MỘT SỐ ĐỀ TỐN HAY
BT1: Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thoả điều kiện: với mỗi số nguyên dương
m < 1999 đều tồn tại số nguyên k sao cho
m k m+1
< <
1999 n 2000
BT2: Giải phương trình: x
5
- 15x
3
+ 45x - 27 = 0.
BT3: Chứng minh bất đẳng thức sau với n nguyên dương:

2 3 n
1 2 3 n 3
+ + + ... + <
3 4
3 3 3
BT4: Cho hai tam giác đồng dạng ABC và A'B'C' (các đỉnh mỗi tam giác đều viết
ngược chiều kim đồng hồ). Gọi A
1
, B
1
, C
1
lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AA',
BB', CC'. Chứng minh ∆ABC đồng dạng với ∆A
1
B
1
C

k=1
k.cos
k
π
∑
BT8: Tìm tất cả các tập A gồm hữu hạn số thực có tính chất sau: nếu x thuộc A thì
f(x) = x
3
- 3|x| + 4 cũng thuộc A.
BT9: Gọi a, b, c, r, R lần lượt là 3 cạnh, bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường
tròn ngoại tiếp một tam giác.Chứng minh:
a(b+c-a)
2
+ b(c+a-b)
2
+ c(a+b-c)
2
≤ 6
3
R
2
(2R - r). Đẳng thức xảy ra khi nào?
BT10: Cho tứ diện ABCD với BC = a, CA = b, AB = c, DA = a', DB = b', DC = c'. Gọi
h
a
, h
b
, h
c
, h