' .BC
S HBC 2
HA'
1)


S ABC 1
AA'



1
AA' BB ' CC ' S ABC S ABC S ABC
2)
Áp dụng tính chất đường phân giác vào các tam giác: ABC; ABI; AIC
BI AB
AN AI CM IC



;
;
IC AC
NB BI
MA AI
BI AN CM AB AI IC AB IC
Suy ra:
.
.

. .

.
1
IC NB MA AC BI AI AC BI
 BI. AN.CM  IC. NB.MA

Giả sử ABC là tam giác đều có cạnh bằng 3. Chia
mỗi cạnh của tam giác ABC thành ba phần bằng


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí