Luận văn tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan

Phần 1. Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Trong cơ học lượng tử cũng như trong lý thuyết trường lượng tử, khi có
sự sai khác giữa một lý thuyết chính tắc và kết quả thực nghiệm, người ta
thường dùng các phương pháp gần đúng để giải quyết. Tuy nhiên nhiều hiện
tượng vật lý lại không dễ dàng thấy được trong phương pháp nhiễu loạn, chẳng
hạn như sự phá vỡ đối xứng tự phát, sự chuyển pha các trạng thái
Điều có đòi hỏi phải có những phương pháp mới không nhiễu loạn mà
vẫn bao gồm tất cả các bậc khai triển của lý thuyết nhiễu loạn mà lại giữ được
các yếu tố phi tuyến của lý thuyết như phương pháp tác dụng hiệu dụng,
phương pháp gần đúng, phương pháp nhóm lượng tử mà cấu trúc của nó là đại
số biến dạng.
Trong những năm gần đây việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số
lượng tử đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý lý thuyết vì các cấu
trúc toán học mới này phù hợp với nhiều vấn đề của vật lý lý thuyết như thống
kê lượng tử, quang học phi tuyến, vật lý chất rắn

Nhóm lượng tử và đại số

lượng tử có thể biểu diễn nhiệt dung thuận lợi trong hình thức luận dao động
tử điều hoà biến dạng. Xuất phát từ vấn đề nêu trên, tôi lựa chọn đề tài luận
văn áp dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử nghiên cứu nhiệt dung
của vật rắn.
2. Mục đích của luận văn
Nghiên cứu hình thức luận dao động tử điều hoà, từ đó áp dụng hình
thức luận dao động tử điều hoà biến dạng q để nghiên cứu nhiệt dung của


1. Nhiệt dung
Để tìm hiểu rõ khái niệm nhiệt dung ta cần xem xét một số khái niện
như nhiệt độ, nhiệt lượng
Theo quan điểm động lực học phân tử , thì nhiệt độ là một đại lượng vật
lý đặc trưng cho tính chất vĩ mô của vật, thể hiện mức độ nhanh hay chậm của
chuyển động nhiệt hỗn loạn của các phân tử cấu tạo nên vật.
Nội năng của hệ bao gồm năng lượng của tất cả các dạng chuyển động
(chuyển động tịnh tiến, quay và dao động của các nguyên tử phân tử) và tương
tác của các hạt tạo nên hệ (tương tác phân tử năng lượng nội nguyên tử, năng
lượng nội hạt nhân và các năng lượng khác). Nội năng ký hiệu là U.
Quá trình truyền nhiệt là quá trình trao đổi năng lượng của hệ với môi
trường xung quanh mà không làm thay đổi các thông số ngoại. Lượng năng
lượng trao đổi trong quá trình này gọi là nhiệt lượng Q. Thông thường người ta
quy ước nhiệt lượng Q là dương nếu hệ nhận nhiệt năng từ bên ngoài, nhiệt
lượng Q là âm nếu nhiệt năng được chuyển từ hệ ra bên ngoài.
Từ hai khái niệm về nhiệt độ và nhiệt lượng ở trên, ta đi đến khái niệm
nhiệt dung như sau
Nhiệt dung được đo bằng nhiệt lượng cần thiết để đốt nóng hệ tăng lên
10, nghĩa là
C=

Q
dT

.

Đơn vị của nhiệt dung là

(1.1)

hay
kg.K
kg.K

Đơn vị của nhiệt dung riêng là

Trong nhiều trường hợp, các lượng vật chất được tính theo mol, do đó
nhiệt dung cũng được tính theo mol, gọi là nhiệt dung mol (nhiệt dung phân tử
gam) 1mol = 6,023.1023 đơn vị cơ bản của lượng chất.
Đơn vị của nhiệt dung mol là:

J
mol.K

Nhiệt dung mol của một chất bất kỳ được đo bằng nhiệt lượng cần thiết
để đốt nóng 1 mol chất ấy tăng lên 10.
2. Nhiệt dung đẳng áp và nhiệt dung đẳng tích
Bởi vì nhiệt lượng Q phụ thuộc vào tính chất của quá trình, cho nên
nhiệt dung C của hệ cũng phụ thuộc vào điều kiện xác định tỷ số

Q
dT

, tức là

tuỳ thuộc vào từng quá trình. Cùng một hệ có thể có nhiều nhiệt dung khác
nhau. Trị số của nhiệt dung có thể biến thiên từ - đến +. Tuỳ thuộc vào quá
trình. Về cơ bản người ta chia nhiệt dung làm hai loại: nhiệt dung đẳng tích CV
và nhiệt dung đẳng áp CP.
2.1. Nhiệt dung đẳng tích

U

U
Q = dT P dV ,
T V
V T


C=

dV
U U
,


P
dT T V V T
dT

Q

(1.6)
(1.7)

do đó
U
CV = ,

(1.8)


áp dụng một số kết quả của Nguyên lý II Nhiệt động lực học, chúng ta
có hệ thức
CP - CV =

T .V02 2
,
V T

(1.12)

Với là hệ số nở đẳng áp

5


Luận văn tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan

T là hệ số chịu nén đẳng nhiệt
V0 là thể tích ở OK.
Vì T và T luôn có giá trị dương nên CP CV > 0 hay CP > CV.
Kết quả thực nghiệm cho thấy đối với chất rắn và chất lỏng thì nhiệt
dung đẳng tích và nhiệt dung đẳng áp có sự sai khác nhau không quá một vài
phần trăm.
Kết luận :
Trong chương 1 chúng ta đã nắm được các định nghĩa, biểu thức của
nhiệt dung, và mối liên hệ giữa nhiệt dung đẳng áp và nhiệt dung đẳng tích.

6


2
Q
(a a ).
2m

(2.3)

Dễ dàng chứng minh được các toán tử a , a thoả mãn hệ thức giao hoán
[a , a ] 1, [a , a ] a

(2.4)

Hamiltonian (2.1) được biểu diễn theo công thức
1
H aa a a ,
2





1

H a a .
2


(2.5)


và a P n với P = 1, 2, 3, ... cũng là một véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị
riêng (n-p) và (n+p), tương ứng.
Hamiltonian (2.5) có dạng
1

H N ,
2


(2.9)

với trị riêng là



1
2

(2.10)

( n ) n .

Vậy phổ năng lượng của dao động tử điều hoà có giá trị gián đoạn, cách đều
nhau. Hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề nhau luôn luôn bằng cùng
một lượng tử năng lượng . Trạng thái n được đoán nhận là trạng thái chứa
n lượng tử năng lượng, toán tử N có các trị riêng nguyên không âm cách nhau
một đơn vị được đoán nhận là toán tử số lượng tử năng lượng. Toán tử a khi
tác dụng lên n cho một trạng thái tỷ lệ với n 1
(2.11)


(2.14)

Trong biểu diễn số hạt, trạng thái dừng của một dao động tử điều hoà
có thể coi là một tập hợp nhiều hạt mỗi hạt có năng lượng bằng , còn gọi
là chuẩn hạt.
2. Hệ nhiều hạt đồng nhất
Cơ học lượng tử đã rút ra các kết luận sau về hệ nhiều hạt đồng nhất:
Hamiltonian của hệ các hạt đồng nhất bất biến (đối xứng) đối với phép
hoán vị hai hạt bất kỳ. Vì vậy các trạng thái vật lý của hệ nhiều hạt đồng nhất
phải là các trạng thái bất biến đối với bất kỳ phép hoán vị nào giữa các hạt. Đó
là nội dung của nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng nhất.
Với các hạt sơ cấp trong khuôn khổ lý thuyết trường lượng tử, trên cơ
sở của nguyên lý tương đối Einstein và nguyên lý nhân quả vi mô, Pauli và
Luders đã chứng minh được rằng các hạt có spin nguyên (như photon, meson, K-meson,...) phải tuân theo thống kê Bose Einstein và được gọi là
các boson, còn các hạt có spin bán nguyên (như điện tử, prôtôn, neutron,
neutrino,...) phải tuân theo Fermi Dirac và được gọi là các fermion.
Điều khác biệt rõ nét giữa các boson và các fermion là các fermion tuân
theo nguyên lý loại trừ Pauli: Trong hệ nhiều fermion đồng nhất không thể có
hơn một hạt ở cùng một trạng thái hay nói cách khác, mỗi trạng thái của hệ
chỉ có thể hoặc bị bỏ trống hoặc bị chiếm bởi một fermion mà thôi. Còn mỗi
trạng thái của hệ các boson có thể bị chiếm bởi bao nhiêu boson cũng được.
Một phương pháp toán học rất thuận tiện thường được sử dụng khi
nghiên cứu hệ nhiều hạt là phương pháp diễn tả các trạng thái của hệ bằng các
véc tơ chuẩn hoá trong một không gian Hiebert và sử dụng các toán tử sinh hạt
và huỷ hạt như ta đã trình bày ở trên khi nghiên cứu dao động tử điều hoà để
kiến tạo các véc tơ trạng thái nhiều hạt.

9



, a = 0.

(2.15)

Câu hỏi đặt ra là các lượng tử của dao động tử điều hoà hay một cách tổng
quát hơn, các hạt mà toán tử sinh hạt và toán tử huỷ hạt thoả mãn các hệ thức
giao hoán (2.15) là boson hay fermion? Để trả lời câu hỏi này ta hãy kiến tạo
hai véc tơ trạng thái của hệ hai hạt ở hai trạng thái khác nhau và đó là
a a 0

và

(2.16)
a a 0

trong đó 0 là trạng thái chân không, không chứa hạt nào. Vì các toán tử sinh
hạt thoả mãn hệ thức giao hoán (2.15) nên
a a a a

và do đó ta suy ra ngay
.

Vậy, do có các hệ thức giao hoán (2.15) nên véc tơ trạng thái của hệ hai hạt
đồng nhất có tính chất đối xứng đối với phép hoán vị hai hạt, chúng là các
boson. Hay nói cách khác các toán tử sinh, huỷ bosson phải tuân theo các hệ
thức giao hoán (2.15).
Thế còn fermion thì sao? Trong trường hợp fermion véc tơ trạng thái
của hệ hai hạt đồng nhất phải là phản đối xứng đối với phép hoán vị hai hạt,
các toán tử sinh b và huỷ b đối với fermion thoả mãn
,


(2.18)

Mặt khác, tác dụng toán tử b b lên , ta lại có
b b b 0 .

(2.19)

So sánh hai vế của (2.18) và (2.19), ta suy ra hệ thức phản giao hoán sau đây
đối với các toán tử sinh, huỷ hạt fermion.
b b b b 0,

.

Trong trường hợp = , ta sử dụng (2.17) và có



b b b b

2

0 0,

b b 0 b 0 ,
b b b 0 ,

b b 0 0 .

Cộng các phương trình lại theo từng vế, ta có


















(2.21)

Một điều khá lý thú nữa là từ các hệ thức phản giao hoán (2.21) ta có
thể chứng minh được nguyên lý loại trừ Pauli, như sau. Thật vậy sử dụng
(2.21) cho trường hợp = , ta có
N2 b b b b




b b

N2 = b 1 b b b


Nguyễn Thị Loan

Chương 3. Dao động mạng tinh thể

1. Chuỗi nguyên tử cùng loại
1.1. Lý thuyết cổ điển
Mạng tinh thể đơn giản nhất là chuỗi các nguyên tử cùng loại xếp đặt
cách đều nhau một khoảng bằng a (hằng số mạng tinh thể) trên trục ox, mỗi
nguyên tử có khối lượng M và dao động xung quanh vị trí cân bằng của nó
(hình vẽ)
a
n1

a
n

n+1
x

un-1

un

un+1

Hình 1. Chuỗi nguyên tử cùng loại
Đánh số các nguyên tử bằng một chỉ số nguyên n, toạ độ của nguyên tử thứ n
ở vị trí cân bằng là xn,
xn = na,


2

dU (t )
n .
n
dt

Lực tác dụng lên nguyên tử thứ n là
Fn =-

U
2u n u n 1 u n1 .
U n

Từ định luật thứ hai của Newton
Fn = M

d 2u n (t )
dt 2

ta suy ra phương trình chuyển động sau
d 2un
2u n u n1 u n 1 0.
dt 2
M

(3.1)

Tìm nghiệm của (3.1) dưới dạng sóng đơn sắc

(3.3)



ka




a

0


M



k

a

Hình 2. Sự phụ thuộc vào véc tơ sóng k của tần số của dao động
của chuỗi nguyên tử cùng loại.

14


Luận văn tốt nghiệp


Pn(t) = M

du n (t )
.
dt

Biểu thức của động năng toàn phần có thể viết lại như sau
T

1
Pn2 (t ),
2M n

và do đó năng lượng toàn phần của hệ là
E

1

2
Pn2 (t ) u n (t ) u n1 (t ) .
2M n
2 n

Khi lượng tử hoá ta thay hàm Pn(t) bằng toán tử xung lượng Pn và hàm un(t)
bằng toán tử toạ độ suy rộng u n liên hợp với Pn . Hamiltonian của hệ trở thành.
1

2
H
Pn2 u n u n1 .

N k

un

1 (1) ikxn
Pn
e Pk .
N k

(3.6)

chỉ số (1) có nghĩa là lấy tổng theo k chỉ lấy trong vùng Brilouin thứ nhất.
Theo phương pháp chung ta chỉ xét các sóng phẳng thoả mãn điều kiện tuần
hoàn trên đoạn thẳng chiều dài L = Na với N là số nút mạng có trên đoạn
thẳng này, cũng là số giá trị gián đoạn k trong vùng Brilouin thứ nhất. Nhân cả
hai vế của các công thức (3.6) với e ik 'x , trong đó k cũng là véc tơ sóng trong
n

vùng Brilouin thứ nhất, rồi cộng theo n và dùng công thức
1
e i ( k k ') xn kk ' ,
N n

(3.7)

ta thu được các biến đổi ngược lại:
1
e ikxn u n ,
N n


i
e i ( kxn k 'xm ) nm
N nm

16


Luận văn tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan

u n un 1 =
2

n

i i ( k k ') xn
e
N n

u n un 1 = i k , k ' ,
2

n

nghĩa là
[U k , Pk ] i k , k ' .

(3.9)


2

n

(1)

k

(1)

k'

u n un 1 = (1 eika )(1 e ika )uk uk
2

n

(1)

k

u n un 1 = 2 (1 cos ka)uk uk
2

n

(1)

k


M

sin 2

ka
(k ) 2 ,
2

cuối cùng ta thu được

17

(3.11)


Luận văn tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan

1

(1) 1
H
P k Pk M 2 (k )u k u k .
k
2
2M


(3.12)

2 ( k )
M

ak

1
i

Pk .
M (k )u k
2 (k )
M


Từ các hệ thức giao hoán (3.9), (3.10) suy ra rằng gưĩa các toán tử ak và ak có
các hệ thức giao hoán
[a k , a k' ] kk ' ,[a k a k ' ] [a k a k' ] 0.

(3.14)

Thay các biến đổi (3.13) vào Hamiltonian (3.12), ta nhận được
1 (1)
H (k ) a k a k a k a k
2k





(3.15)


Luận văn tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan

(1)
H (k ) N k
k

Vậy, mạng tinh thể đơn giản mà ta xét được diễn tả trong lý thuyết
lượng tử bằng Hamiltonian (3.17) với các toán tử ak và ak thoả mãn các hệ
thức giao hoán (3.14). Vì vậy có thể coi mạng tinh thể dao động như một hệ




nhiều hạt ak là toán tử huỷ hạt có véc tơ sóng k , xung lượng k và năng lượng
(k), còn ak là toán tử sinh hạt như thế. Các hạt này là các lượng tử trong
dao động của mạng tính thể, gọi là các phonon, do tuân theo các hệ thức giao
hoán (3.14) nên các phonon là các boson, trong thực tế ta không có các hạt
thật mà chỉ có các trạng thái dao động khác nhau của mạng tinh thể được mô
tả giống như một hệ hạt mà thôi. Điều này có nghĩa là các phonon không phải
là các hạt thật mà chỉ là các giả hạt, thường được gọi là chuẩn hạt. Ta đang xét
dao động của chuỗi nguyên tử cùng loại là các sóng âm khi véc tơ sóng rất bé.
Các phonon trong trường hợp này là các phonon âm. Trong phần tiếp theo ta
sẽ thấy còn có cả các phonon quang nữa.
2. Chuỗi hai nguyên tử khác loại
2.1. Lý thuyết cổ điển
Tiếp theo ta xét chuỗi hai nguyên tử gồm hai loại khác nhau, loại thứ nhất
có khối lượng M1 còn loại thứ hai có khối lượng M2, xếp xen kẽ cách đều nhau


u2n-2
a

u2n+2
a

a

a

a

Hình 3. Chuỗi hai nguyên tử khác loại
Gọi độ dời của loại nguyên tử thứ nhất, loại hình vuông trên hình 3 là
u2n(t) và của loại nguyên tử thứ hai, loại hình tròn là v2n+1(t), ta có hệ hai
phương trình vi phân
d 2u 2 n
2u2n v 2 n 1 v 2n 1 0,

dt 2
M1

(3.18)

d 2 v 2 n 1
2v 2 n 1 u2 n 2 u2 n 0.

dt 2
M2


2 cos ka

2 M 2 (k ) 2

tức là

20

0,


Luận văn tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan

2 M (k ) 2 M (k ) 4
2

1

2

2

2

cos 2 ka 0,

phương trình này có hai nghiệm đối với (k)2

-







2a

2a

k

Hình 4. Sự phụ thuộc của vào k
Với k rất bé:
(k ) ka

2
M1 M 2

phụ thuộc tuyến tính vào k giống như các sóng âm và vì thế ta ký hiệu
(k ) A (k ) còn
1

1


(k ) 2


2n



, u 2 m i nm ,

q2n 1, v 2 m 1 i nm ,

P

2n



, P2 m u 2 n , u 2 m 0,

q2 n1 , q2m1 v 2n1 , v 2m1 0,

P
P


q

2n

, q2 m 1 u 2 n , v 2 n 1 0,

2n


Luận văn tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan

rồi biểu diễn các hệ số Fourier Pk , qk , uk , v k một cách thích hợp qua các toán tử
huỷ hạt a k(1) , ak( 2 ) và sinh hạt a k(1) , a k( 2) để thu được Hamiltonian của hệ dưới
dạng





(1)
H 1 (k )a k(1) a k(1) 2 (k )a k2 a k( 2) .
k

(3.23)

Các hệ thức giao hoán giữa các toán tử sinh hạt và huỷ hạt là:

a
a



(i )
k

, ak( 'j ) ij kk ' ,



trạng thái dao động tương ứng với một véc tơ sóng k cho trước, một trạng thái

23


Luận văn tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan



có véc tơ dịch chuyển trùng với hướng của véc tơ sóng k gọi là dao động dọc
hoặc sóng dọc, ký hiệu bằng chữ L, hai trạng thái có véc tơ dịch chuyển trực


giao với hướng của véc tơ sóng k gọi là dao động ngang hoặc các sóng ngang,
ký hiệu bằng chữ T. Cả ba sóng đó đều có tần số góc tỷ lệ tuyến tính với giá
trị k của véc tơ sóng khi k rất bé và do đó là các sóng âm. Ta nói có một sóng
âm dọc LA và hai sóng âm ngang TA.
Nếu mỗi ô cơ sở của mạng Bravais chứa hai nguyên tử khác loại thì sự
dao động của các nguyên tử trong không gian ba chiều quanh vị trí cân bằng
tạo ra ba trạng thái dao động, ký hiệu là A, mà tần số góc tỷ lệ tuyến tính với
k khi k rất bé và ba trạng thái dao động khác ký hiệu là O, mà tần số góc dẫn
tới giới hạn hữu hạn (không phụ thuộc vào k) khi k trở nên rất bé. Mỗi loại
sóng nói trên lại gồm một sóng dọc L và hai sóng ngang T trong trường hợp
này một sóng LA, hai sóng TA, một sóng LO, hai sóng TO.
Trong trường hợp tổng quát, nếu mỗi ô cơ sở của mạng Bravais chứa s
nguyên tử khác loại (không tương đương thì sự dao động của mạng tinh thể
bao gồm ba sóng âm (hai sóng ngang TA và một sóng dọc LA) và 3(s-1) sóng

tử để mô tả dao động mạng tinh thể ba chiều như là một hệ nhiều phonon đó
là một phonon âm dọc, hai phonon âm ngang và (s - 1) phonon quang dọc ,
2(s- 1) phonon quang ngang, với s là số nguyên tử không tương đương trong
mỗi ô cơ sở của mạng Bravais

25