ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỖ THỊ NGỌC DƯƠNG

KHẢO SÁT KHẢ NĂNG GIÃN NỞ TĂNG TỐC CỦA VŨ TRỤ
TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH BRANEWORLD

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2011


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỖ THỊ NGỌC DƯƠNG

KHẢO SÁT KHẢ NĂNG GIÃN NỞ TĂNG TỐC CỦA VŨ TRỤ
TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH BRANEWORLD

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 604401

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
Tiến sĩ: VÕ THÀNH VĂN

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2011


Lời cảm ơn . . . . .
Mục lục . . . . . . .
Những kí hiệu . . .
Hình vẽ trong luận
Phần mở đầu . . .

. . .
. . .
. . .
văn
. . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.


.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.


.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.


trường Quintessence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Hàm tác dụng và biến phân hàm tác dụng . . . . . . . . . . .
1.2.2. Tensor năng-xung lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Các phương trình cơ bản của vũ trụ học trong 5D . . . . . . .
1.2.4. Sự giãn nở tăng tốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5. Mô hình với thế Quintessence . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
2
2
3
19

Chương 2. Giãn nở tăng tốc trong mô hình DGP
2.1. Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Hệ số metric 5D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Phương trình gia tốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Vũ trụ với không gian phẳng ở thời kỳ bức xạ vượt trội
2.3.2. Brane vượt trội bởi hằng số vũ trụ Λ . . . . . . . . . .
2.4. Phương trình trạng thái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. So sánh mô hình RS và mô hình DGP . . . . . . . . . . . . . .

46
46
47
51
51
53
54

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

24
25
27
31
39
42
44


iii

Mục lục

2.6. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80
83
85
90


Những kí hiệu

DGP
RS
ΛCDM
4D
5D
FRW
y

Λb
Λ, Λ0 , Λc
ω
ωc
a(t)
ρb , pb
ρB , PB
H
Mpl
M
[A]

Dvali, Gapadadze, Porrati.
Lisa Randall, Raman Sundrum.

với ωc = −1.


Phần mở đầu

Các quan sát thiên văn gần đây cung cấp bằng chứng mạnh mẽ rằng chúng ta
đang sống trong vũ trụ giãn nở tăng tốc [1]. Trong quá trình tìm hiểu rõ hơn về vũ
trụ để giải thích cho sự giãn nở tăng tốc, chúng ta phải đối mặt với những vấn đề
[2, 3]:
• Vấn đề hằng số vũ trụ: Năng lượng chân không quá nhỏ so với kết quả tính toán

của vật lý hạt cơ bản ( khoảng 120 bậc về độ lớn).
• Vấn đề trùng hợp ngẫu nhiên: Trong vũ trụ sớm, mật độ năng lượng chân không

không đáng kể so với mật độ vật chất và bức xạ. Nhưng trong thời điểm hiện
tại, mật độ năng lượng chân không (ρΛ ) cùng bậc với mật độ vật chất (ρm ) và
sẽ vượt trội hoàn toàn trong tương lai.
• Vấn đề về hệ thống thứ bậc: Sự khác nhau nhiều về độ lớn giữa thang điện yếu
mEW = 103 GeV và thang Planck Mpl = 1018 GeV - Tỉ số giữa thang điện yếu và
khối lượng Planck quá nhỏ mEW /M pl ∼ 10−16 .

Để giải quyết các vấn đề trên, nhiều mô hình vũ trụ học đã được đề nghị như mô
hình hằng số vũ trụ ΛCDM, mô hình năng lượng tối động lực học "Quintessence".
Tuy nhiên, cho tới nay vẫn chưa có mô hình nào thực sự thành công, có thể đưa ra
giải thích bản chất cho các vấn đề này.
Bắt nguồn từ lý thuyết dây, các mô hình braneworld, trong đó không-thời gian
có thể lớn hơn (3 + 1) chiều, đưa ra một cách tiếp cận mới để tìm hiểu về sự phát
triển của vũ trụ và đã nhận được nhiều sự quan tâm. Mô hình braneworld được đặc
trưng bởi hai ý tưởng cơ bản:
• Giả thiết sự tồn tại của những chiều không gian thêm vào ngoài 4 chiều không-

brane TeV năng lượng thấp. Ứng suất trên hai brane lần lượt là σ và −σ với σ là
một hằng số dương. Mô hình RS2[6] khảo sát cách khôi phục lại hấp dẫn 4D trên
brane gắn trong không-thời gian bulk 5D. Trong mô hình này, chiều thêm vào được
mở rộng tới vô hạn, tức là brane có ứng suất âm trong RS1 bị dịch chuyển ra vô hạn.
Còn lại một brane, vì vậy, mô hình RS2 được gọi là mô hình RS một brane, trong
khi mô hình RS1 được gọi là mô hình RS hai brane.
Các lý thuyết cơ bản với sự có mặt của hằng số vũ trụ Λ đang phải đương đầu
với vấn đề về hằng số vũ trụ vì giá trị quan sát hiện tại của hằng số vũ trụ rất nhỏ
4
∼ 10−55 ). Vì
so với thang Planck ( ρΛ /MP4 l ∼ 10−123 ) hay thang điện yếu ( ρΛ /MEW
vậy, mô hình Randall-Sundrum với giả thiết không-thời gian bulk 5D được lấp đầy
bởi hằng số vũ trụ Λb âm không thể tránh khỏi vấn đề về hằng số vũ trụ.
Một cách tiếp cận khác không cần đến năng lượng tối để giải thích cho sự giãn
nở tăng tốc của vũ trụ được bắt nguồn từ lý thuyết dây thông qua các kịch bản
braneworld. Một trong những mô hình braneworld đơn giản nhất mô tả sự phát
triển của vũ trụ theo chiều hướng này là mô hình DGP[7]. Trong mô hình này, hấp
dẫn trên brane yếu đi do bị rò rỉ từ brane 4D vào bulk 5D ở các thang đo lớn. Do
bởi sự yếu của hấp dẫn trên brane nên dẫn đến sự giãn nở tăng tốc của vũ trụ. Tuy
nhiên, không phải lúc nào chúng ta cũng thu được sự giãn nở tăng tốc. Chiều thêm
vào vừa có khả năng tăng cường gia tốc giãn nở nhưng cũng có thể làm chậm quá
trình giãn nở tăng tốc thậm chí gây ra sự giãn nở giảm tốc.
Nhằm mục đích phân tích bài toán giãn nở tăng tốc của vũ trụ, luận văn “Khảo
sát khả năng giãn nở tăng tốc của vũ trụ trong một số mô hình braneworld ” tập


Phần mở đầu

vii


hằng số vũ trụ Λb và mô hình về sự rò rỉ hấp dẫn theo các kịch bản braneworld.
Cụ thể, chúng tôi kết hợp mô hình braneworld Randall-Sundrum và mô hình DGP
thành một mô hình thống nhất. Chúng tôi sẽ tìm phương trình Friedmann, khảo sát
các điều kiện để có thể khôi phục lại vũ trụ chuẩn 4D. Cuối cùng, chúng tôi tìm
phương trình gia tốc và các điều kiện để xuất hiện sự giãn nở tăng tốc.


Chương 1

Giãn nở tăng tốc trong mô
hình Randall-Sundrum
Mục lục
1.1. Mô hình Randall - Sundrum biến đổi theo thời gian . . . . .
1.1.1. Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Hệ số Hubble trên hai brane . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Sự giãn nở tăng tốc trên brane . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Khảo sát trường vô hướng χ trong mô hình Randall-Sundrum
như một trường Quintessence . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Hàm tác dụng và biến phân hàm tác dụng . . . . . . . . . . .
1.2.2. Tensor năng-xung lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Các phương trình cơ bản của vũ trụ học trong 5D . . . . . . .
1.2.4. Sự giãn nở tăng tốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5. Mô hình với thế Quintessence . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2
2
3
19
24

1.1.1.

Các phương trình cơ bản

Khảo sát hai brane 3 chiều trong bulk Anti de Sitter 5 chiều. Giả thiết 2 brane
đồng nhất và đẳng hướng. Chiều thứ 5 tuần hoàn và có tính đối xứng phản chiếu
(reflection symmetry). Không-thời gian 3 chiều được mô tả bởi metric [10]
dΣ2k = γµν dxµ dxν =

dr2
+ r2 (dθ2 + sin2 θdφ2 )
1 − kr2

với µ, ν = 0, 1, 2, 3. Hằng số k biểu diễn độ cong không gian

Vũ trụ phẳng
 0, ⇔
k=
1, ⇔
Vũ trụ đóng

−1, ⇔
Vũ trụ mở

(1.1)

(1.2)

Metric tổng quát đối với không-thời gian 5 chiều có dạng [11, 12]
dS52 = N 2 (t, y )dt2 − A2 (t, y )dΣ2k − B 2 (t, y )dy 2


[F, y ]c ≡ lim+
y→yc

∂F (t, y )
∂F (t, y )
− lim−
∂y
∂y
y→yc

∂F (t, y )
= −2
∂y

y=yc−

∂F (t, y )
= −2
∂y

(1.5)
y=yc

Các phương trình Einstein trong bulk và trong hai brane lần lượt có dạng [8]
(D)

(D)

GAB = κ25 TAB + Λb GAB ,

(0)

(c)

gµν (t) ≡ Gµν (t, 0),

gµν (t) = Gµν (t, yc )

(1.9)

Hằng số Λb , Λ0 , Λc là hằng số vũ trụ trong bulk và hai brane. Xét ở khoảng cách lớn,
mỗi thiên hà là một hạt, có thể xem các hạt này tạo nên chất lỏng vũ trụ là một
môi trường liên tục gọi là chất lỏng lý tưởng. Đối với môi trường liên tục, tensor
năng-xung lượng có liên quan mật thiết với mật độ năng lượng qua biểu thức [8, 9]
(0)

(0) (0)

(c)

(c) (c)

(0)

Tµν = (ρ0 + p0 )uµ uν − p0 gµν ,
(c)

(1.10)

Tµν = (ρc + pc )uµ uν − pc gµν

2

[A, y ]c
Ac

+

[N, y ]c
Nc

3 [A, y ]c
Bc

Ac

+ Λc = κ5 pc
(1.12)
+ Λc = −κ5 ρc

Phương trình (1.11) và (1.12) là hai phương trình cơ bản liên hệ giữa các hệ số của
metric với mật độ năng lượng và mật độ áp suất trên hai brane. Hai phương trình
này mô tả hai brane 3 chiều đồng nhất và đẳng hướng. Bây giờ, chúng tôi sẽ sử dụng
các phương trình này để khảo sát sự phát triển vũ trụ học trên hai brane.
1.1.2.

Hệ số Hubble trên hai brane

Trong phần này, chúng tôi sẽ thực hiện tìm phương trình cụ thể đối với hệ số
Hubble trên hai brane. Trước tiên chúng tôi khảo sát mô hình Randall và Sundrum
[5, 6]. Metric trong mô hình có dạng:

So sánh (1.14) và (1.15), chúng tôi suy ra
N (t, |y|) = A(t, |y|) = e−l|y|
B (t, |y|) = 1,

k=0

(1.16)

Khi đó, phương trình (1.11) và (1.12) trở thành
κ5 p0 = −κ5 ρ0 = 3

[A, y ]0

+ Λ0

A0
[A, y ]c
+ Λc
κ5 pc = −κ5 ρc = 3
Ac

(1.17)

Áp dụng (1.5), chúng tôi thu được
∂A(t, y )
= 2(−l)e−l|y| y=0 = −2l
∂y
y=0
∂A(t, y )
= 2le−l|y| y=yc


(6l + Λc )

(1.20)

Randall và Sundrum chọn
Λ0 = −Λc = 6l
nên

ρ0 = −p0 = 0,

ρc = −pc = 0

(1.21)
(1.22)


5

1.1. Mô hình Randall - Sundrum biến đổi theo thời gian

Như vậy, không có những trường vật chất xuất hiện trên hai brane.
Để tìm ra những nghiệm mới, metric 5D được viết lại dưới dạng như sau [8]
dS52 =

4F G
l 2 (F

dt2 − f 2 (y )dy 2 −



G = G(t − f (|y|))

So sánh (1.24) với (1.4)
dS52 = N 2 (t, |y|)dt2 − A2 (t, |y|)dΣ2k − B 2 (t, |y|)dy 2

ta suy ra
√

2 FG
N (t, |y|) =
l(F − G)
√
2 FG
f (|y|)
B (t, |y|) =
l(F − G)
1
A(t, |y|) =
l(F − G)

(1.25)

Bây giờ, chúng tôi lần lượt khảo sát hai brane đặt tại y = 0 và y = yc để tìm các
phương trình liên hệ giữa tham số Hubble với mật độ năng lượng và mật độ áp suất
trên hai brane này.
Brane ẩn tại y = 0
Trên siêu mặt y = 0, metric (1.24) rút gọn thành
dS52 |y=0 =



Giãn nở tăng tốc trong mô hình Randall-Sundrum

với
dη ≡

2 F0 G0
dt
l(F0 − G0 )

F0 ≡ F (t + f (0)),
a0 ( η ) ≡

1
l(F0 − G0 )

,

G0 ≡ G(t − f (0)),
b0 (η ) ≡

1
l(F0 + G0 )

(1.27)

Chúng tôi thấy rằng metric(1.26) có dạng giống metric FRW [10]
dS 2 = dt2 − a(t)2 dΣ2

trong không-thời gian 4D. Khi đó, a0 (η ) sẽ đóng vai trò là hệ số kích thước của vũ


F0 − G0
=
(F0 − G0 )2 2

−(F0 − G0 )

a˙ 0
=
a0
2

F0 G0 (F0 − G0 )

(1.28)
−(F0 − G0 )
F0 G0 (F0 − G0 )

l(F0 − G0 ) =

−l(F0 − G0 )

2 F0 G0

(1.29)

Tham số Hubble được liên hệ với hệ số b(η ) trong metric. Chúng tôi sẽ thực hiện
tính toán để thu được biểu thức liên hệ này. Đầu tiên, chúng tôi tính
db0
db0

⇒

a0 b˙ 0
1
−(F0 − G0 ) F0 + G0 2
=
l (F0 + G0 )2
2
2
l(F0 − G0 ) 2 F0 G0 (F0 + G0 )
b0

=

−l(F0 + G0 )

(1.31)

2 F0 G0

Sau đó, chúng tôi lấy ((1.31) + (1.29))
−l(F0 + G0 ) −l(F0 − G0 )
−lF0
a0 b˙ 0
a˙
+ 0=
+
=
2
a

2
a0
b0
2 F0 G0
2 F0 G0
F0 G0
G0

⇒

F0 G0

=−

1 a0 b˙ 0
l

b20

−

a˙ 0
a0

+

a˙ 0
a0

(1.32)

l

Lấy (1.32) nhân (1.33)

2

⇒l +

F0

G0

F0 G0

F0 G0

a˙ 0
a0

2

=

a20

=1=
b˙ 0
b20

1

2

a˙ 0
a0

2

Cuối cùng, chúng tôi thu được phương trình liên hệ giữa hệ số b và tham số Hubble
b˙ 0
= 0 (l2 + H02 )1/2
2
a0
b0
a˙ 0
H0 =
a0

(1.34)


8

Giãn nở tăng tốc trong mô hình Randall-Sundrum

Ở đây, 0 = ±1. Giá trị của hai hàm F0 và G0 phụ thuộc vào . Chúng tôi sẽ làm rõ
điều này. Thế (1.34) trở lại phương trình (1.32)
F0
F0 G0

Với

Với

0

= −1 ⇒

G0
F0 G0

y=0

=−

1

y=0

0 (l

l

2

+ H02 )1/2 − H0

> 0 ⇒ G0 > 0, F0 > 0

Như vậy
0


+ Λ0 = κ5 p0
+ Λ0 = −κ5 ρ0

Chúng tôi lần lượt tính từng số hạng trong (1.11):
• Số hạng thứ nhất

[A, y ]0
A0 B0

Áp dụng (1.5), chúng tôi có
[A, y ]0 = 2
=

∂A(t, y )
∂y

=2
y=0

∂
1
∂y l(F − G)

−2 ∂F
∂G
f (|y|) +
f (|y|)
l
∂f
∂f

(F0 − G0 )2
2 F0 G0 f (0)

(1.36)

−l(F0 + G0 ) |f (0)|
=
f (0)
F0 G0

Từ (1.32) và (1.33), chúng tôi có
(F0 + G0 )
F0 G0

Với

=

−2 a0 b˙ 0
l b20

(1.37)

b˙ 0
thu được từ (1.34)
b20
b˙ 0
= 0 (l2 + H02 )1/2
2
a0

Xét
∂N (t, y )
[N, y ]0 = 2
∂y

y=0

√
∂ 2 FG
=2
∂y l(F − G)

y=0

√
F G −G F
√
f
(
|y|
)(
F
−
G
)
−
(
F
+
G

=

⇒

[N, y ]0
N0

=

2(F0 G0 − G0 F0 ) 4 (F0 + G0 ) F0 G0
−
(F0 − G0 )2
(F0 − G0 ) F0 G0 l

=

F0 G0 − G0 F0 2(F0 + G0 )
−
|f (0)|
F0 G0
F0 − G0

l(F0 − G0 )

2 F0 G0

|f (0)|


10

+ Λ0 = −κ5 ρ0 chúng tôi được
nhất ở (1.39) vào phương trình
B0

A0

|f (0)|
= −κ5 ρ0 − Λ0
f (0)
1
Λ0
f (0)
= − κ5 0
ρ0 +
6
κ5
|f (0)|

6 0 (l2 + H02 )1/2
⇒(l

Đặt Λ0 =

Λ0
κ5

và

0
f

[N, y ]0
+
= κ5 (ρ0 + p0 )
B0 A0
B0 N0

(1.43)

Số hạng thứ nhất trong (1.43) thu được từ (1.36)
[A, y ]0
B0 A0

=

−l(F0 + G0 ) |f (0)|
f (0)
F0 G0

và số hạng thứ hai thu được từ (1.40). Thế (1.36) và (1.40) vào phương trình (1.43),
chúng tôi được
l(F0 + G0 ) |f (0)| l(F0 G0 − G0 F0 )(F0 − G0 ) |f (0)|
+
f (0)
F0 G0 f (0)
2F0 G0 F0 G0
−

l(F0 + G0 ) |f (0)|
= κ5 (ρ0 + p0 )
F0 G0 f (0)

|f (0)|

= κ5 0f (ρ0 + p0 )

F0 G0

l(F0 G0 − G0 F0 )(F0 − G0 )(F0 + G0 )
= κ5 0f (ρ0 + p0 )
F0 + G0
2(F0 G0 )2
F0 G0

Từ phương trình (1.38), chúng tôi có

F0 + G0
F0 G0

=

−2 0 2
(l + H02 )1/2 , thế vào phương
l

trình trên, chúng tôi được
−l2 (F0 − G0 )(F0 + G0 )(F0 G0 − G0 F0 )
1
= κ5
4(F0 G0 )2
(l2 + H02 )1/2



l2 (F0 − G0 ) 
=−

4 F0 G0 

=−


(F0 − G0 )(F0 G0 + G0 F0 )
F0 G0 −

2 F0 G0


F0 G0


l2 (F0 − G0 ) 2F0 F0 G0 − 2G0 F0 G0 − F0 F0 G0 − F0 F0 G0 + G0 G0 F0 + G0 F0 G0

4

2F0 G0

F0 G0

F0 G0

l2 (F0 − G0 )
[F0 F0 G0 − G0 F0 G0 − F0 F0 G0 + G0 G0 F0 ]

+ p0 )

Hay
H˙ 0
1
=
−
κ
2
2 5
(l2 + H0 )1/2

0
0 f (ρ0

+ p0 )

(1.46)

Vậy đối với brane đặt tại y = 0, chúng tôi thu được hai phương trình liên hệ giữa
tham số Hubble H0 với mật độ năng lượng và mật độ áp suất
1
(l2 + H02 )1/2 = − κ5 0 0f (ρ0 + Λ0 )
6
˙
H0
1
= κ5 0 0f (ρ0 + p0 )
(1.47)
2

− a2c (τ )dΣ2c

với
2 Fc Gc
dt
l(Fc − Gc )

dτ ≡
Fc ≡ (t + f (|yc |)),
ac (τ ) ≡

1
l(Fc − Gc )

Gc ≡ G(t − f (|yc |)),
,

bc (τ ) ≡

1
l(Fc + Gc )

(1.49)

Tham số Hubble được định nghĩa
Hc =

a˙ c
ac


13

1.1. Mô hình Randall - Sundrum biến đổi theo thời gian

Chúng tôi thu được
Hc =

a˙ c
=
ac
2

−(Fc − Gc )
Fc Gc (Fc − Gc )

l(Fc − Gc ) =

−l(Fc − Gc )

2 Fc Gc

(1.51)

Tham số Hubble có liên hệ với hệ số metric b. Để tìm biểu thức liên hệ này, chúng
tôi thực hiện các tính toán
dbc
dbc
=
dτ
2 Fc Gc


(1.52)

−l(Fc + Gc )

(1.53)

2 Fc Gc

Lấy ((1.53) + (1.51)), chúng tôi được
a˙
−l(Fc + Gc ) −l(Fc − Gc )
−lFc
ac b˙ c
+ c=
+
=
2
bc
a
2 Fc Gc
2 Fc Gc
Fc Gc
⇒

Fc
Fc Gc

=−


1 ac b˙ c
b2c

l

−

a˙ c
ac

Vậy, chúng tôi thu được hai phương trình
Fc
Fc Gc

=−
y=yc

Gc
Fc Gc

=−
y=yc

1 a0 b˙ 0
l

b20

1 ac b˙ c
l

Gc

Fc Gc

Fc Gc

a˙ c
ac

2

=

=1=

l2

a2c

2

b˙ c
b2c

a2c

1

b˙ c
b2c

Cuối cùng, chúng tôi thu được phương trình
b˙ c
= c (l2 + Hc2 )1/2
2
bc
ac

(1.56)

Trong đó, c = ±1. Tương tự như trên brane y = 0, trên brane y = yc , giá trị của
các hàm Fc và Gc cũng phụ thuộc vào c . Chúng tôi sẽ làm rõ sự phụ thuộc này. Thế
(1.56) trở lại phương trình (1.54), chúng tôi thu được
Fc
Fc Gc y=yc

=−

1

c (l

l

2

+ Hc2 )1/2 + Hc

Từ phương trình (1.57), chúng tôi thấy rằng với
Fc
Fc Gc


y=yc

1

c (l

l

2

+ Hc2 )1/2 − Hc

> 0 ⇒ Gc > 0, Fc > 0

Như vậy
c

−1,
+1,

=

Fc > 0, Gc > 0
Fc < 0, Gc < 0

(1.58)

Bây giờ, chúng tôi tìm biểu thức liên hệ giữa Hc với mật độ năng lượng và mật
độ áp suất trên brane. Trở lại phương trình (1.12)