CHƯƠNG 1

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Ngay từ khi còn ngồi trên ghế nhà trường chúng ta thấy chuyên đề về phương
trình, bất phương trình là một trong những chuyên đề xuyên suốt các năm học của học
sinh, bắt đầu từ những bài toán “Tìm x biết” dành cho học sinh lớp dưới đến việc cụ
thể hóa vấn đề phương trình và hoàn thiện cơ bản các nội dung về phương trình đại số
ở cấp hai. Đến bậc phổ thông và chuyên nghiệp kiến thức về phương trình càng
chuyên sâu, đa dạng đồng nghĩa với độ khó khăn và phức tạp hơn. Đây là một nội dung
quan trọng bắt buộc học sinh phải nắm bắt được và có kĩ năng giải một cách thành
thạo. Qua giải phương trình học sinh nắm được kiến thức cơ bản như tập hợp, quan hệ
thứ tự, tập hợp số…
Tuy nhiên vấn đề về phương trình lại là một trong những vấn đề khó, yêu cầu
không chỉ nắm vững các kiến thức cơ bản, mà còn phải biết vận dụng linh hoạt các
phương pháp để giải bài toán phương trình. Đó là một trở ngại không nhỏ khiến cho
nhiều học sinh khi gặp các bài toán về giải các loại phương trình trong học tập cũng
như với những học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi.

Hơn nữa, có nhiều dạng

phương trình nên việc tập hợp, phân loại, hệ thống cũng khiến cho các em gặp khó
khăn.
Bản thân em là người giáo viên dạy toán tương lai muốn hoàn thành nhiệm vụ của
mình thì ngay từ khi đang là sinh viên cần phải biết nỗ lực tìm tòi kiến thức, tổng hợp
cho bản thân mình những kinh nghiệm làm hành trang cho tương lai. Từ khó khăn của
bản thân và của học sinh trong việc học và giải phương trình em đã tìm kiếm tài liệu
cũng như tổng hợp kiến thức để làm đề tài “ Phân loại một số dạng phương trình
thường gặp ở bậc trung học phổ thông và phương pháp giải ” mong rằng sẽ hình thành
kiến thức, tạo nền tảng giúp cho các em học sinh có điều kiện giải các bài Toán mà

khai thác hết giả thiết, các điều kiện yêu cầu của đề bài, thể loại bài toán,.. để từ
đó định hướng cách giải. Đại bộ phận học sinh chúng ta không hiểu rõ sự quan
trọng cần thiết của việc phân tích và nhận định hướng giải, nhiều em không học
lí thuyết mà vận dụng ngay, không giải được thì chán nản, bỏ không giải và giở
sách giải ra chép vv...
Trong quá trình học tập và tìm hiểu, ta thấy các dạng phương trình đa dạng và
phong phú mà ta phải vận dụng nhiều kĩ năng biến đổi đại số như sử dụng hằng
đẳng thức đáng nhớ và một số hằng đẳng thức mở rộng, dùng các phép biến đổi
tương đương và các phép biến đổi đại số, phân tích đa thức thành nhân tử...
Công cụ giải phương trình không đồi hỏi cao xa cái quan trọng là học sinh
phải n ắm vững kiến thức, phải có lập luận chặt chẽ, phải biết xét đầy đủ các
khía cạnh, các trường hợp cụ thể của từng vấn đề. Đặc biệt là yêu cầu đối với
học sinh khá, giỏi; phải biết hết sức sáng tạo, linh hoạt trong khi giải phương
trình, biết đặc biệt hóa và tổng quát hóa những vấn đề cần thiết.
I.

NGUỒN GỐC SỰ RA ĐỜI CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Lý thuyết phương trình đại số có lịch sử rất lâu đời. Từ năm 2000 trước

Công Nguyên, người Ai Cập đã biết giải các phương trình bậc nhất, người
Babylon đã biết giải các phương trình bậc hai và tìm ra được những bảng đặc
biệt để giải phương trình bậc ba.Tất nhiên các hệ số của phương trình được xét
đều là những số đã cho nhưng cách giải của người xưa chứng tỏ rằng họ cũng đã
biết đến các quy tắc tổng quát.Trong nền toán học của người Hi Lạp, lý thuyết
phương trình đại số được phát triển trên cơ sở hình học, liên quan đến việc phát
minh ra tính vô ước của một số đoạn thẳng.Vì lúc đó, người Hi Lạp chỉ biết các
số nguyên dương và phân số dương nên đối với họ phương trình x 2 = 2 vô
nghiệm. Tuy nhiên, phương trình đó lại giải được trong phạm vi các đoạn thẳng
vì nghiệm của nó là đường chéo của hình vuông có cạnh bằng 1.


điểm trong không gian phức n chiều

và g (

C

2

x1, x2,......, xn

x = (x1, x2,....., xn )
. Khi đó các hàm số f (
n

x , x ,......, x
1

là f (

) và

Cn

thuộc

là một

x , x ,......, x
1



Cần chú ý phân biệt phương trình với đẳng thức, sự thể hiện rằng giá trị hai
hàm số luôn bằng nhau với mọi biến số.


III. PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH
Tùy theo f(x) và g(x) là biểu thức toán học loại gì mà phương trình được
gọi tên theo loại đó.
Nếu cả hai biểu thức f(x) và g(x) đều là biểu thức đại số thì (1) là phương
trình đại số, trong trường hợp trái lại thì (1) là phương trình siêu việt.
Nếu cả hai biểu thức f(x) và g(x) đều là biểu thức đại số hữu tỉ (đa thức
hoặc phân thức hữu tỉ) thì (1) gọi là phương trình đại số hữu tỉ. Ðặc biệt, nếu
f(x) và g(x) đều là đa thức (biểu thức hữu tỉ nguyên) thì (1) được gọi là phương
trình đa thức hoặc phương trình đại số nguyên. Nếu trái lại, ít nhất một trong hai
biểu thức f(x) hoặc g(x) là phân thức hữu tỉ thực sự và biểu thức còn lại là đa
thức thì (1) được gọi là phương trình phân thức.
Nếu ít nhất một trong hai biểu thức f(x) hoặc g(x) là đại số vô tỉ (tức là có
chứa căn số của ẩn) và biểu thức còn lại là hữu tỉ thì (1) được gọi là phương
trình vô tỉ.
2.1.1.1.2 Ví dụ:
Phương trình đa thức: x2n + xn + 1 = x2 + x + 1.
Phương trình phân thức:

x-1
2

x +x+1

Phương trình vô tỉ:


và các tham số a, b, …, c

được gọi là phương trình chứa tham số. Khi có một hệ thống giá trị thừa nhận
được của tham số, phương trình này trở thành phương trình cụ thể:
f(x, α, β,…, γ) = 0
với ẩn số x

và không chứa tham số nữa và tập nghiệm của nó hoàn toàn

xác định. Giải phương trình chứa tham số là xác định tất cả các nghiệm của nó
với mỗi hệ thống giá trị thừa nhận được của các tham số.
Ví dụ 1: Các phương trình
ax + b = 0
ax2 + bx + c = 0
là các phương trình chứa tham số a, b, c. Các tham số này có thể lấy mọi
giá trị thực bất kì. Với mỗi hệ thống giá trị (thực bất kỳ, đều thừa nhận được)
của các tham số, ta được một phương trình cụ thể và có thể giải chúng để tìm tập
nghiệm.
Ví dụ 2: Phương trình
ax + x + 1 = 0 chứa tham số a. Các giá trị thừa nhận được của tham số a
được xác định bởi điều kiện a > 0
Ví dụ 3: Phương trình
Chứa các tham số a, b. Các giá trị thừa nhận được của tham số được xác
định bởi cácđiều kiện:
Chẳng hạn a = 2, b = 0 là các giá trị không thừa nhận được của các tham số.
V.

PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG

ĐƯƠNG Các định nghĩa

M 2 = {−1, 2},

M1 ⊂ M 2 ,

do đó

vậy

Định nghĩa 2:
Giả sử

P1 (x) ⇒ P2 (x)

P1 (x), P2 là hai phương trình một ẩn hay n ẩn. P1
(x)
(x)

và P2 (x) được gọi là tương
đương nếu
tương đương trên S khi và
chỉ khi Ta kí hiệu

M1 = M 2 . Nói

khác đi,

P1 và P2 (x) là
(x)

P1 và P2 (x) là hệ quả của nhau.


M = ±
(1± i) ;
 2

2


π

k

π




π

kπ






M

+
+


2
n
n



VI. CÁC
ĐỊNH
LÍ VỀ
PHƯƠ
NG
TRÌNH
TƯƠN
G
ĐƯƠN
G
Qúa
trình

giải

một
phương là
quá

trình

biến


Định lí 2. Cho phương trình f(x) = g(x). Nếu biểu thức h(x) có nghĩa và khác
không trong miền xác định của phương trình đã cho thì
f(x) = g(x) ⇔ f(x).h(x) = g(x).h(x)
Chứng minh: Tương tự như chứng minh ở định lí 1
Định lí 3. Nếu nâng hai vế của một phương trình lên lũy thừa bậc lẻ thì ta
được một phương trình tương đương với phương trình đã cho ( trên trường số
thực )
2.1.1.1.2.3

Chứng minh:

Thật vậy, nếu a là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (1) tức là f(a) = g(a) là
đúng thì ta có:

[ f (a )]2k +1 = [g (a )]2
k +1

(2)


Nghĩa là a cũng là nghiệm của phương trình:

[ f (a )]2k +1 = [g (a )]2

(3)

k +1

Đảo lại, nếu a là nghiệm của phương trình (3), tức là đẳng thức (2) đúng thì
ta có f(a) = g(a), do đó a là nghiệm của phương trình (1).

x= a

Nếu

, phương trình có vô số nghiệm.

Nếu

, phương trình vô nghiệm.

3x − 9 = 0

1.3 Một số ví dụ
Ví dụ 1 Giải phương trình:
2.1.1.1.6

Giải

3x − 9 = 0
⇔ 3x = 9

⇔

x=3

Vậy nghiệm của phương trình là
Ví dụ 2 Giải phương trình:

x =3


2 3

2x −1 5x + 2
3−

= 12

x −3 4
+1

2
x
−
1

2.1.1.1.8 Giải

−
5
x
+
2
=
x
−
3
T
a
c
ó

phương
trình vô
nghiệm
1.4 Một số bài
tập vận
dụng
Bài 1
Giải và
biện luận
phương
trình sau
2.1.1.2.1
Giải
P
h
ư
ơ
n
g
trì
n
h
(1
)
tư
ơ
n
g
đ
ư

m
+
1

trì
n
h
c
ó
n
g
hi
ệ
m
d
u
y
n
h
ất
là

+

- m=
Nếu
0 −1
3
3


2.1 Định nghĩa: Phương trình bậc hai theo x là mọi phương trình có dạng hoặc
có thể đưa về dạng : ax2 + bx + c = 0

(1)

Trong đó x là ẩn; a, b, c là các hệ số đã biết với a ≠ 0. Biểu thức ở vế trái
f(x) = ax2 + bx + c
được gọi là tam thức bậc hai đối với biến x.
Ðể phương trình (1) ta biến đổi như sau (phương pháp đề xuất bình phương đủ):


c
 2 b
=a x + x+


a
a

2
b
b2
2 
=a x +2
x+
c b

2 + a − 2 

4a


Ðặt b’2 – ac = ’ và gọi biệt thức thu gọn. Khi đó nếu

’

, phương trình

có hai nghiệm thực (phân biệt hoặc kép) là:

Giữa các nghiệm của phương trình bậc hai (1) ta có định lí thuận và đảo sau
đây của Viét, là trường hợp riêng quan trọng của định lí Viét.


Ðịnh lí Viét: Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm x1, x2 thì:
−
=
b
x1 + x2
a

x1.x2 =

c
a

Đảo lại, nếu hai số x, y thỏa mãn x + y = S và x.y = P thì x, y là nghiệm của
phương trình bậc hai X2 – SX + P = 0.
Từ đó suy ra một hệ quả rất thông dụng:
2.1.1.2.1.2 Hệ quả.
1) Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (1) có một nghiệm bằng 1, và nghiệm kia

theo ba trường hợp như trên
B. Phương trình bậc hai đủ:
- Phương trình bậc hai đủ có dạng ax2 + bx + c = 0 (a, b, c đều khác 0).
2.3 Một số ví dụ
Ví dụ 1

Giải phương trình:

Giải: Ta thấy (1) có dạng


Vậy nghiệm của phương trình là

và

1
2

.

Ví dụ 2 Giải phương trình

2.1.1.2.1.3 Giải
Ta thấy (2) có dạng
Vậy nghiệm của phương trình là
Ví dụ 3

.

Cho phương trình: x 2 − 2(1 + 2m)x + 3 + 4m = 0 (*)


Do đó:

Thay x1, x2 vào (b) ta được:

Kết hợp với điều kiện ban đầu (câu a) ta thấy hai giá trị này của m đều thỏa mãn.
d)

Vậy phương trình cần tìm là:
2.1.1.2.2

Tìm hai số biết tổng và tích.

Ví dụ 1 Tìm các số x, y thỏa mãn điều kiện:
2.1.1.2.3Giải
Vì

, do đó có thể coi x, y là các nghiệm phương trình:

Ta có

Giải ra ta được
Ví dụ 2 Cho phương trình

. Tìm các giá

trị của m để các nghiệm x1, x2 của phương trình thỏa mãn điều kiện


2.1.1.2.3.1 Giải


)

)
m

2

m

.
Giá trị

không thỏa mãn điều kiện

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
2.1.1.2.3.2 Bài tập vận dụng
Cho phương trình

có hai nghiệm c và d, phương trình
có hai nghiệm a và b. Tính a, b, c, d biết rằng các số đó

đều khác 0.
2.1.1.2.3.3Giải
Áp dụng hệ thức Vi-ét vào hai phương trình đã cho, ta được:

Từ (1) suy ra
Từ (3) suy ra
Do đó
Từ (2), do

x1 + x2 > 8

2.1.1.2.4.1 Hư
ớng dẫn giải
a) Phương trình x2 – 2(2a – 1)x + a – 3 = 0 (1)
′

Ta có: ∆ = (2a – 1)2 – (a – 3) = 4a2 – 5a + 4 > 0, ∀ a

x
1

Do đó: Phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt và
trị của tham số a.
b) Theo định lí Viet, ta có:
x + x = 2(2a −
x + x = 4a − 2
 1
 1
2
1)
2
⇔


a = x1 x2 + 3

x1 x2 = a − 3

⇔ x


x
2

với mọi giá


c)
+) Theo định lí Viet và giả thiết, ta có:

x + x = 4a − 2
x + x = 4a − 2
 1
 1
2
2


⇔ xx =a−3
x1 x2 = a − 3

x − x1 = 4
x − x1 = 4
 2
 2

⇔ (2a + 1)(2a – 3) = a – 3




1

2

x
1

+

x
2

) -2

x x
1

2

≥8

2

2

⇔ (4a - 2) – 2(a – 3) ≥ 0
2

⇔ 8a – 9a + 1
⇔

Ví dụ Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi m:
2.1.1.2.5Giải:
Xét tích
Vậy phương trình (1) có nghiệm với mọi m.
2.1.1.2.5.1 Chú ý
a) Nếu

mà

ta cũng có

nên phương trình

có nghiệm.
b) Chỉ với điều kiện

, chưa đảm bảo phương trình

có nghiệm. Chẳng hạn ta xét phương trình

, ta có

, nhưng với m = 0 thì phương trình trở thành

, vô

nghiệm
Như vậy khi gặp trường hợp
2.1.1.2.5.2