ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN VĂN THÌN

TÍNH CHUẨN TẮC CỦA HỌ HÀM
PHÂN HÌNH MỘT BIẾN VÀ BÀI TOÁN DUY
NHẤT ĐỐI VỚI ĐA THỨC VI PHÂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN VĂN THÌN

TÍNH CHUẨN TẮC CỦA HỌ HÀM
PHÂN HÌNH MỘT BIẾN VÀ BÀI TOÁN DUY
NHẤT ĐỐI VỚI ĐA THỨC VI PHÂN

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 62 46 01 02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS. TSKH Trần Văn Tấn
2. PGS. TS. Hà Trần Phương


ổ ừ rữớ ồ ữ ồ
t ữủ ỡ t ổ ừ ở ổ t
ổ ở t tớ t t

t ỡ t ổ
ộ ự P
P P t ự ụ r
tr ở ỗ ỡ s ỳ t qỵ
ữủ t ỡ
ố ũ ữủ t ố tr
t t ủ ỳ ữớ
õ t ỳ t tữỡ ở
t t ỳ ự ừ


✐✐✐

▼ö❝ ❧ö❝
▼ð ✤➛✉
✶

✷

✸

✶

❍å ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤

✶✶


✣à♥❤ ❧þ ❦✐➸✉ ▲❛♣♣❛♥ ❝❤♦ ❤å ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✻

❙ü ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈î✐ ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠
✈➔

✸✳✶

q

✲ s❛✐ ♣❤➙♥ ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ♠ët ❤➔♠ ♥❤ä

❙ü ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈î✐ ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠
❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ♠ët ❤➔♠ ♥❤ä ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✳✷

✺✼

✺✼

❙ü ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈î✐ ✤❛ t❤ù❝ q ✲ s❛✐
♣❤➙♥ ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ♠ët ❤➔♠ ♥❤ä ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✽

❑➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ✤➲ ♥❣❤à


qt t t ụ
ỹ ỳ ỵ ỡ tữỡ t r tỹ t õ ú
tổ ồ t t ừ ồ ởt
t t ố ợ tự

ự

ự ử t ừ ỵ tt qt
ữủ tr ữ tr ổ
t sỷ ử t q t ừ ỵ tt ú tổ
tt ỳ ỵ ỡ tự ũ ủ ợ t ố
ừ t t r
ú tổ tt ỡ ố s tứ





ự ồ t ữủ ỗ tứ ỳ
ừ t ổ tr ừ P t
P t P t ữ r ồ t
ởt ồ F tr D C ữủ ồ t
ợ ồ {fn } F ổ ự ởt {fnk } ở tử tr
ộ t t ừ D t tợ f
.
rt ữ r t q trồ t ồ
t ởt ồ F f tr ởt D C
t tr ộ t t K ừ D,
|f (z)|
ừ f ởt số C(K) ử tở

ố q trồ t t sỷ ử ỵ tt
ự ỵ tt ồ t
q tr ừ ỵ Pr ự ợ t
t s ừ t ởt ồ F tr
D t ộ tr ồ ọ q tr t
trữợ õ
số tr ọ q tr ỵ Pr
ự ởt ỵ Pr
ởt f f ổ
trt t f (k) ổ tr 1, tr õ k số ữỡ
trữợ ỹ t ỵ
ữ r tt t t ừ ồ tữỡ ự
ợ ỵ tr t ủ t rt ỵ tt
rs tr ớ tt tr trữớ ủ ồ
õ tr ớ tt ừ ữ s
k số ữỡ ởt ồ F f tr D
tr t ự ổ trt t s t f (k) = 1
k ừ f ổ tr ợ ồ f F.
ú ỵ r tr t q ừ tr tợ tr ộ

f f (k) tr ởt tr r ởt sỹ ố số
ố ởt t ữủ t q tữỡ tỹ
õ tr ữủ t t (f n )(k) = 1, ợ n, k
số tỹ trữợ tọ n k + 3. r trữớ ủ ồ
ự n k + 3 õ t t
n k + 1. ụ tờ qt t q ừ
ữủ t q ồ F ổ õ ổ
tr D s t f (k) 1 õ t k ổ



P tr ớ ọ tr ổ r tỗ
t t E C ỗ 5 t
P ở ự
t q tữỡ tỹ ồ t ởt ồ F tr
D C t ợ ộ t t K D,
tỗ t t E C ự 5 t số ữỡ M s
sup{f # (z) : f F, z f 1 (E) K} < M.




ự tự tr t
ỵ trữớ ủ t ỡ ữủ

qt tr ữỡ ừ
ự sỹ t ữợ
ừ ởt t ủ ữủ ỗ tứ ổ tr
ừ ổ ự r
tr t ự õ ũ ữủ ổ t ở ừ
t t ú trũ ú t t
ừ õ ũ ữủ t ở ừ t
tứ õ t út ữủ sỹ q t ừ t ồ
tr ữợ ữ
Pữỡ
rs rs r
t t t ữợ
ừ tự f n f ,
ự r f g s
tự f n f 1 g n g 1 õ ũ ổ t ở ợ


tn+1 = 1. ự r
(f n (z)f (qz + c))(k) 1 õ ổ ổ f (z)
s t ợ ổ tr õ q = 0, c số ự n, k
số ữỡ tọ n > k + 5. ỡ ỳ
ụ ự ỵ t tữỡ ự
s t f (z) g(z) ợ ổ tọ (f n (z)f (qz + c))(k) 1
(g n (z)g(qz + c))(k) 1 õ ũ số ổ ở t f tg, tr
õ q = 0, c số ự n, k số ữỡ t số
tọ tn+1 = 1, n > 2k + 5.
ự tự tr rở t q ừ
t f n ởt tự P (f ). ữủ qt
tr ữỡ ừ
ử ừ t


ử tự t ừ t tt t

t ồ ố ợ trữớ ủ tự tờ
qt t tự ử t ữ t trữợ


ử tự ừ t tt t

t ồ ữợ
tr t t ừ ởt số tr


ử tự ừ t ự t



❦❤➠♥ ❣➦♣ ♣❤↔✐ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ →♣ ❞ö♥❣ ❇ê ✤➲ ❩❛❧❝♠❛♥ tr♦♥❣ t➻♥❤ ❤✉è♥❣ ✤à♥❤
❧þ ❦✐➸✉ P✐❝❛r❞ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❦❤æ♥❣ ❝❤♦ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❤➔♠ ❤➡♥❣✳ ✣à♥❤ ❧þ
✶✳✽✱ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✵ ✈➔ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✷ ❧➔ ❝→❝ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❝❤♦ ❤å ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛
❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✱ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❞÷î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝
✤↕♦ ❤➔♠ tê♥❣ q✉→t✳ ❚r♦♥❣ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✽✱ ❝❤♦ q = 1 ✈➔

= +∞, ❝❤ó♥❣
tæ✐ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❍➺ q✉↔ ✶✳✾✳ ❑❤✐ n = 0✱ k = 1, ❍➺ q✉↔ ✶✳✾ ♥❤➟♥ ❧↕✐ ❦➳t
q✉↔ ❝õ❛ ❙❝❤✇✐❝❦ ❬✹✾❪ ❝❤♦ ❤å ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳ ❚r♦♥❣ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✵✱
1


✽

❝❤♦ q = 1 ✈➔

= +∞, ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❍➺ q✉↔ ✶✳✶✶✳ ❍➺ q✉↔ ✶✳✶✶
✈➔ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✷ ❧➔ tê♥❣ q✉→t ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❙❝❤✇✐❝❦ ❬✹✾❪ ❝❤♦ ❤å ❝→❝ ❤➔♠
♥❣✉②➯♥✳ ◆❤÷ ✈➟② ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✽✱ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✵ ✈➔ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✷ ❧➔ ♥❤ú♥❣ ♠ð
rë♥❣ t❤ü❝ sü ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❲✳ ❙❝❤✇✐❝❦ ❬✹✾❪ ♥➠♠ ✶✾✽✾✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦ ❧➔
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✾ ✈➲ ❤å ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤æ♥❣ ❝â ❦❤æ♥❣
✤✐➸♠✳ ❈❤♦ n = 0, k = 1, n1 = 1, uI (z) = 0 ✈î✐ ♠å✐ I, ❦❤✐ ✤â ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✾
♥❤➟♥ ❧↕✐ ♠ët ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❏✳ ▼✳ ❈❤❛♥❣ ❬✾❪✳
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❝→❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❬✶✷✱ ✺✸❪✳
❈❤÷ì♥❣ ✷ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❝❤✉➞♥ t➢❝ t❤❡♦ q✉❛♥ ✤✐➸♠ ❝õ❛
▲❛♣♣❛♥✳ ❈ö t❤➸✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ t❤✐➳t ❧➟♣ ❝→❝ ✤à♥❤ ❧þ ❦✐➸✉ ▲❛♣♣❛♥ ❝❤♦ ❤➔♠
❝❤✉➞♥ t➢❝ ✈î✐ sè ✤✐➸♠ ➼t ❤ì♥ ♥➠♠✳
◆➠♠ ✷✵✶✶✱ ❘✳ ❆✉❧❛s❦❛r✐ ✈➔ ❏✳ ❘☎❛tt②☎
❛ ❬✸❪ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤➔♠
ϕ ✲ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ♥❤÷ s❛✉✿ ❈❤♦ ❤➔♠ t➠♥❣ ϕ : [0, 1) → (0, ∞) t❤ä❛ ♠➣♥




ố ợ ồ t ú tổ tt ỵ ỵ
ỵ ỵ ú t q ợ ởt
ố ỵ ỵ ỗ tớ tờ qt t
t ừ t
ỵ trữớ ủ ữủ tt
ỹ tr ừ ừ t
ỵ ỡ tự ừ õ trỏ q trồ tr
ự ữ ỵ r sỷ ử ỵ ú t t t
ỵ trữớ ủ õ ú ữủ ỹ
tr ừ ừ ởt tự
ự t q ú tổ sỷ ử ởt ỵ ỡ
tự t q
ợ ú ữủ t ữ s ợ số ữỡ n, k
tọ n > k + 3 + k2 , ồ F f tr D, ồ
ổ ừ f õ ở ổ ỡ k s t ợ ộ t
t K D, tỗ t a C \ {0} số ữỡ M = M (K) s
(f n f (k) )# (z) M, ợ ồ f F ồ z K {f n f (k) = a}.
ởt tú ũ ữủ t ởt ữợ t
q tr ỗ tớ rở t q ừ P tợ trữớ
ủ f n f (k) a õ ổ
ở ữỡ ữủ ổ ố tr ổ tr
ữỡ ố ũ ừ t tr ự t
t ữợ ữủ ừ
tự tự q s ố tr ừ tự
t ủ ợ q s
t ú tổ ự t t
ữợ ữủ ừ tự [f n P (f )](k) , tr

❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ✤÷ñ❝ ❜→♦ ❝→♦ t↕✐ ❤ë✐ ♥❣❤à✿ ✣↕✐ sè ✲ tæ♣æ ✲ ❤➻♥❤ ❤å❝✱ ◗✉↔♥❣
◆✐♥❤ ✷✵✶✺✱ ❙❡♠✐♥❛r ●✐↔✐ t➼❝❤ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✷✵✶✷ ✲
✷✵✶✻✱ ❙❡♠✐♥❛r ♥❤â♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t↕✐ ❱✐➺♥ ❚♦→♥ ❤å❝✳


✶✶

❈❤÷ì♥❣ ✶

❍å ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤
✶✳✶

▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ tr♦♥❣ ▲þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛

❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ❤➔♠ ◆❡✈❛♥✲
❧✐♥♥❛ ✈➔ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ❝ì ❜↔♥ tr♦♥❣ ▲þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛❧✐♥♥❛ ✤÷ñ❝ sû ❞ö♥❣
tr♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥✳
▼ët ❞✐✈✐s♦r ν tr➯♥ C ❧➔ →♥❤ ①↕ ν : C −→ Z s❛♦ ❝❤♦ {z : ν(z) = 0} ❧➔
♠ët t➟♣ rí✐ r↕❝✳
❈❤♦ r ❧➔ ♠ët sè t❤ü❝ ❞÷ì♥❣✱ ❦þ ❤✐➺✉ D(0, r) = {z ∈ C : |z| < r}. ❈❤♦

ν ❧➔ ♠ët ❞✐✈✐s♦r tr➯♥ C. ❑❤✐ ✤â✱ ❤➔♠ ✤➳♠ ❝õ❛ ❞✐✈✐s♦r ν ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛
❜ð✐
r

n(t)
dt (r > 1), tr♦♥❣ ✤â n(t) =
t

N (r, ν) =

❚❛ ❝â N (r,
) ≤ N (r,
) ✈î✐ ♠å✐ sè ♣❤ù❝ a.
f −a
f −a
❈❤♦ m ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✱ ❦❤✐ ✤â ❞✐✈✐s♦r ν f,(m ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛
❜ð✐

1 ♥➳✉ ν (z) ≥ m
f
ν f,(m (z) =
.
0 ♥➳✉ ν (z) < m
f
N (r,

❍➔♠ ✤➳♠ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ❞✐✈✐s♦r ν f,(m ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐

N (m (r, f ) = N (r, ν f,(m ).
❈❤♦ a ❧➔ ♠ët sè ♣❤ù❝ ✈➔ m ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✱ ❤➔♠ ✤➳♠
1
) ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐
N (m (r,
f −a
1
N (m (r,
) = N (r, ν 1/(f −a),(m ).
f −a
❍➔♠ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ f ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐
2π


❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ C ✈➔ k ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✳ ❑❤✐ ✤â ✤➥♥❣ t❤ù❝

f (k)
m(r,
) = o(T (r, f ))
f
✤ó♥❣ ✈î✐ ♠å✐ r ∈ [1, ∞) ♥❣♦➔✐ ♠ët t➟♣ ❝â ✤ë ✤♦ ▲❡❜❡s❣✉❡ ❤ú✉ ❤↕♥✳
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷

✭❬✷✺❪✮✳ ✭✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ♥❤➜t✮ ❈❤♦ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥

❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ C ✈➔ a ❧➔ ♠ët sè ♣❤ù❝✳ ❑❤✐ ✤â

T (r,
◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳

1
) = T (r, f ) + O(1).
f −a

❈❤♦ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ C ✈➔ a ❧➔ ♠ët

sè ♣❤ù❝✳ ❑❤✐ ✤â

1
) ≤ T (r, f ) + O(1),
f −a
1
N (r,

◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ tr♦♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❤å ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❞÷î✐ ✤✐➲✉
❦✐➺♥ ✈➲ t➟♣ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠✳ ❈❤ó♥❣ tæ✐ ♠ð rë♥❣ ❝→❝
✈➜♥ ✤➲ ✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜ð✐ ❙❝❤✇✐❝❦ ✈➔ ❈❤❛♥❣ tî✐ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✤❛ t❤ù❝




tờ qt t q ừ ữỡ ữủ ổ ố tr

t ố ợ ồ ữợ
ổ ừ tự

r ú tổ ự ởt số rở t q ừ
t q ữủ ổ ố tr r
ổ ũ t q ừ ự t q ừ
tt ổ ụ õ sỷ ử ờ
r ổ ỏ sỷ ử ờ rt ởt
tở ồ s õ số Pữỡ ừ ú tổ
ừ t tờ qt t tự ỵ ỡ tự
ừ
rữợ t ự t q ú tổ tr
ởt số ờ tt ự
ờ

ờ ồ F

tr ỡ U s ồ ổ ừ tr ồ F
õ ở t t p ồ ỹ õ ở t t q. số tỹ tọ
p < < q. õ ồ F ổ t t z0 U
tỗ t

❇ê ✤➲ ✶✳✺✱ ❜➟❝ ❝õ❛ g ❦❤æ♥❣ q✉→ 1.
❈❤♦ g ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ♣❤ù❝ C. ❑❤✐ ✤â✱
♠ët ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠ P ❝õ❛ g ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
p

n

P (z) =
i=1

tr♦♥❣ ✤â Sij (1

(g (j) (z))Sij ,

αi (z)
j=0

n, 0
j
p) ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❦❤æ♥❣ ➙♠
✈➔ αi ≡ 0 (1
i
n) ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ♥❤ä ❝õ❛ g, ♥❣❤➽❛ ❧➔
T (r, αi ) = o(T (r, g)) ❦❤✐ r −→ ∞. ✣➦t
i

p

Sij ✈➔ θ(P ) = max


g
d(P ) − 1
P −1

✤ó♥❣ ✈î✐ ♠å✐ r ∈ [1, +∞) ♥➡♠ ♥❣♦➔✐ ♠ët t➟♣ ❝â ✤ë ✤♦ ▲❡❜❡s❣✉❡ ❤ú✉
❤↕♥✳

✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ♣❤➛♥ ♥➔②✱ tr÷î❝ ❤➳t ❝❤ó♥❣ tæ✐ tê♥❣
q✉→t ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❍✐♥❝❤❧✐❢❢❡ ♥❤÷ s❛✉✳
❇ê ✤➲ ✶✳✼✳

❈❤♦ a1 , . . . , aq ❧➔ ❝→❝ sè ♣❤ù❝ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣✳ ❈❤♦ g ❧➔

♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ C ✈➔ P (z) ❧➔ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠
❦❤→❝ ❤➡♥❣ ❝õ❛ g ✈î✐ d(P ) ≥ 2. ❑❤✐ ✤â

T (r, g)

1
1
qθ(P ) + 1
N (r, ) +
qd(P ) − 1
g
qd(P ) − 1

q

N (r,
j=1


✤ó♥❣ ✈î✐ ♠å✐ r ∈ [1, +∞) ♥➡♠ ♥❣♦➔✐ ♠ët t➟♣ ❝â ✤ë ✤♦ ▲❡❜❡s❣✉❡ ❤ú✉
❤↕♥✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱î✐ ♠é✐ z s❛♦ ❝❤♦ |g(z)|

p
j=0 Sij

1, ✈➻

≥ d(P ) (1

i

n) ♥➯♥ t❛ ❝â
1
|P (z)|
1
·
=
|P (z)| |g(z)|d(P )
|g(z)|d(P )
1
·
|P (z)|

p

n



|αi (z)|
i=1

j=0

g (j) (z)
g(z)

Sij

.

❉♦ ✤â✱ sû ❞ö♥❣ ❇ê ✤➲ ✤↕♦ ❤➔♠ ❧♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ✈➔ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ♥❤➜t✱
t❛ ✤÷ñ❝

1
d(P )m(r, )
g

1
) + o(T (r, g))
P
1
1
= T (r, ) − N (r, ) + o(T (r, g))
P
P
1
= T (r, P ) − N (r, ) + o(T (r, g)).

d(P )m(r, )
g

1
1
N (r, P ) + N (r, ) +
q
P
− N (r,

q

N (r,
j=1

1
)
P − aj

1
) + o(T (r, g)).
P

❚✐➳♣ tö❝ →♣ ❞ö♥❣ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ♥❤➜t✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝

1
d(P )T (r, g) = d(P )T (r, ) + O(1)
g
1
1


1
=
P (z)

p
j=0 Sij

p

n

αi g

p
j=0

Sij −d(P )

i=1

g (j) Sij
) .
(
g
j=0

✭✶✳✷✮

− d(P ) ≥ 0, ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✷✮ ❦➨♦ t❤❡♦

q

1
(θ(P ) + )ν g1 +
q

n

ναi .
i=1


✶✽

❚❛ ❝â

1
1
1
1
d(P )N (r, ) − N (r, ) + N (r, )
g
P
q
P
n
1
1
(θ(P ) + )N (r, ) +
N (r, αi )

+ (θ(P ) + )N (r, ) + o(T (r, g)).
q
g
▼➦t ❦❤→❝✱ t❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠ P, ♠é✐ ❝ü❝ ✤✐➸♠ ❝õ❛ P
❧➔ ❝ü❝ ✤✐➸♠ ❝õ❛ αi ✈î✐ i ∈ {1, . . . , n} ♥➔♦ ✤â ❤♦➦❝ ❧➔ ❝ü❝ ✤✐➸♠ ❝õ❛ g. ❱➻

N (r, αi ) ≤ T (r, αi ) = o(T (r, g)) ✈î✐ i = 1, . . . , n ♥➯♥ t❛ ✤÷ñ❝
d(P )T (r, g)

1
N (r, g) +
q

q

N (r,
j=1

1
)
P − aj

1
1
+ (θ(P ) + )N (r, ) + o(T (r, g)).
q
g

✭✶✳✹✮


qd(P ) − 1
g
qd(P ) − 1

q

N (r,
j=1

1
) + o(T (r, g)).
P − aj

❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ g ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (1.4) trð t❤➔♥❤

d(P )T (r, g)

1
q

q

N (r,
j=1

1
1
1
) + (θ(P ) + )N (r, ) + o(T (r, g)).
P − aj

ỵ

q (q 1) tr ự t ổ a1 , . . . , aq

q số ữỡ ( + )

1, . . . , q .

n ởt số

ổ n1 , . . . , nk , t1 , . . . , tk số ữỡ (k 1).
F ởt ồ tr D tr t
ự s ợ ồ f F ợ ồ m {1, . . . , q}, ồ ổ
ừ f n (f n1 )(t1 ) ã ã ã (f nk )(tk ) am õ ở t t

a) nj tj ợ ồ 1
q
1
i=1 i

b)



n+

k
j=1 tj
k
j=1 nj

, tỗ t

1) ởt số tỹ r, 0 < r < 1;
2) zv , |zv | < r, zv z0 ;
3) số tỹ ữỡ v 0+ ;
4) fv F
s
fv (zv + v )
gv () =
g()
v



t tr ộ t t ừ C, tr õ

g() g # ()
ừ gv , t õ

g # (0) = 1. ứ





a) b), n = 0 t tỗ t i {1, . . . , k} s ni > ti .
tr trữớ ủ n = 0 n = 0 a = 0 g
ổ õ ổ ứ ờ s r ừ g ổ q 1,
õ g() = ec+d , c = 0. õ
g n ()(g n1 ())(t1 ) ã ã ã (g nk ())(tk ) = enc+nd (en1 c+n1 d )(t1 ) ã ã ã (enk c+nk d )(tk )
= (n1 c)t1 ã ã ã (nk c)tk e(n+
õ (n1 c)t1 ã ã ã (nk c)tk e(n+

k
j=1

nj )c+(n+

k
j=1

nj )d

k
j=1

nj )c+(n+

k
j=1

nj )d

a, ổ ỵ