BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
--------------------

BÙI TRẦN VĨNH THÁI

TỐI ƯU HÓA ĐA MỤC TIÊU DỰA TRÊN ĐỘ TIN CẬY
CHO KẾT CẤU KHUNG THÉP
SỬ DỤNG GIẢI THUẬT MỘT VÒNG LẶP ĐƠN

LUẬN VĂN THẠC SỸ
XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP

Tp. Hồ Chí Minh, Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
--------------------

BÙI TRẦN VĨNH THÁI

TỐI ƯU HÓA ĐA MỤC TIÊU DỰA TRÊN ĐỘ TIN CẬY
CHO KẾT CẤU KHUNG THÉP
SỬ DỤNG GIẢI THUẬT MỘT VÒNG LẶP ĐƠN
Chuyên ngành

: Xây dựng Công trình dân dụng và Công nghiệp

Mã số chuyên ngành : 60 58 02 08
LUẬN VĂN THẠC SỸ XÂY DỰNG

Tiếp đến, tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy Cô Trường Đại học Mở Tp. HCM,
Trường Đại học Bách Khoa Tp. HCM, Trường Đại học Tôn Đức Thắng đã truyền đạt
những kiến thức nền tảng rất bổ ích cho tôi trong suốt thời gian học vừa qua, đó cũng
là những kiến thức không thể thiếu trên con đường nghiên cứu khoa học và sự nghiệp
của tôi sau này.
Tôi cũng in gửi lời cảm ơn đến các anh, chị nghiên cứu viên của iện hoa Học
Tính Toán T T-INCOS) Trường Đại học Tôn Đức Thắng. Đặc biệt là KS. Hồ Hữu
Vịnh đã luôn nhiệt tình giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Và cuối cùng, tôi muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình và các bạn của
tôi. Những người đã chia sẻ và giúp đỡ tôi trong những lúc khó khăn.
Một lần nữa, xin chân thành cảm ơn!
Tp. HCM, ngày … tháng … năm 2016
Học viên

Bùi Trần Vĩnh Thái


iii

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ
Luận văn nhằm nghiên cứu và giải bài toán tối ưu hoá đa mục tiêu dựa trên độ tin cậy
cho kết cấu khung thép sử dụng giải thuật một vòng lặp đơn ác định với biến thiết kế
rời rạc và biến liên tục theo tiêu chuẩn thiết kế của Viện thép hoa Kỳ LRFD – AISC
(2010) và Tiêu chuẩn thiết kế kết cấu thép Việt Nam (TCVN 5575:2012). Bài toán tối
ưu được thành lập với hai trường hợp thiết kế khác nhau bao gồm: 1/ Cực tiểu trọng
lượng và chuyển vị đỉnh của khung với biến thiết kế là các giá trị rời rạc được lựa chọn
từ bộ dữ liệu tiết diện thép cánh mỏng (W) theo tiêu chuẩn AISC; 2/ Cực tiểu trọng
lượng và chuyển vị đỉnh của khung với biến thiết kế là các giá trị liên tục được lựa
chọn theo giới hạn cho trước. Trong cả hai trường hợp khảo sát, hàm ràng buộc của bài
toán là các điều kiện ràng buộc về chuyển vị và độ bền yêu cầu của cấu kiện theo các

CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU ................................................................................................ 1
1.1 Đặt vấn đề ............................................................................................................... 1
1.2 Tình hình nghiên cứu trên thế giới và trong nước .................................................. 5
1.2.1

Thế giới .......................................................................................................... 5

1.2.2

Trong nước ..................................................................................................... 6

1.2.3

Kết luận .......................................................................................................... 7

1.3 Mục tiêu nghiên cứu ............................................................................................... 8
1.4 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu ........................................................................... 8
1.4.1

Đối tượng nghiên cứu .................................................................................... 8

1.4.2

Phạm vi nghiên cứu ........................................................................................ 8

1.5 Kết cấu luận văn ..................................................................................................... 9
CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ........................................................................... 10
2.1 Phương pháp phần tử hữu hạn cho kết cấu khung ................................................ 10
2.1.1


2.3.1

Tổng quát ..................................................................................................... 37

2.3.2

Phương pháp một vòng lặp đơn ác định cho bài toán tối ưu hoá dựa trên độ

tin cậy

...................................................................................................................... 39

2.4 Phương pháp NSGA-II ......................................................................................... 41
2.4.1

Một số định nghĩa và thuật toán sử dụng trong phương pháp NSGA-II ..... 42

2.4.2

Vòng lặp chính của phương pháp NSGA-II ................................................ 43

2.4.3

Chọn lọc ....................................................................................................... 44

2.4.4

Lai ghép ........................................................................................................ 44

2.4.5

3.2 Bài toán ứng dụng thực tế ..................................................................................... 77
3.2.1

Thiết lập mô hình tính toán .......................................................................... 79

3.2.2

Xác định tải trọng tác dụng lên mô hình ...................................................... 80

3.2.3

Kiểm chứng code lập trình Matlab phân tích ứng xử của kết cấu ............... 88

3.2.4

Tối ưu hoá đa mục tiêu trọng lượng và chuyển vị đỉnh của khung – không

ét đến độ tin cậy ........................................................................................................... 88
3.2.5

Tối ưu hoá đa mục tiêu trọng lượng và chuyển vị đỉnh của khung – có xét

đến độ tin cậy................................................................................................................. 93
CHƯƠNG 4. KẾT LUẬN......................................................................................... 103
4.1 Kết luận ............................................................................................................... 103


vi
4.2 Hướng phát triển của đề tài ................................................................................. 104
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 107

(Wmin, δmax) khi xét từng trường hợp độ tin cậy. ............................................................ 59
Hình 3.8. So sánh tỷ số ràng buộc về độ bền của nghiệm (Wmin, δmax) khi xét từng
trường hợp độ tin cậy.....................................................................................................59


viii

Hình 3.9. Kết cấu khung 03 nhịp 15 tầng. .....................................................................61
Hình 3.10. Chuỗi nghiệm tối ưu của bài toán 03 nhịp 15 tầng. ....................................63
Hình 3.11. Kết quả tối ưu bài toán 03 nhịp 15 tầng đối với từng trường hợp độ tin cậy.
.......................................................................................................................................66
Hình 3.12. So sánh tỷ số ràng buộc về độ lệch chuyển vị giữa các tầng của nghiệm
(Wmin, δmax) khi xét từng trường hợp độ tin cậy. ............................................................ 67
Hình 3.13. So sánh tỷ số ràng buộc về độ bền của nghiệm (Wmin, δmax) khi xét từng
trường hợp độ tin cậy.....................................................................................................68
Hình 3.14. Kết cấu khung 03 nhịp 24 tầng (1ft = 30.48 cm; 1lb=4.448 N). .................69
Hình 3.15. Chuỗi nghiệm tối ưu của bài toán 03 nhịp 24 tầng. ....................................72
Hình 3.16. Kết quả tối ưu bài toán hung 03 nhịp 24 tầng đối với β = 3. ..................75
Hình 3.17. So sánh tỷ số ràng buộc về độ lệch chuyển vị giữa các tầng của nghiệm
(Wmin, δmax) khi xét từng trường hợp độ tin cậy. ............................................................ 76
Hình 3.18. So sánh tỷ số ràng buộc về độ bền của nghiệm (Wmin, δmax) khi xét từng
trường hợp độ tin cậy.....................................................................................................77
Hình 3.19. Hình ảnh thực tế công trình. ........................................................................78
Hình 3.20. Mặt bằng kiến trúc tầng điển hình. .............................................................. 78
Hình 3.21. Chi tiết kết cấu khung K6. ...........................................................................79
Hình 3.22. Mô hình tính toán và phân nhóm tiết diện khung K6. .................................80
Hình 3.23. Sơ đồ chất tải TT + 0.9(HT1 + HT2). ......................................................... 86
Hình 3.24. Sơ đồ chất tải TT + 0.9(HT1 + HT2 + GT). ................................................87
Hình 3.25. Sơ đồ chất tải TT + 0.9(HT1 + HT2 + GP). ................................................87
Hình 3.26. Chuỗi nghiệm tối ưu của bài toán Khung K6. .............................................90

Bảng 3.25. Bảng tính tĩnh tải tường xây trên sàn .......................................................... 81
Bảng 3.26. Bảng tính giá trị hoạt tải sử dụng ................................................................ 82
Bảng 3.27. Bảng tính giá trị hoạt tải gió tác dụng vào nút khung. ................................ 84
Bảng 3.28. Bảng tính giá trị hoạt tải gió tác dụng mái công trình. ............................... 84


x

Bảng 3.29. Bảng tính giá trị hoạt tải gió tác dụng mái công trình ................................ 85
Bảng 3.30. Bảng so sánh kết quả các thành phần chuyển vị. ........................................88
Bảng 3.31. Bảng so sánh kết quả các thành phần nội lực. ............................................88
Bảng 3.32. Bảng thông số đầu vào khung K6 ............................................................... 89
Bảng 3.33. Bảng giá trị kết quả tối ưu hung 6 ......................................................... 90
Bảng 3.34. Bảng lựa chọn giá trị biến thiết kế A (Wmin, δmax) Khung K6 ..................... 91
Bảng 3.35. Bảng so sánh kết quả nghiệm A (Wmin, δmax) với Công ty Lập Việt ...........92
Bảng 3.36. Bảng kiểm tra chỉ số độ tin cậy của nghiệm A (Wmin, δmax) ........................ 94
Bảng 3.37. Bảng tính giá trị hoạt tải gió tác dụng vào nút khung .................................96
Bảng 3.38. Bảng tính giá trị hoạt tải gió tác dụng mái công trình ................................ 96
Bảng 3.39. Bảng giá trị kết quả tối ưu hung 6 với β = 3 .........................................97
Bảng 3.40. Bảng lựa chọn giá trị biến thiết kế A (Wmin, δmax) Khung K6 với β = 3 .....98
Bảng 3.41. Bảng so sánh kết quả nghiệm A (Wmin, δmax) với β = 3.............................100


xi

MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT
Chữ viết tắt
AISC

: American Institute of Steel Construction


: Genetic Algorithm

HS

: Hamony Search algorithm

MOMGA

: Multiobjective Messy Genetic Algorithm

NSGA

: Elitist Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm

NPGA

: Niched-Pareto Genetic Algorithm

PSO

: Particle Swarm Optimization

RBDO

: Reliability Based Design Optimization

SPEA

: Strength Pareto Evolutionary Algorithm

thép thể hiện ở khả năng chịu lực lớn và độ tin cậy cao, vận chuyển, lắp đặt dễ dàng và
đặc biệt là không thấm nước. Tuy nhiên kết cấu thép cũng có một số mặt hạn chế như
có thể bị xâm thực bởi tác động của môi trường, nhiệt độ v.v, do vậy, những công trình
xây dựng có sử dụng kết cấu thép thường được bao phủ bởi lớp sơn bảo vệ, chống gỉ
thép. Ngoài ra thép có khả năng chịu lửa kém và giá thành khá cao so với một số vật
liệu thô khác.
Ta có thể điểm qua một số công trình tiêu biểu sử dụng kết cấu thép như sau:
 Nhà công nghiệp, nhà ưởng, nhà máy, xí nghiệp: khung nhà công nghiệp
được làm toàn bộ bằng thép khi nhà cao, cần trục nặng. Hoặc có thể được
làm từ hỗn hợp cột bê tông cốt thép, dàn, và dầm thép (Hình 1.1).
 Nhà nhịp lớn: đối với những loại nhà do yêu cầu sử dụng nhịp khá lớn từ
30 - 40m như nhà biểu diễn, nhà thi đấu thể dục thể thao, nhà triển lãm,
nhà chứa máy bay, v.v, thì việc dùng kết cấu thép là hợp lý nhất. Có
những trường hợp nhịp đặc biệt lớn trên 100m thì kết cấu thép là giải pháp
duy nhất nên được áp dụng (Hình 1.2).
 Khung nhà nhiều tầng: đặc biệt là các loại nhà kiểu tháp ở thành phố. Nhà
trên 15 tầng thì dùng kết cấu thép có lợi hơn bê tông cốt thép (Hình 1.3).
 Hệ thống truyền tải điện năng Hình 1.4).
 Và một số công trình khác.


2

Hình 1.1. Hình ảnh khung nhà thép tiền

Hình 1.2. Hình ảnh Nhà học T TT đa năng

chế.

Trường Đại học KHXH & NV Tp. HCM.



3
Với thực tế hiện nay, tuỳ theo điều kiện và nhu cầu khác nhau mà người ra quyết
định phải cân nhắc giữa nhiều mục tiêu. Vì thế bài toán tối ưu hóa đa mục tiêu có vai
trò rất quan trọng bởi hầu hết các nhà thiết kế luôn mong muốn có nhiều lựa chọn tối
ưu tùy theo điều kiện và nhu cầu thực tế, mà không chỉ có đơn thuần một lời giải tối
ưu duy nhất. Do đó, việc áp dụng tối ưu hóa đa mục tiêu để tính toán cho kết cấu là
thiết thực và mang lại nhiều lợi ích. Thực hiện được công việc như trên sẽ giúp cho
nhà thiết kế có thể tư vấn được cho chủ đầu tư và người sử dụng giải pháp thiết kế dựa
trên những mục tiêu khác nhau nhằm mang lại những lợi ích như: tiết kiệm chi phí đầu
tư, kiểu dáng và hình dáng tối ưu theo yêu cầu mà vẫn đảm bảo an toàn khi vận hành
sử dụng.
Một số phương pháp cổ điển đã ra đời để giải quyết các bài toán tối ưu hoá đa
mục tiêu có thể liệt kê như sau (Deb 2001): phương pháp tổng trọng số (Weight Sum
Method), phương pháp ràng buộc ε ( ε  Constraint Method), phương pháp ma trận
trọng số (Weight Metric Method), v.v. Đây là các phương pháp đơn giản và dễ sử
dụng để giải bài toán tối ưu hoá đa mục tiêu. Lời giải được tìm ngay trên đường tối ưu
Pareto lồi. Phương pháp ràng buộc ε sử dụng cho cả bài toán có không gian mục tiêu
lồi hoặc lõm giống nhau. Tuy nhiên, có một số tồn tại khi sử dụng các phương pháp cổ
điển trên như: chỉ tìm được tối đa một lời giải trong một lần giải, gặp khó khăn khi giải
quyết bài toán có miền mục tiêu phi tuyến, bị phụ thuộc nhiều vào trọng số (wi) và các
ràng buộc (εi).
Trong những năm qua, các phương pháp tìm kiếm tối ưu trực tiếp được tìm ra và
không ngừng cải tiến để khắc phục những hạn chế của các phương pháp cổ điển. Ta có
thể điểm qua một số phương pháp như sau (Deb 2001): giải thuật NSGA, NSGA-I,
NSGA-II (Elitist Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm), giải thuật NPGA
(Niched-Pareto Genetic Algorithm), giải thuật SPEA (Strength Pareto Evolutionary
Algorithm), giải thuật MOMGA, MOMGA-II, MOMGA-III (Multiobjective Messy
Genetic Algorithm), giải thuật DE (Differential Evolution), v.v. Trong số các phương

cậy được sử dụng để chuyển ràng buộc xác suất thành các ràng buộc xác
định, và bài toán tối ưu hóa chỉ cần giải một lần sau khi ràng buộc xác
định được thành lập.
Các giải thuật tối ưu sử dụng vòng lặp đôi và vòng lặp tuần tự vẫn còn nhiều hạn
chế như chi phí tính toán cao và mất nhiều thời gian tính toán, kết quả tối ưu thường
kẹt ở nghiệm địa phương do việc đánh giá độ tin cậy được thực hiện nhiều lần trong
quá trình tối ưu hóa. Ngược lại giải thuật một vòng lặp đơn giải quyết bài toán RBDO
chỉ trong hai bước: chuyển đổi các ràng buộc xác suất thành ràng buộc ác định và giải


5
bài toán tối ưu hóa ác định. Vì thế vòng lặp tối ưu hóa và đánh giá độ tin cậy chỉ thực
hiện một lần và chi phí tính toán được giảm đáng kể. Nhận thấy được điều này, năm
2012 Li và cộng sự (Li et al. 2012) đã đề xuất phương pháp một vòng lặp đơn ác định
SLDM (Single-Loop Deterministic Method) dựa trên cách tiếp cận đo lường hiệu suất
(Performance Measure Approach – PMA) để giải quyết các bài toán RB O. Điểm
nhấn của phương pháp này là biến đổi các ràng buộc xác suất sang ràng buộc ác định
chỉ trong một bước bằng cách phân tích độ tin cậy ngược.
Dựa vào những phân tích ở trên, có thể thấy rằng tối ưu hóa đa mục tiêu cho kết
cấu khung thép có ý nghĩa quan trọng và việc đưa ra một phương pháp giải tối ưu và
phù hợp mà vẫn đảm bảo an toàn khi đưa vào vận hành sử dụng là yêu cầu cần thiết
hiện nay. o đó, luận văn này được thực hiện nhằm thiết lập và giải bài toán tối ưu đa
mục tiêu dựa trên độ tin cậy cho kết cấu khung thép, ở đó giải thuật tìm kiếm nghiệm
tối ưu dựa trên độ tin cậy được sử dụng là phương pháp kết hợp giữa giải thuật một
vòng lặp đơn ác định SLDM (Single-Loop Deterministic Method) và giải thuật di
truyền phân loại không trội NSGA-II (Elitist Non-Dominated Sorting Genetic
Algorithm).
1.2

Tình hình nghiên cứu trên thế giới và trong nước

này thực hiện thiết kế tối ưu dựa trên độ tin cậy cho khung thép 2D, 3D sử dụng giải
thuật di truyền sửa đổi kết hợp với phương pháp phân tích độ tin cậy bậc hai SORM.
Trong đó hàm mục tiêu là tối thiểu trọng lượng kết cấu với các điều kiện ràng buộc về
chuyển vị và cường độ. Các biến ngẫu nhiên là tải trọng và ứng suất chảy dẻo vật liệu.
+ Nghiên cứu của Shayanfar và cộng sự (Shayanfar et al. 2014): nghiên cứu thực
hiện thiết kế tối ưu dựa trên độ tin cậy cho khung thép 2D sử dụng phương pháp GA
kết hợp với phương pháp phân tích độ tin cậy bậc nhất FORM. Trong đó hàm mục tiêu
là tối thiểu trọng lượng kết cấu với các điều kiện ràng buộc về chuyển vị và về cường
độ. Các biến ngẫu nhiên là tải trọng và ứng suất chảy dẻo vật liệu.
Các nghiên cứu về tối ưu hoá đa mục tiêu đã có ở một số lĩnh vực như: tối ưu hóa
kết cấu dầm, tấm composite ở các nghiên cứu sau:
+ Nghiên cứu của Gurugubelli và Kallepalli (Gurugubelli & Kallepalli 2014):
Nghiên cứu này thực hiện tối ưu hoá trọng lượng và chuyển vị của dầm consol sử dụng
giải thuật NSGA – II (Non-Dominated sorting Genetic Algorithm).
+ Nghiên cứu của Omkar và cộng sự (Omkar et al. 2008): Nghiên cứu này thực
hiện tối ưu hoá trọng lượng và tổng chi phí của tấm composite sử dụng giải thuật
VEPSO (Vector evaluated particle swarm optimization).
+ Nghiên cứu của Coello và Christiansen (Coello & Christiansen 2000) : Nghiên
cứu này thực hiện tối ưu hóa trọng lượng, chuyển vị và ứng suất của các kết cấu dàn sử
dụng giải thuật di truyền GA (Genetic Algorirthm).
1.2.2

Trong nước

Ở Việt Nam, việc ứng dụng các giải thuật tối ưu cũng nhận được nhiều sự quan tâm
của các nhà nghiên cứu. Tuy nhiên các nghiên cứu này vẫn còn hạn chế, đặc biệt là bài
toán tối ưu hóa cho kết cấu cho khung thép, có thể điểm qua một số nghiên cứu sau
đây:



kích thước của kết cấu dàn sử dụng phương pháp tiến hoá khác biệt (Differential
Evolution) cải tiến ; Luận văn thạc sỹ của

ũ Anh Tuấn (Ðại học Kiến trúc Hà Nội,

năm 2000): Tối ưu hóa thiết kế khung thép nhà công nghiệp một tầng v.v.
1.2.3

Kết luận

Hầu hết các nghiên cứu đã được liệt kê bên trên đều đã đạt được những kết quả phù
hợp theo yêu cầu. Nhưng nhìn chung các nghiên cứu trên chỉ thực hiện giải các bài
toán tối ưu hoá mà không ét đến độ tin cậy hoặc nếu có ét đến độ tin cậy thì chỉ với


8
bài toán tối ưu hoá đơn mục tiêu chứ chưa có các công trình nghiên cứu về tối ưu hoá
đa mục tiêu dựa trên độ tin cậy cho kết cấu khung thép. Mặt khác chi phí tính toán đối
với bài toán tối ưu hóa đơn mục tiêu dựa trên độ tin cậy cho kết cấu khung thép của
các nghiên cứu trên tương đối lớn do sự hạn chế của phương pháp vòng lặp đôi. Chính
vì vậy nhằm giúp các nhà thiết kế có nhiều phương án thiết kế tối ưu hơn cho các sản
phẩm thiết kế của mình mà vẫn đảm bảo an toàn khi sử dụng, luận văn này được thực
hiện nhằm thiết lập và giải bài toán tối ưu hoá đa mục tiêu dựa trên độ tin cậy cho kết
cấu khung thép sử dụng giải thuật một vòng lặp đơn ác định.
Mục tiêu nghiên cứu

1.3

Mục tiêu nghiên cứu của luận văn như sau:
- Phân tích ứng xử tĩnh của kết cấu khung 2D bao gồm chuyển vị và nội lực trong

tiêu chuẩn thiết kế của Viện thép Hoa Kỳ LRFD – AISC (2010) (ANSI/AISC
360-10 2010). Biến thiết kế là các giá trị rời rạc được lựa chọn từ bộ dữ liệu tiết
diện thép cánh mỏng (W) theo tiêu chuẩn AISC.
-

Tối ưu trọng lượng và chuyển vị đỉnh của khung đối với bài toán ứng dụng thực
tế. Công trình đã được xây dựng tại Tp. Hồ Chí Minh. Các ràng buộc về độ bền
yêu cầu của cấu kiện và chuyển vị được ác định theo tiêu chuẩn thiết kế kết
cấu thép Việt Nam (TCVN 5575:2012 2012), biến thiết kế là các giá trị liên tục
được lựa chọn theo giới hạn cho trước.

1.5

Kết cấu luận văn

Kết cấu luận văn được trình bày theo thứ tự như sau:
Chương 1. Mở đầu.
Chương 2. Cơ sở lý thuyết.
Chương 3. Các ví dụ số.
Chương 4. Kết luận và kiến nghị.
Tài liệu tham khảo: trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích nghiên cứu
của đề tài.
Phụ lục: các bảng biểu kiểm tra ràng buộc của bài toán ứng dụng thực tế và một số
đoạn mã lập trình Matlab chính để tính toán các ví dụ số trong Chương 3.


10

CHƯƠNG 2.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT

uloe ( x)  Nloe ( x)dloe

(2.1)

Trong đó:
e
+ dlo : Véc-tơ chuyển vị nút trong hệ tọa độ địa phương, được sắp xếp theo thứ
e
u1 
tự các nút là d   e  .
u2 
e
lo

e
+ Nlo ( x) : ma trận hàm dạng của phần tử, được viết dưới dạng ma trận như sau

N leo   N1e

N 2e  .

e
e
trong đó: N1 ; N2 lần lượt là hàm dạng tại nút 1 và nút 2 của phần tử dàn.

Thực hiện quá trình bốn bước xây dựng hàm dạng như sau:
Bước 1. Biểu diễn một thành phần chuyển vị của phần tử
Xét phần tử dàn 1D, chọn véc-tơ đa thức cơ sở pT ( x) 1 x thì thành phần chuyển vị
của phần tử sẽ được biểu diễn như sau:


Thay véc-tơ a vào bước 1: uk ( x)  p ( x) P dlo  g ( x)dlo

Hay g e ( x)  pT ( x) P 1  pT ( x) P11 pT ( x) P21    N1e ( x) N 2e ( x) 
1
 1 0 
1 0 
Tính ma trận P  
 1 1
e
 e

1
l


le 
 l
1

Thay số:

(2.2)


12
 1 0 
x

N ( x)  1 x   1 1   1  e
 e


 dN1e ( x)
B ( x)  
 dx
e
lo

dN 2e ( x)   1
 
dx   l e

1
l e 

(2.6)

Ma trận độ cứng của phần tử dàn trong hệ tọa độ địa phương:

 1
 l e   1
e
e T
e
e
K lo    Blo  DBlod Ω  A  
E 
1   l e
e
0
 l e 


T

e

(2.8)