NGUYÊN HÀM
I. ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÝ VÀ TÍNH CHẤT
1. Đònh nghóa
a/ Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) nếu
x (a; b)" Ỵ
ta có
/
F (x) f(x)=
.
b/ Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] nếu
x (a; b)" Ỵ
ta có
/
F (x) f(x)=
và
/
/
F (a) f(a), F (b) f(b)
+ -
= =
.
Nhận xét:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì
F(x) C, C+ Ỵ ¡
cũng là nguyên hàm của f(x). Do đó nếu f(x) có
một nguyên hàm thì sẽ có vô số nguyên hàm (họ nguyên hàm) khác nhau hằng số C.
Ký hiệu:
f(x)dx F(x) C= +
ò
.
2. Tính chất

(ax b)
1
(ax b) dx . C
a 1
a +
a
+
+ = +
a +
ò
dx
ln x C, x 0
x
= + ¹
ò
dx 1
.ln ax b C
ax b a
= + +
+
ò
1
dx 1
C
x ( 1)x
a a-
= - +
a -
ò
1

a +b
= +
a
ò
cosxdx sinx C= +
ò
1
cos(ax b)dx .sin(ax b) C
a
+ = + +
ò
sinxdx cosx C= - +
ò
1
sin(ax b)dx .cos(ax b) C
a
+ = - + +
ò
2
1
dx tanx C
cos x
= +
ò
2
1 1
dx tan(ax b) C
cos (ax b) a
= + +
+

=
+

5/
2
2x 3
f(x)
x 3x 1
-
=
- +
6/
2
x 2x 1
f(x) (x 1)5
+ -
= +

7/
lnx
f(x)
2x
=
8/
3
(lnx 3)
f(x)
2x
+
=

16/
2
17x
f(x)
10x 13x 3
=
+ -

17/
cosx 3sinx
f(x)
sinx cosx
+
=
+
18/
3
2cosx
f(x)
(sin x cosx)
=
+

19/
2 2
2
5sin x 3cotg x
f(x)
cos x
-

2x 1
+
=
+
24/
2
3x
f(x)
3x 2
=
+

25/
2
1
f(x)
xcos (lnx)
=
26/
2 2
sinx cosx
f(x)
cos x sin x
=
-

Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau với điều kiện kèm theo:
1/
x
x

2
2
f(x) 1
3x 1
= +
-
,
( )
2
F 0
3
=

5/
1x2x
1x3x3x
)x(f
2
23
++
−++
=
,
3
1
F(1)
=
TÍCH PHÂN
1. Đònh nghóa
Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng

( )
; a b
và
( )
a, b, c ; Ỵ a b
ta có
1/
a
a
f(x)dx 0=
ò
2/
b a
a b
f(x)dx f(x)dx= -
ò ò
3/
b b
a a
k.f(x)dx k f(x)dx k= " Ỵ
ò ò
¡
5/
b b b
a a a
[f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx± = ±
ò ò ò
6/
[ ]
b

xx
∫
+−
8
1
3
2
35
4/
dx
xx
x
∫
−
4
1
3
)1(
Bài 2 : Tính các tích phân :
1/
dx
x
∫
−
2
1
35
3
2/
dx

2
23
32
5/
dx
xx
∫
+−
5
4
2
23
1
6/
dx
xx
x
∫
+−
−
4
3
2
23
3
7/
dx
xx
∫
+−




−
+
10/
dx
x
x
∫
+
1
0
2
3
1
Bài 3 : Tính các tích phân :
1/
∫
2
0
cos3cos
π
xdxx
2/
∫
2
0
sin2sin
π

π
π
dx
xx
7/
∫
3
6
22
cossin
2cos
π
π
dx
xx
x
8/
dx
x
e
e
x
x
)
cos
3(
4
0
2
∫

bu
au
dttf
*Chú ý : Thường đặt u là căn, mũ, mẫu, mập.
Bài 1 :Tính các tích phân :
1/
∫
+
8
3
1
dx
x
x
2/
∫
+
1
0
815
1 dxxx
3/
∫
+
1
0
1
dx
x
x

1
0
2
2
2/
xdxe
x
cos
2
0
sin21
∫
+
π
3/
dxee
xe
x
∫
1
0
4/
∫
e
x
x
dxe
1
ln
5/

1
3/
∫
1
0
sin dxee
xx
4/
∫
−
+
1
0
dx
ee
e
xx
x
5/
∫
+
27
1
3
)1(
dx
xx
dx
6/
∫

x
e
dx
10/
∫
+
2
0
33
3
cossin
sin
π
dx
xx
x
11/
∫
+
dx
xx
x
33
3
cossin
cos
12/
∫
−
+

)('
xvv
dxxudu
Khi đó
∫
b
a
dxxvxu )(').(
=
b
a
xvxu )()(
-
∫
b
a
dxxvxu )().('
*Chú ý : - Đặt u theo thứ tự ưu tiên : Logarit(lôcNêpe), đa thức, …...
- Sau khi đặt u, toàn bộ phần còn lại là dv
Bài tập : Tính các tích phân sau :
1/
∫
2
0
cos
π
xdxe
x
2/
∫

0
2
)(ln
6/
∫
+
+
2
6
cos1
sin
π
π
dx
x
xx
7/
∫
2
0
2
sin
π
xdxx
8/
∫
−
e
dxx
1







−
2
ln
1
ln
1
2
DẠNG 3 : Phương pháp đổi biến dạng 1
* p dụng cho những tích phân có chứa các biểu thức
22
xa
−
,
22
1
xa
+
mà không thể tính bằng các phương
đã học .
*Phương pháp:
+ Đặt biến mới
-Dạng chứa
22
xa

+ Các bước tiếp theo : đổi cận, thay thế tương tự như phương pháp đổi biến dạng 2
Bài tập : Tính các tích phân sau :
1/
∫
−
a
dxxax
0
222
( a > 0 ) 2/
dx
x
x
∫
−
1
22
2
2
1
3/
∫
−
e
xx
dx
1
2
ln4
4/

−
3
1
22
4
1
dx
xx
8/
∫
−
1
0
22
1 dxxx
9/
∫
+
2
1
22
4
1
dx
xx
BÀI TẬP ÔN TẬP
1)
∫
−
1

xdxln)x - (x
6)
∫
+
2
0
3
3
2
1 x
dxx
7)
∫
−
2
1
2
9x
dx
8)
∫
e
e
1
dxlnx
9)
∫
4
1
ln

2
ln).1(
14)
∫
−−
−
2
1
2
6
)1(5
dx
xx
x
15)
∫
2
0
sin
π
xdxe
x
16)
∫
π
2
0
x
xdxcos.e
17)

0
2
cos
π
x
xdx
21)
∫
−+
2
0
2
32 dxxx

22)
∫
−
π
0
2
sin1 dxx
23)
∫
−







∫
+
1
0
2
dx
1x
x
27)
∫
2
π
0
x.sin2xdx
28)
∫
+
1
0
2
dx1xx.
29)
∫
+
1
0
12x
dxx.e
30)
∫

0
53
dxx)2cosx(cos
π
35)
∫
+
1
0
3
dx
)1(x
x
36)
∫
2
6
2
3
dx
sin
cos
π
π
x
x
37)
∫
+
+

∫
+
−
4
0
2
2sin1
sin21
π
dx
x
x
42)
∫
−+
2
1
11
dx
x
x
43)
( )
∫
π
+
2
0
2
xdxcosxsinx

dxx.e
48)
∫
+
1
0
2
dx1)n(x.x l
49)
∫
2
0
5
dxxin
π
s
50)
∫
e
1
dxlnx.x
51)
∫
2
0
2
dx)in(x.
π
sx
52)

dx
x
π
π
+
−
∫
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
BÀI 1 : Tính diện tích hình phẳng:
1) Giới hạn bởi (P): y = x
2
và 2 tiếp tuyến phát xuất từ A (0, -2).
2) Giới hạn bởi (C ) : y =
1
2
−
x
x
, đường tiệm cận xiên và 2 đường thẳng x = 2và x =
λ
(
λ
> 2)
Tính
λ
để diện tích S = 16 đvdt