TRƯỜNG THPT. BC CHU VĂN AN
SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Đònh m để hàm số :
1) f(x) =
3
1
x
3
-
2
1
mx
2
– 2x + 1 đồng biến trong R
2) f(x) =
1
1
2
−
+−
x
mxx
tăng trong từng khoảng xác đònh của nó.
CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
Bài 1 : Đònh m để các hàm số sau đây có cực trò :
1/ y =
3
1
mx
3
– (m – 1)x

+++
ααα
sìnxx
5/y =
4
3
2
−
++−
x
mxx
6/y =
1
2
−
+−
x
mmxx
Bài 2: Đònh m để hàm số đạt cực trò tại điểm x
0
1/y =
3
3
x
+ mx
2
+ 2(5m – 8)x + 1 đạt cực tiểu tại x
0
= 2
2/y = x

6 4 2
9 1
y x 3x x
4 4
= - + +
trên đoạn
[ 1; 1]-
.
3/
2
f(x) x 5x 6= - + +
.
4/
3
y x 3x 2= - +
trên đoạn [–3; 2].
5/ y = x
3
- 3x
2
+ 6x – 2 trên
[ ]
1,1
−
6/ y = x + 2
x
trên
[ ]
4,0
7/ y =

10/ y = 4cos2x + 3sin2x + 7
11/ y = 2 sin x + 4 cosx – 3

LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 1
ÔN TẬP TỐT NGHIỆP
12/ y =
1coscos
1
2
++
xx
13/ y =
x
2
sin2
3
+
14/
2
x 1
f(x)
x 1
+
=
+
.
KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ NHỮNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN
BÀI 1 : Cho hàm số : y = – x
3
+ 3x + 1 (C)

+ 3(2m – 1)x + 1 (C
m
).
1) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m = 1.
2) Xác đònh m sao cho hàm số đồng biến trên tập xác đònh.
3) Xác đònh m sao cho hàm số có một cực đại và một cực tiểu.
BÀI 5 : Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 3mx + 3m + 4, có đồ thò (Cm).
1) Xác đònh m để hàm số có cực trò.
2) Xác đònh m để đồ thò của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
3) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m = 1.
BÀI 6 : Cho hàm số y = 3x
2
– x
3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2) Gọi I là điểm uốn của đồ thò (C) và A là điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 3. Viết phương
trình các tiếp tuyến của (C) tại I và A. Tìm tọa độ giao điểm B của hai tiếp tuyến này.
BÀI 7 : Cho hàm số : y = x
3
– (m + 3)x
2
+ mx + m + 5 (C
m
).
1) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.

BÀI 11 : Cho hàm số: y = –x
3
+ 3mx
2
+ 3(1 – m
2
)x + m
3
– m
2
(1) (m là tham số)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số (1) khi m = 1
2) Tìm k để phương trình : -x
3
+ 3x
2
+ k
3
– 3k
2
= 0 có ba nghiệm phân biệt.
3) Viết ph. trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò của đồ thò hàm số (1).
BÀI 12 : Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ m (1) (m là tham số)
1) Tìm m để đồ thò hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.
2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số (1) khi m = 2
BÀI 13 : Gọi (C

+

BÀI 15 : Cho hàm số : y = (x – m)(x
2
– 2x – m – 1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số khi m = 1.
2) Tìm tất cả giá trò m sao cho hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ điểm cực đại x
CĐ
, hoành
độ điểm cực tiểu x
CT
thỏa : | x
CĐ
. x
CT
| = 1.
BÀI 18 : Cho hàm số : y = – x
3
+ 3x + 2 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số (1).
2) Tìm m để phương trình : x
3
– 2x + 2
m
– 6 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
B. HÀM TRÙNG PHƯƠNG y = ax
4
+ bx
2
+ c

2
3
x3x
2
1
24
−+−
= 0 có 4 nghiệm phân
biệt.
BÀI 3 : Cho hàm số y = x
4
– 2x
2
+ 1 có đồ thò (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2) Dùng đồ thò (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
x
4
– 2x
2
+ 1 –m = 0.
3) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ; 1).
BÀI 4 : Cho hàm số y = (2 – x
2
)
2
có đồ thò (C).
1) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số.

LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 3

4
+ 2x
2
+ 3 có đồ thò (C).
1) Khảo sát hàm số.
2) Dựa vào đồ thò (C), hãy xác đònh các giá trò m để pt x
4
– 2x
2
+ m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 8 : Cho hàm số: y = mx
4
+ (m
2
– 9)x
2
+ 10 (m là tham số)(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số (1) khi m = 1
2) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trò.
3. HÀM SỐ HỮU TỈ BẬC 1/1:
( )
ax b
y ad bc 0
cx d
+
= - ¹
+
BÀI 9 : Cho hàm số y =
1x
2x2

4
−

1) Khảo sát sự biến và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2) Dựa vào đồ thò (C), biện luận theo k số giao điểm của đồ thò (C) và đường thẳng y = k.
BÀI 12 : Cho hàm số :
4x
4
y
−
=
1) Khảo sát hàm số trên (đồ thò là (C) )
2) Viết p. trình tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ là 3.
BÀI 13 : Cho hàm số : y =
m2x
1mx
+
+
(C
m
)
1) Đònh m để hàm số đồng biến trong từng khoảng xác đònh của nó.
2) Khảo sát hàm số khi m = 1, gọi đồ thò là (C).
BÀI 17 : Cho hàm số : y =
1x
1x
−
+
(1), có đồ thò (C).
1) Khảo sát hàm số (1).

-¹
không là nghiệm của tử số)
4.1. Miền xác đònh :
{ }
E
D \
D
= -¡
.
2
Ax Bx C c
y ax b
Dx E Dx E
+ +
= = + +
+ +
( a, b, c là các kết quả trong biểu thức Hoocne)
4.2. Đạo hàm
2
/
2
ADx 2AE.x (BE CD)
y
(Dx E)
+ + -
=
+
+ (1) có 2 nghiệm phân biệt thì hàm số có hai cực trò.
+ (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đơn điệu trên MXĐ.
4.3. Giới hạn và tiệm cận

2
+
++
có đồ thò (C).
LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 6
TRƯỜNG THPT. BC CHU VĂN AN
1) Khảo sát hàm số trên, từ đó suy ra đồ thò hàm số : y =
2x
3x3x
2
+
++
2) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C), biết rằng d vuông góc với đường thẳng d’ : 3y – x + 6
= 0.
3) Dùng đồ thò (C) để biện luận theo a số nghiệm của phương trình : x
2
+ (3 – a)x + 3 – 2a = 0.
BÀI 2 : Cho hàm số :
)1x(2
4xx
y
2
−
+−
=
, có đồ thò là (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số.
2) Tìm trên đồ thò (C) tất cả các điểm mà hoành độ và tung độ của chúng đều là số nguyên.
3) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A


+
−
=
1) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số trên.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = –3x
+ 3
3) Biện luận theo tham số m số giao điểm của đồ thò (C) và đường thẳng (D) : y = –2x + m.
4) Tìm trên đồ thò (C) các điểm M cách đều 2 trục tọa độ.
BÀI 5 :của hàm số
1x
x
y
2
−
=
1) Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thò (C)
2) Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi (C), đường tiệm cận xiên của (C) và hai đường
thẳng có phương trình : x = –2, x = –1.
3) Tìm k để đường thẳng (d
1
) : y = kx + 1 cắt (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh phân biệt.
4) Tìm k để đường thẳng (d
2
) : y = kx + 1 cắt (C) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh.
BÀI 6 : Cho hàm số y =
1x
1m3x)4m(x
2
+
−+−−

−
2
1
;0

LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 7
ÔN TẬP TỐT NGHIỆP
BÀI 8 : Cho hàm số :
1
−
++−
=
x
1m2mxx
y
2
(C
m
)
1) Đònh m để hàm số có cực đại, cực tiểu và tung độ các điểm cực đại, cực tiểu cùng dấu.
2) Khảo sát hàm số trên với m = 1. (đồ thò là (C))
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò (C), đường thẳng y = 3 và hai đường thẳng x =
2, x = 3.
BÀI 9 :
1) Khảo sát và vẽ đồ thò (G) của hàm số :
1x
1
1x
2
1

−+
−−+−−−
=
có các tiệm cận trùng với các
tiệm cận tương ứng của đồ thò hàm số khảo sát trên.
BÀI 11 : Cho hàm số:
)1x(2
3x3x
y
2
−
−+−
=
(1) (m là tham số)
1) Khảo sát hàm số (1).
2) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thò hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB = 1.
BÀI 12: Gọi (C
m
) là đồ thò của hàm số y = mx +
x
1
(m là tham số)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số khi m =
4
1
.
2) Tìm m để h/s có cực trò và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C
m
) đến tiệm cận xiên của (C
m

m (m > 2). Tìm m để diện tích này bằng 3.
Bài 15: Cho hàm số:
1x
mxmx
y
2
−
++
=
(1) (m là tham số)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số (1) khi m = –1.
2) Tìm m để đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm có hoành độ
dương.
Câu I : (2 điểm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số
)1(
2x
4x2x
y
2
−
+−
=
2) Tìm m để đường thẳng d
m
: y = mx + 2 – 2m cắt đồ thò của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt
LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 8
TRƯỜNG THPT. BC CHU VĂN AN
NGUYÊN HÀM
I. ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÝ VÀ TÍNH CHẤT

a/
( )
/
f(x)dx f(x)=
ò
b/
a.f(x)dx a. f(x)dx (a 0)= ¹
ò ò
c/
[ ]
f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx± = ±
ò ò ò
.
3. Đònh lý
Đònh lý 1
Mọi hàm số liên tục trên khoảng (a; b) (hoặc đoạn [a; b]) thì có nguyên hàm trên khoảng (hoặc
đoạn) đó.
Đònh lý 2
Nếu
u u(x)=
và
f(x)dx F(x) C= +
ò
thì
f(u)du F(u) C= +
ò
.
4. Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của hàm số cơ bản Nguyên hàm mở rộng
a.dx ax C, a= + Ỵ

/
u dx
ln u C, u 0
u
= + ¹
ò
2
dx 1
C
x
x
= - +
ò
/
2
u dx 1
C
u
u
= - +
ò
dx
2 x C
x
= +
ò
/
u dx
2 u C
u

u sin udx cos u C= - +
ò

LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 9
ÔN TẬP TỐT NGHIỆP
2
1
dx t gx C
cos x
= +
ò
/
2
u
dx t gu C
cos u
= +
ò
2
1
dx cotgx C
sin x
= - +
ò
/
2
u
dx cotgu C
sin u
= - +

+
ò
c/
ax b ax b
1
e .e C
a
+ +
= +
ò
d/
1
cos(ax b)dx . sin(ax b) C
a
+ = + +
ò
e/
2
dx 1
.tg(ax b) C
a
cos (ax b)
= + +
+
ò
.
5. BÀI TẬP :
Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1/
5

ln x
f(x)
2x
=
8/
3
(ln x 3)
f(x)
2x
+
=

9/
2
f(x) sin(ax b) cos (ax b)= + +
10/
f(x) t gx=

11/
2 3
f(x) x x 1= +
12/
3 cos x
f(x) e sin x=

13/
2
2
f(x)
1 x

(sin x cos x)
=
+

19/
2 2
2
5 sin x 3cotg x
f(x)
cos x
-
=
20/
( )
2
x x
f(x) sin cos
2 2
= -

21/
( )
3
x 1
f(x)
x x
-
=
22/
( )

2 2
sin x cos x
f(x)
cos x sin x
=
-

Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau với điều kiện kèm theo:
LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 10
TRƯỜNG THPT. BC CHU VĂN AN
1/
x
x
e
f(x)
e 2
=
+
,
F(0) ln 3= -
2/
20
cos x
f(x)
sin x
=
,
( )
F 0
2

2
23
++
−++
=
,
3
1
F(1)
=
TÍCH PHÂN
1. Đònh nghóa
Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng
( )
; a b
và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng đó, với
( )
a, b ; Ỵ a b
ta gọi hiệu
F(b) F(a)-
là tích phân từ a đến b của f(x).
Ký hiệu:
b
b
a
a
f(x)dx F(b) F(a) F(x)= - =
ò

(công thức Newton - Leibniz).

a a
k.f(x)dx k f(x)dx k= " Ỵ
ò ò
¡
4/
b c b
a a c
f(x)dx f(x)dx f(x)dx= +
ò ò ò
5/
b b b
a a a
[f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx± = ±
ò ò ò
6/
[ ]
b
a
f(x) 0 x a; b f(x)dx 0"³ Ỵ Þ ³
ò

[ ]
b
a
f(x) 0 x a; b f(x)dx 0"£ Ỵ Þ £
ò
7/
[ ]
b b
a a

[ ]
; a b
3/
u( ) a, u( ) b= =a b
thì
b
/
a
f(x)dx f[u(t)].u (t)dt f(u)du
b b
a a
= =
ò ò ò
.
4. BÀI TẬP
DẠNG 1 : Tính tích phân bằng đònh nghóa
PP : Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân về dạng tổng hiếu các hàm số có nguyên hàm
Bài 1 : Tính các tích phân :
1/
dxxx )1(
2
1
0
+
∫
2/
dxxxx )1(
2
16
1

1
35
3
2/
dx
x
x
∫
−
−
2
1
21
12
3/
dx
x
xx
∫
−
+−
5
4
2
3
52
4/
dx
xx
x

7/
dx
xx
∫
+−
5
4
2
96
3
8/
dx
xx
x
∫
+−
−
5
4
2
96
12
9/
dx
x
x
2
2
1
3

∫
2
0
sin2sin
π
xdxx
3/
∫
2
0
3sincos
π
xdxx
4/
∫
2
0
5cos2sin
π
xdxx
5/
∫
2
0
4
cos
π
xdx
6/
∫

3(
4
0
2
∫
−
+
π
LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 12
TRƯỜNG THPT. BC CHU VĂN AN
DẠNG 2 : Phương pháp đổi biến dạng 2
* p dụng cho những tích phân có dạng
∫
b
a
dxxuxuf )(')].([
( trong đó u(x) là hàm số biến
x)
*Phương pháp:
+ Đặt t = u(x)
⇒
dt = u’(x)dx
+ Đổi cận : Khi x = a
⇒
t = u(a), khi x = b
⇒
t= u(b)
+ Thay thế :
Khi đó
∫

∫
+
1
0
1
dx
x
x
4/
∫
−
2ln
0
1dxe
x
5/
∫
+
2
1
2
1 xx
dx
6/
∫
−
2
3
21
2

∫
e
x
x
dxe
1
ln
5/
dx
x
e
tgx
∫
2
0
2
cos
π
6/
dx
x
e
tgx
∫
2
0
2
cos
π
Bài 3 :Tính các tích phân :

1
0
dx
ee
e
xx
x
5/
∫
+
27
1
3
)1(
dx
xx
dx
6/
∫
π
0
4
cos xdx
7/
∫
−
−−
1
1
2

sin
π
dx
xx
x
11/
∫
+
dx
xx
x
33
3
cossin
cos
12/
∫
−
+
2ln
0
xx
ee
dx
DẠNG 3 : Phương pháp tích phân từng phần
* p dụng cho những tích phân có dạng
∫
b
a
dxxvxu )(').(

dxxvxu )(').(
=
b
a
xvxu )()(
-
∫
b
a
dxxvxu )().('
*Chú ý : - Đặt u theo thứ tự ưu tiên : Logarit(lôcNêpe), đa thức, …...
- Sau khi đặt u, toàn bộ phần còn lại là dv
Bài tập : Tính các tích phân sau :
1/
∫
2
0
cos
π
xdxe
x
2/
∫
2
4
2
sin
π
π
dx

2
6
cos1
sin
π
π
dx
x
xx
7/
∫
2
0
2
sin
π
xdxx
8/
∫
−
e
dxx
1
2
)ln1(
9/
∫
e
e
dxx

2
ln
1
ln
1
2
DẠNG 3 : Phương pháp đổi biến dạng 1
* p dụng cho những tích phân có chứa các biểu thức
22
xa
−
,
22
1
xa
+
mà không thể tính
bằng các phương đã học .
*Phương pháp:
+ Đặt biến mới
-Dạng chứa
22
xa
−
: Đặt x = asint, t






0
222
( a > 0 ) 2/
dx
x
x
∫
−
1
22
2
2
1
3/
∫
−
e
xx
dx
1
2
ln4
4/
dxxx
∫
++−
1
0
2
32

xx
8/
∫
−
1
0
22
1 dxxx
9/
∫
+
2
1
22
4
1
dx
xx
BÀI TẬP ÔN TẬP
BÀI 1 : Chứng minh :
∫∫
π
π
=
2
4
e
1
sin
xdxln

)xsin(ln
e
1
∫
5)
∫
e
1
2
xdxln)x - (x
6)
∫
+
2
0
3 3
2
1 x
dxx
7)
∫
−
2
1
2
9x
dx
∫
2
1

2
ln
12)
∫
4
0
3
π
xdxtg
13)
∫
++
e
xdxxx
1
2
ln).1(
14)
∫
−−
−
2
1
2
6
)1(5
dx
xx
x
15)

1
dx
5
x
lnx
19)
∫
4
0
2
sin
π
dxx
20)
∫
4
0
2
cos
π
x
xdx
21)
∫
−+
2
0
2
32 dxxx


2
cos
sin32
π
dx
x
x
25)
∫
2
0
2
cos
π
xdxx
26)
∫
+
1
0
2
dx
1x
x
27)
∫
2
π
0
x.sin2xdx

∫
e
1
dxlnx.x
33)
∫
2
0
2
dx)in(x.
π
sx
34)
∫
+
2
0
53
dxx)2cosx(cos
π
35)
∫
+
1
0
3
dx
)1(x
x
36)

0
dx6x2sin.x6sin
39)
∫
−
2
0
2
dxxx
40)
∫
+
32
5
2
4xx
dx
41)
∫
+
−
4
0
2
2sin1
sin21
π
dx
x
x

∫
2
π
0
x.sin2xdx

LÖU HAØNH NOÄI BOÄ – trang 15
ÔN TẬP TỐT NGHIỆP
46)
∫
+
1
0
2
dx1xx.
47)
∫
+
1
0
12x
dxx.e
48)
∫
+
1
0
2
dx1)n(x.x l
49)

π
x
x
53)
∫
+
+
1
0
2
dx
1
1
x
x
54)
dx
tgx
tgx
∫
−
+
3
6
1
1
π
π
BÀI 3: Chứng minh rằng :
1)

1
0
222
sinsin xdxxxdxx
4)
∫
<−<
1
0
2
27
4
)1(0 dxxx
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
BÀI 1 : Tính diện tích hình phẳng:
1) Giới hạn bởi (P): y = x
2
và 2 tiếp tuyến phát xuất từ A (0, -2).
2) Giới hạn bởi (C ) : y =
1
2
−
x
x
, đường tiệm cận xiên và 2 đường thẳng x = 2và x =
λ
(
λ
>
2)

y = x +1 ; y = x
3
– 3x
2
+ x + 1.
9) Giới hạn bởi y = x
2
– 4x + 3 ; y = x – 1 ; x = 0 ; x = 2.
10) Giới hạn bởi y
2
= x ; y = – x + 2.
11)Giới hạn bởi
2x
12x10x2
y
2
+
−−
=
và đường thẳng y = 0
BÀI 2 : Cho Parapol (P). Hai điểm A, B di động trên Parapol sao cho AB = 2 .
a) Tìm quỹ tích trung điểm I của AB.
b) Xác đònh vò trí của A, B sao cho diện tích của phần mp giới hạn bởi parapol và cát tuyến AB đạt giá
trò lớn nhất.
BÀI 3: Tính thể tìch các hình tròn xoay do các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh trục
Ox
1) y = - x
2
+ 2x và y = 0
2) y = sin x, y = 0, x =

b/ Tính diện tích của hình (H) chắn bởi đồ thò hàm số y = f(x) và trục Ox
c/ Tính thể tích khối tròn xoay gây nên bởi hình (H) khi quay quanh Ox
7) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình giới hạn bằng các đường sau đây quay xung
quanh trục Ox : y = x
2
– 1 và y = 0.
BÀI 4 : Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi cácđường : x = –1 ; x = 1 ;y = 0 ; y = x
2
– 2x
1) Tính diện tích hình (H).
2) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H)xoay xung quanh trục Ox.
BÀI 5 :
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
y = x +1 ; y = x
3
– 3x
2
+ x + 1.
2) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình giới hạn bằng các đường sau đây quay
xung quanh trục Ox : y = x
2
– 1 và y = 0.
BÀI 6 :
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = x
2
+ 2x +1 ; y = –
x
2
và x = –
2

r
, ta có:
1)
1 1 2 2
a b (a b ; a b )± = ± ±
r
r
. 2)
1 2
ka (ka ; ka ), k= Ỵ
r
¡
.
3)
1 2
1 2
1 2 2 1 1 2
1 2
1 2
a a
a a
a b a k.b 0 a b a b 0 (b 0 b )
b b
b b
= = - = =Û Û Û Û ¹ ¹
r r
r r
P
.
4)


1 1 2 2
a b a b a b 0^ + =Þ Û
r
r
.
7)
( ) ( )
2 2
B A B A B A B A
AB (x x ; y y ) AB x x + y y= - - = - -Þ
uuur
.

LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 17
ÔN TẬP TỐT NGHIỆP
8) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k MA k.MB=Û
uuur
uuuur

( )
A B A B
x k.x y k.y
M ; .
1 k 1 k
- -
Þ
- -
9) Điểm I là trung điểm của đoạn AB thì I
( )

n (A; B)=
r
là vectơ pháp tuyến (VTPT) của (d).
3) (d) đi qua
0 0 0
M (x ; y )
và
n (A; B)=
r
thì (d):
0 0
pt(d) : A(x x ) B(y y ) 0- + - =
.
b) Phương trình tham số (ptts)
(d) đi qua
0 0 0
M (x ; y )
và có VTCP
1 2
a (a ; a )=
r
thì
0 1
0 2
x x a t
pt ts(d) : (t )
y y a t
= +
ì
ï

= 0) ta viết
0 0
2
x x y y
pt ct(d) :
0 a
- -
=
, với quy ước
0
x x 0.- =
d) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
A A
B A B A
x x y y
pt(AB) :
x x y y
- -
=
- -
hoặc
B B
B A B A
x x y y
pt(AB) :
x x y y
- -
=
- -
.

.
2) (d) song song (d’)
A B B C
0, 0
B' C'
A' B'
=Û ¹
hoặc
C A
0
C' A'
¹
.
3) (d) trùng (d’)
A B B C C A
0
B' C'
A' B' C' A'
= = =Û
.
b) Chùm đường thẳng
Giả sử (d) cắt (d’) tại I, đường thẳng
( )D
đi qua I thì
( )D
thuộc chùm đường thẳng tâm I và
2 2
pt( ) : m(Ax By C) n(A ' x B ' y C ') 0 (m n 0)+ + + + + = + >D
.
c) Góc giữa hai đường thẳng

A B
+ +
=
+
.
e) Phương trình hai đường phân giác của các góc hợp bởi (d) và (d’)
2 2 2 2
Ax By C A ' x B ' y C '
A B A ' B '
+ + + +
= ±
+ +
.
3. Một số tính chất khác
Cho hai điểm
1 1 1 2 2 2
M (x ; y ), M (x ; y )
và đường thẳng (d): Ax + By + C = 0, ta có:
1)
1
M
hoặc
2
M
nằm trên (d)
1 1 2 2
(Ax By C)(Ax By C) 0+ + + + =Û
.
2)
1 2

2. Vò trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Cho (d): Ax + By + C = 0 và (C) tâm I bán kính R, ta có 3 vò trí tương đối sau đây:
1) (d) tiếp xúc (C)
Û
d(I; (d)) = R.
2) (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt
Û
d(I; (d)) < R.
3) (d) không cắt (C)
Û
d(I; (d)) > R.
3. Vò trí tương đối của hai đường tròn
Cho (C
1
) tâm I
1
bán kính R
1
và (C
2
) tâm I
2
bán kính R
2
, ta có 5 vò trí tương đối sau đây:
1) (C
1
) và (C
2
) ngoài nhau

1 2 1 2 1 2
R R I I R R- < < +Û
.
4) (C
1
) tiếp xúc trong với (C
2
)
1 2 1 2
I I R R= -Û
.
5) (C
1
) và (C
2
) chứa nhau
1 2 1 2
I I R R< -Û
.
4. Phương tích. Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0 và điểm M
0
(x
0
; y
0
), vẽ cát tuyến M

( )
0
M CÛ Ỵ
.
2) P
0
M / (C)
0<
thì
0
M
nằm trong (C).
3) P
0
M / (C)
0>
thì
0
M
nằm ngoài (C).
5. Trục đẳng phương
Cho (C
1
): x
2
+ y
2
– 2a
1
x – 2b

= x
2
+ y
2
– 2a
2
x – 2b
2
y + c
2
Û
2(a
1
– a
2
)x + 2(b
1
– b
2
)y – (c
1
– c
2
) = 0.
6. Tiếp tuyến tại điểm M
0
(x
0
; y
0

2
= 2c và hằng số 2a (a > c > 0).
Tập (E) là một elip nếu
1 2
M (E) MF MF 2a+ =Ỵ Û
.
1) F
1
, F
2
là 2 tiêu điểm.
2) F
1
F
2
= 2c là tiêu cự.
3) A
1
(– a; 0), A
2
(a; 0), B
1
(0;–b), B
2
(0; b) là 4 đỉnh của elip.
2. Phương trình chính tắc
Cho elip (E) có hai tiêu điểm F
1
(–c; 0) và F
2

= +
,
2 M
c
MF a x
a
= -
.
4. Tâm sai:
2 2
c a b
e
a a
-
= =

( )
e 1<
.
5. Đường chuẩn của elip:
2 2
1 2
a a a a
( ) : x x , ( ) : x x
e c e c
= - = - = =D Û D Û
.
6. Tiếp tuyến với elip
a) Tiếp tuyến tại điểm M
0

a b
+ =
ta có:
(d) tiếp xúc (E)
Û
a
2
A
2
+ b
2
B
2
= C
2

(C 0)¹
.
II. HYPERPOL
1. Đònh nghóa
Cho hai điểm cố đònh F
1
, F
2
với F
1
F
2
= 2c và hằng số 2a (c > a > 0).
Tập (H) là một hyperpol nếu