LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Trần Mạnh Hùng, người trực
tiếp hướng dẫn, giúp đỡ tận tình chu đáo tôi trong quá trình thực hiện đề tài.
Và để hoàn thành khóa luận này, chúng tôi rất trân trọng cảm ơn các quý
thầy cô trong khoa Khoa học tự nhiên trong suốt quá trình giảng dạy đã cung
cấp kiến thức nền tảng để tôi có thể nghiên cứu được đề tài.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô đã dành thời gian quý báu
của mình để đọc và góp ý cho khóa luận của tôi.
Xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ trong
suốt quá trình tôi thực hiện khóa luận này.
Đồng Hới, tháng 06 năm 2015
Sinh viên thực hiện
1 Lê Thị Hiền


DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT
Chữ cái viết tắt/ký hiệu

Cụm từ đầy đủ

cmt

Chứng minh trên

đpcm

Điều phải chứng minh

gt

Giả thiết

3. Nhiệm vụ nghiên cứu........................................................................................ 2
4. Phạm vi nghiên cứu...........................................................................................2
PHẦN II: NỘI DUNG...........................................................................................3
CHƯƠNG I: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG
BẮNG NHAU ...................................................................................................... 3
1....................Phương pháp 1: Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau
3
2. Phương pháp 2: Hai cạnh bên của tam giác cân, hình thang cân......................7
3. Phương pháp 3: Sử dụng tính chất trung điểm..................................................8
4. Phương pháp 4: Khoảng cách từ một điểm trên tia phân giác của một góc đến hai
cạnh của góc ......................................................................................................... 9
5. Phương pháp 5: Khoảng cách từ một điểm trên đường trung trực của một
đoạn thẳng đến hai đầu đoạn thẳng.....................................................................10
6. Phương pháp 6: Dùng tính chất bắc cầu..........................................................12
7. Phương pháp 7: Có cùng độ dài......................................................................14
8. Phương pháp 8: Sử dụng tính chất của đẳng thức, hai phân số bằng nhau.....15
9. Phương pháp 9: Sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông,
đường trung bình trong tam giác.........................................................................17
10.

Phương pháp 10: Sử dụng tính chất, định nghĩa về cạnh và đường chéo của

các tứ giác đặc biệt ............................................................................................. 19
11. Phương pháp 11: Sử dụng kiến thức về diện tích..........................................21
12. Phương pháp 12: Sử dụng tính chất hai dây cách đều tâm của đường tròn.. 25
13. Phương pháp 13: Sử dụng tính chất tiếp tuyến giao nhau trong đường tròn.27
14. Phương pháp 14: Quan hệ giữa cung và dây cung trong một đường tròn.....28
CHƯƠNG II - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI GÓC BẰNG
NHAU................................................................................................................ 31



Toán học là một môn khoa học tự nhiên đóng vai trò quan trọng trong
cuộc sống cũng như trong nghiên cứu khoa học. Toán học được xem là một
trong những yếu tố then chốt để dẫn tới cánh cửa thành công. Đặc biệt trong nhà
trường, toán học là môn học chính được giáo viên và học sinh rất coi trọng. Tuy
nhiên, cũng có một số học sinh chưa nhận thức được tầm quan trọng của việc
học Toán và chưa có phương pháp học phù hợp nên hiệu quả đạt được chưa cao.
Để học sinh có thái độ tích cực khi học môn toán thì người giáo viên cần phải
tìm tòi, nghiên cứu, sáng tạo các phương pháp dạy học có tính ứng dụng cao. Có
như vậy mới phát huy tối đa vai trò của người dạy cũng như người học. Với
người giáo viên, để kích thích học sinh đam mê, thích thú học bộ môn Toán là
công việc gian nan vất vả nhưng đầy hứng thú.
Trong thực tế tiềm năng về Toán học, đặc biệt là khả năng giao tiếp và
giải quyết các vấn đề về hình học của học sinh chưa được phát huy một cách
toàn diện và triệt để. Đó không phải là lỗi hoàn toàn của người thầy và càng
không phải do lỗi của học sinh mà do người giảng dạy chưa có một phương
pháp phù hợp để truyền thụ kiến thức nói chung. Đề tài này tôi muốn đề cập đến
“ Phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau ở
trường THCS” bởi vì từ kết quả của phương pháp này ta có thể suy ra nhiều
quan hệ hình học khác. Tuy nhiên không phải học sinh nào cũng lĩnh hội kiến
thức, phương pháp mà người giáo viên truyền thụ cho mà phần lớn do các em
tích cực vận dụng và không ngừng sáng tạo, rút ra bài học kinh nghệm cho bản
thân, chịu khó học hỏi và tham khảo các loại sách.
Là một sinh viên sắp ra trường tôi nhận thấy cần phải xây dựng các
phương pháp phù hợp để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng
nhau từ đó học sinh vận dụng và giải các bài tập đạt hiệu quả cao nhất. Xuất

5




ĐOẠN THẲNG BẮNG NHAU.
1. Phương pháp 1: Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau.
♦ Kiến thức:
1. Định nghĩa: Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng
nhau, các góc tương ứng bằng nhau.
2. Kí hiệu
Để kí hiệu sự bằng nhau của tam giác ABC và tam giác A’B’C’ ta viết:
∆ABC = ∆A’B’C’
Người ta quy ước rằng khi kí hiệu sự bằng nhau của hai tam giác, các chữ cái
chỉ tên các đỉnh tương ứng được viết theo cùng thứ tự.

3. Các trường hợp bằng nhau của tam giác
a) Trường hợp 1: (cạnh – cạnh – cạnh) Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba
cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
b) Trường hợp 2: (cạnh – góc – cạnh) Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam
giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó
bằng nhau.
c) Trường hợp 3: (góc – cạnh – góc) Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này
bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
4. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông
a) Trường hợp 1: hai cạnh góc vuông (cạnh – góc – cạnh): Nếu hai cạnh góc
vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia
thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.


b) Trường hợp 2: cạnh huyền – góc nhọn (góc – cạnh – góc): Nếu cạnh huyền và
một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của
tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
c) Trường hợp 3: cạnh huyền – cạnh góc vuông (cạnh – cạnh – cạnh): Nếu cạnh

= ∠ CEb (hai góc đối đỉnh)

EN = EB (gt)
Do đó : ∆AEN = ∆CEB (c - g - c)
Suy ra: AN = BC (hai cạnh tương ứng) và ∠ NAE = ∠ BCE (hai góc tương ứng)


Suy ra: AN // BC
Từ

MA // BC, AN // BC nên M, A, N thẳng hàng
AM = BC, AN = BC nên AM = AN

Vậy A là trung điểm của MN => Đpcm
Ví dụ 2: Cho ∆ABC. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các tam giác vuông tại A là ABD,
ACE có AB = AD, AC = AE. Kẻ AH vuông góc với BC, DM vuông góc với
AH, EN vuông góc với AH. Chứng minh rằng:
a) DM = AH
b) MN đi qua trung điểm của DE.
Giải:
N

D

B

H

C


EN = DM
∠ DMO = ∠ ENO = 900
Suy ra: DO = EO, MO = NO
Vậy MN đi qua trung điểm của DE.
Ví dụ 3 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B. Qua A vẽ cát tuyến
chung CAD và EAG (C, E thuộc (O), D, G thuộc (O’)) sao cho AB là phân giác
của ∠ CAG. Chứng minh: CD = EG.
Giải:

D

C

∆ CBD vµ ∆ EBG cã ∠ BDC = ∠ BGE, ∠ C = ∠ E
=> ∠ CBD = ∠ EBG.
L¹i cã: ∠ BDG = ∠ BAG ( 2 gãc nh− trªn cïng ch¾n cung BG)

1
0


∠ BGD = ∠ BAC (cïng bù víi ∠

BAD) Mµ ∠ BAG = ∠ BAC (gt)
=> ∠ BDG = ∠ BGD => BG = BD.
Vậy ∆ CBD = ∆ EBG (g.c.g) => CD = EG
2. Phương pháp 2: Hai cạnh bên của tam giác cân, hình thang cân
♦ Kiến thức:
- Định nghĩa tam giác cân: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
- Tính chất hình thang cân:


Suy ra: ∠ I2 = ∠ c2 => ∆EIC cân => IE = EC

(2)

Từ (1) và (2): BD + EC = DI + IE  DE = BD + CE
Ví dụ 2: Cho ∆ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC
sao cho AD = AE.
a) Tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao?
b) Các điểm D, E ở vị trí nào thì BD = DE = EC ?
Giải:
A

N
K

E

C
B

E

C

A a) Ta có: ∆ABC cân nên
G AB = AC => BD = EC, BD // EC

O


là các đường trung bình của ∆ABC
DE = 1 AC, EF = 1 AB, DF = 1 BC (1)
2
2
2
Mặt khác: M là trung điểm của AO
O
1

1

E

P là trung điểm của BO

M

Q là trung điểm của CO
1
1
1
Nên MP = AB, PQ = BC, QM = AC (2)
A
2
2
2
Từ (1), (2) suy ra: DE = QM, MP = EF, DF = PQ
4. Phương pháp 4: Khoảng cách từ một điểm trên tia phân giác của một góc
đến hai cạnh của góc.
♦ Kiến thức:

A

D
F

K

Ta có :
K thuộc tia phân giác của ∠CBD => KD = KE

(1)

K thuộc tia phân giác của ∠ BCF => KE = KF (2)
Từ (1), (2) suy ra KD = KF
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng song song a, b và một cát tuyến c. Hai tia phân
giác của một cặp góc trong cùng phía cắt nhau tại I. Chứng minh rằng I cách đều
ba đường thẳng a, b, c.
Giải:
c
E

A

C

a

I
b
F

d là trung trực của AB
M ∈ d MA = MB

KL
- Định lí 2: Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung
trực của đoạn thẳng đó.
Ví dụ 1: Cho gãc xOy, ®iÓm A n»m trong gãc xOy. VÏ ®iÓm B sao cho Oy lµ
trung trùc cña AB. VÏ ®iÓm C sao cho Ox lµ trung trùc cña AC. Chøng minh
r»ng OB = OC.
Giải:
x
C

A

y
O

B

Oy lµ ®−êng trung trùc cña AB ⇒ OA = OB (1).
Ox lµ ®−êng trung trùc cña AC ⇒ OA = OC (2).
15


Tõ (1) vµ (2) ⇒ OB = OC.
0

Ví dụ 2: Cho ∆ABC, có ∠ A = 90 , điểm M thuộc cạnh BC. Vẽ điểm D đối
xứng với M qua AB, vẽ điểm F đối xứng với M qua AC. Chứng minh rằng:


D

C
I

- Xét ∆BCM và ∆CDN có:
BC = CD ( Cạnh hình vuông ABCD)
∠ MBC

= ∠ NCD = 90

0


BM = CN ( =
D

1
2

1
2

CD)

Do đó ∆ BCM = ∆ CDN (c.g.c)
11

E

=> KI // PC DI = IC (cách dựng)
=> KI là đường trung bình của ∆CDP
=> DK = KP (2)
Từ (1),(2) ta có AK võa lµ ®−êng trung tuyÕn võa lµ ®−êng cao của ∆ APD
=> ∆ APD c©n t¹i A => AP = AD

=> AP = AB (®pcm)

Mµ AD = BP (tính chất hình vuông)
0

Ví dụ 2: Vẽ ra ngoài tam giác ABC có ∠ B, ∠ C nhỏ hơn 90 các tam giác vuông
0

cân ADB, ACE ( ∠ ABD = ∠ ACE = 90 ). Gọi I và K là chân các đường vuông
góc kẻ từ D và E đến BC. Chứng minh rằng: BI = CK
Giải:


D

A

1

E
1

1



∠ C1 = ∠ E1 ( cmt)

⇒ ∆ AHC = ∆ CKE (cạnh huyền - góc nhọn)
⇒ AH = CK (1)
0

0

Ta lại có: ∠ B1 + ∠ B2 = 90 ; ∠ D1 + ∠ B1 = 90 .
⇒ ∠ D1 = ∠ B2
Xét ∆ vuông AHB và ∆ vuông BID có :
DB = BA (gt)
∠ D1 = ∠ B2 (cmt)

⇒ ∆ AHB = ∆ BID (cạnh huyền - góc nhọn)
⇒ IB = AH (2)
Từ (1), (2) có IB = AH = CK ⇒ đpcm.
7. Phương pháp 7: Có cùng độ dài.
Ví dụ 1 : Hai đoạn thẳng AC, BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung
điểm của mỗi đoạn thẳng. AB, BC, CD, DA có bằng nhau không ? Vì sao ?
Biết AC = 12cm, BD = 16cm.
Giải :


A

B

D

2

=> CD = 10cm

Q2

2

2

=> BC = 10cm

AD = OA + OD => AD = 10cm
CD = OD + OC

P

BC = OB + OC

Vậy: AB = AD = CD = BC
8. Phương pháp 8: Sử dụng tính chất của đẳng thức, hai phân số bằng nhau.
♦ Kiến thức:
- Tính chất của đẳng thức:
+ Nếu a = b thì a + c = b + c
+ Nếu a + c = b + c thì a = b
+ Nếu a = b thì b = a
- Định nghĩa hai phân số bằng nhau: Hai phân số
a

c


E

Ta có: MA
+ MB = AB + 2MB
C
và MC + MD = CD + 2MD
Theo giả thiết : AB = CD
MA + MB = MC + MD
Suy ra: MB = MD
Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD có hai cạnh đáy không bằng nhau. Chứng minh
rằng: đường thẳng nối hai đường chéo và 2 cạnh bên thì chia hai đáy của hình
thang thành các đoạn thẳng bằng nhau từng đôi một.
Giải:


1

P

d
M

I

C

D
Áp dụng định lý Talét ta có:
AM MB MB

9. Phương pháp 9: Sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông,
đường trung bình trong tam giác.
♦ Kiến thức
- Tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông:
+ Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với nửa cạnh huyền bằng nửa cạnh
huyền ấy.


-

Tính chất đường trung bình trong tam giác:

+ Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song
song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
+ Định lý 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và dài
bằng nửa cạnh ấy.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A với A là góc nhọn; CD là đường phân giác
góc ACB ( D thuộc AB) qua D kẻ đường vuông góc với CD; đường này cắt
1
đường thẳng CB tại E. Chứng minh BD = EC
2
Giải:

A

E

B

K

Vì ∆ABC có: AE = EB, AD = DC nên ED là đường trung bình
Đặt BC = a
Do đó ED // BD và ED =

1
2

BC =

a
2

Do MN là đường trung bình của hình thang EDCB nên MN //BC và MN // ED
ED a
∆EDB có EM = MB, MI // ED nên MI là đường trung bình, MI =
=
2 4
ED a
∆EDC có DN = NC, NK // ED nên NK là đường trung bình, NK =
=
2 4
BC a
∆EBC có EM = MB, MK // BC nên MK là đường trung bình, MK =
=
2 2
a a a
Suy ra: IK = MK - MI = - =
2 4 4
a
Vậy MI = IK = KN =

+ Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau.
Suy ra:
• Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau.
• Hình vuông vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi.
-

Hình thoi:

+ Hình thoi là Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
+ Hai đường chéo vuông góc nhau.
Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD,
AB. Đường chéo BD cắt AI, CK theo thứ tự ở E, F. Chứng minh rằng
DE = EF = FB.
Giải:
K

A

D

Vì AK =

I

B

C

AB
CD

Suy ra: GH // EF // CD (1)
∆BCA có HE là đường trung bình nên HE // AB
∆BAD có GF là đường trung bình nên GF // AB
Suy ra: HE // GF // AB (2)
Từ (1) và (2) ta có tứ giác EFGH là hình bình hành.
Ta có: AB ⊥ CD => EF ⊥ AB
EF ⊥ HE (HE // AB)
O

Suy ra EFGH là hình chữ nhật.
Vậy EG = FH ( tính chất đường chéo của hình chữ nhật).
11. Phương pháp 11: Sử dụng kiến thức về diện tích.
♦ Kiến thức:
- Công thức tính diện tích:
1
+ Tam giác vuông: S = . a . b
2
b
a