TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH
KHOA KHOA HỌC - TỰ NHIÊN
-----------

HOÀNG THỊ THANH HUYỀN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG CHƯƠNG
TRÌNH TOÁN THCS

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
KHÓA: 2013 - 2017

Quảng Bình, năm 2017


Lời Cảm Ơn
Trong quá trình tôi thực hiện khóa luận t ốt nghi ệp tôi
đã gặp rất nhiều khó khăn. Nhưng nhờ vào sự giúp đỡ đ ộng
viên của các thầy cô giáo và các bạn em đã hoàn thành khóa
luận này.
Lời đầu tiên tôi xin gửi đến thầy giáo ThS Trần M ạnh Hùng
lời cảm ơn sâu sắc nhất, cảm ơn thầy đã trực tiếp hướng
dẫn, giúp đỡ tận tình chu đáo cho tôi trong quá trình th ực
hiện khóa luận này.
Và để hoàn thành khóa luận này, chúng tôi rất trân
trọng cảm ơn các quý thầy cô trong khoa Khoa h ọc t ự nhiên
trong suốt quá trình giảng dạy đã cung cấp kiến thức nền
tảng để tôi có thể nghiên cứu được.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô đã dành thời
gian quý báu của mình để đọc và góp ý cho khóa luận của tôi,

∽
//
∈
g.g
c.g.c
⊥
THCS

Cụm từ đầy đủ
Chứng minh trên
Điều phải chứng minh
Giả thiết
Kết luận
Tam giác
Góc
Đồng dạng
Song song
Thuộc
Góc - góc
Cạnh- góc- cạnh
Vuông góc
Trung học cơ sở


MỤC LỤC
Có ADEM là tứ giác nội tiếp nên (vì cùng chắn) (1.2).....................10
(góc có đỉnh bên ngoài đường tròn)....................................21
Ta có: + =....................................................................................................27
8. Tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.......................................28
9. Định nghĩa ba đường cao trong tam giác, định nghĩa đường trung

chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
Củng cố cho học sinh những kĩ năng chứng minh hình học.
Giúp cho học sinh có sự hệ thống trong phương pháp chứng minh hai đường
thẳng vuông góc.


Giúp cho học sinh biết cách khai thác một bài toán chứng minh hai đường
thẳng vuông góc.
Làm cho học sinh thêm sự hứng thú khi học phân môn hình học nói chung và khi
học chứng minh hai đường thẳng vuông góc nói riêng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Để đạt được mục đích trên, đề tài có nhiệm vụ làm rõ một số vấn đề sau:
Tôi đã đề xuất một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc
trong hình học phẳng
Sưu tầm một số bài toán về chuyên đề chứng minh hai đường thẳng vuông
góc.
Sưu tầm một số ví dụ cụ thể để thấy rõ việc nắm chắc các phương pháp có
thể giải quyết dễ dàng một bài toán chứng minh.
4.Đối tượng nghiên cứu:
Các kiến thức cơ bản có liên quan đến chứng minh hai đường thẳng vuông
góc trong chương trình toán trung học cơ sở.
Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong chương
trình toán trung học cơ sở.


PHẦN II: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
Các kiến thức trong chương này được trích ở mục số: [1], [2], [3], [4], [5],
[6], [7], [8] trong tài liệu tham khảo.
1. Đường thẳng vuông góc và

Hai góc so le trong bằng nhau .
Hai góc trong cùng phía bù nhau.
1.3 Quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song của ba đường thẳng
[3, trang 96]:
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì
chúng song song với nhau.
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó
cũng vuông góc với đường thẳng kia.
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì
chúng cùng song song với nhau.
Ba đường thẳng d, d', d'' song song với nhau từng đôi một thì ta nói ba đường
thẳng ấy song song với nhau. Kí hiệu d // d' // d''.
2. Tam giác
2.1 Tam giác vuông:
o

Định nghĩa: Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông (góc 90 ).
Định lí [4, trang 65]: Nếu một tam giác có trung tuyến thuộc một cạnh bằng
nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông (định lí đường trung tuyến ).
Định lí Pytago [3, trang 129]: Trong một tam giác vuông, bình phương của
cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
∆ABC vuông tại A, ta có: BC2=AB2+AC2
Định lí Pytago đảo [3, trang 129]: Nếu một tam giác có bình phương của
một cạnh bẳng tổng bình phương các cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác
vuông, ∆ABC: BC2=AB2+AC2.
2.2 Đường trung trực của tam giác [4, trang 78]:
Định nghĩa: Đường trung trực của cạnh của tam giác là đường trung trực của
tam giác.
Định lí: Ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm. điểm đó
cách đều ba đỉnh của tam giác.

Trong đường tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều
tâm.
Sự xác định đường tròn [7, trang 97]:


Một đường tròn hoàn toàn xác định bởi một bởi một điều kiện của nó. Nếu
AB là đoạn cho trước thì đường tròn đường kính AB là tập hợp những điểm M sao
cho góc. Khi đó tâm O sẽ là trung điểm của AB còn bán kính thì bằng R=AB/2.
Qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng luôn vẽ được một đường tròn và chỉ
một mà thôi.
3.2 Tiếp tuyến của đường tròn [7, trang 110 – 115]:
Định nghĩa: Đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn nếu nó có
một điểm chung với đường tròn. Điểm đó được gọi là tiếp điểm.
Đường tròn nội tiếp của tam giác là: Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của
một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp của tam giác đó. Tâm của đường tròn nội
tiếp tam giác là giao của ba đường phân giác của tam giác.
Đường tròn bàng tiếp của tam giác là: Đường tròn tiếp xúc với một cạnh và
phần kéo dài của hai cạnh kia.
Tính chất: Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.
Ngược lại, đường thẳng vuông góc với bán kính tại giao điểm của bán kính với
đường tròn được gọi là tiếp tuyến.
Hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách
đến hai tiếp điểm: Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi
hai tiếp tuyến. Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai
bán kính đi qua các tiếp điểm.
3.3 Đường kính và dây cung của đường tròn [7, trang 102]:
Định nghĩa:
Đường kính là: Trong hình học phẳng, đường kính của một đường tròn là
khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kỳ trên đường tròn đó.
Dây cung là: Nếu hai đường thẳng chứa hai dây cung AB và CD của một

Số đo của góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây bằng một nửa số đo của
cung bị chắn.
Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn [8, trang 80]: Số đo của góc có đỉnh
nằm bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn giữa hai
cạnh của góc và các tia đối của hai cạnh ấy.
Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn [8, trang 81]: Số đo của góc có đỉnh
nằm bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn giữa hai
cạnh của góc.
4.2 Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn [8, trang 72]:
Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên một đường tròn và hai
cạnh của nó cắt đường tròn.


Định lí: Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của
cung bị chắn.
Hệ quả:
Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau của một
đường tròn thì bằng nhau.
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông .
Trong một đường tròn, mọi góc nội tiếp không quá 90O có số đo bằng nửa
số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung .
4.3 Cách dựng tâm O của cung chứa góc trên đoạn AB [8, trang 60]:
Dựng đường trung trực d của AB.
Dựng tia Ax tạo với AB một góc µ, sau đó dựng Ax’ vuông góc với Ax.
O là giao của Ax’ và d.
4.4 Quỹ tích cung chứa góc [8, trang 83]:
Quỹ tích những điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc µ không
đổi là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB gọi là cung chứa góc µ dựng trên đoạn
thẳng AB. Đặc biệt là cung chứa góc 90o là đường tròn đường kính AB.



⊥ AC nên

·AME = 90o .

Mặt khác theo cách dựng có: ·ABE = 90o .


Ta có:

◊ ABME là tứ giác nội tiếp nên

·AMB = BEA
·
(vì cùng chắn ¼
AB ) (1.1)

µ = 90o .
Do D

AD ) (1.2)
Có ◊ ADEM là tứ giác nội tiếp nên ·ADE = ·AMD (vì cùng chắn ¼
·
·
Từ (1.1) và (1.2) ta có: DMB
= ·AMD + ·AMB = ·AED + BEA
= 90O

Hay DM ⊥ BM tại M (điều phải chứng minh).
Khai thác bài toán : Nếu ta tìm cách tạo đường một đường thẳng song

AP − DH

(1.3)

¼ (góc có đỉnh bên ngoài đường
¼ = ND
¼ − KC
Tương tự: Fˆ1 = Fˆ2 nên ¼
AN − BK

tròn)

(1.4)
Cộng từng vế với vế (1.3) và (1.4) ta được :
¼
¼ + NA
¼ + CK
¼ = PB
» + BK
¼ + DH
¼ + ND
¼ .
AP + HC
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼


ˆ = Eˆ + Fˆ (góc ngoài đỉnh C của
·
bù với BCD
). Mà C
1 3
3

VCEF)

ˆ = Eˆ + Fˆ .
nên A
3 3


ˆ + Eˆ + Fˆ = 180O (định lí tổng ba góc trong một tam
Trong tam giác AEF có A
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ ˆ ˆ
giác), ta có E1 + E 2 + E3 + F1 + F2 + F3 = 180O .
Vì Fx và Ey lần lượt là hai tia phân giác góc F và góc F nên Fˆ1 = Fˆ2 và

Eˆ = Eˆ và 2( Eˆ + Eˆ + Fˆ + Fˆ )= 180o nên Eˆ + Eˆ + Fˆ + Fˆ =90o
1
2
2 3 2 3
2 3 2 3
·


Ta dựa vào tính chất: Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường
thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia.
* Nhận xét: Đây là phương pháp hữu hiệu để chứng minh hai đường thẳng
vuông góc khi trong bài toán còn có các yếu tố song song.

ˆ =
Bài tập 1: Cho hình thang vuông ABCD ( A

ˆ = 90o) có CD = 2AB. Gọi
D

H là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AC và M là trung điểm của HC. Chứng
minh rằng đường thẳng qua DM vuông góc với đường thẳng qua BM.
Bài làm:
Kẻ MI // AB (2.1)

⇒ MI

⊥ AD (vì AB ⊥ AD)

Lại có: DH ⊥ AC nên DI ⊥ AM

(2.2)

(2.3)

Từ (2.2) và (2.3) suy ra I là trực tâm của VADM
Vậy AI ⊥ DM.
Mặt khác: Trong


V EHC ta cũng có OK là đường trung bình nên OK // HC.

Ta có:AH ⊥ HC

(2.8)

(2.9)

Từ (2.8) và (2.9) ta có: OK ⊥ AH

( 2.10)

Lại có HE ⊥ AC (vì E là hình chiếu của H trên AC)
Từ (2.10), (2.11) suy ra O là trực tâm của

(2.7)

V AHK.

Vậy AO ⊥ HK

(2.11)
(2.12)

Từ (2.7) và (2.12) suy ra AO ⊥ BE (Đpcm).
* Nhận xét: Ta vừa sử dụng phương pháp thứ 2 để giải quyết bài toán trên.
Mấu chốt của bài toán là AH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của

V

Suy ra: EM ⊥HC.Ta lại có: V AME là tam giác vuông tại M. Gọi O là

Trong

trung điểm của AE mà O cũng là trung điểm của BD.
Nên MO là đường trung tuyến trong tam giác BDM
Trong

(3.1)

Vvuông AEM có MO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền.
1
2

Nên MO = AE , suy ra AE = BD (tính chất đường chéo hình chữ nhật).
Vậy MO =

1
BD
2

Từ (3.1) và (3.2) suy ra
M (điều phải chứng minh).

(3.2)

V BDM là tam giác vuông tại M hay BM ⊥ DM tại


* Nhận xét: Với cách trên ta vừa sử dụng tính chất đường trung tuyến trong

nên MN // BC và MN = BC .

(3.3)

V HBC


Mặt khác: ABCD là hình chữ nhật và I là trung điểm của AD nên AI // BC
Và AI =

1
BC .
2

Do đó AI // MN và AI = MN suy ra MNIA là bình hành. Vậy AM // IN

(3.4)

Từ (3.3) và (3.4) suy ra BN vuông góc với IN.
4. Chứng minh hai đường vuông góc dựa vào định nghĩa và tính chất các
đường trong tam giác và trong hình học phẳng.
Bài tập 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi E là giao điểm
của hai cạnh đối AD và BC. Gọi F là giao điểm của hai cạnh đối DC và AB.
Chứng minh rằng các tia phân giác trong của hai góc E và F vuông góc với nhau.
Bài làm:
Gọi Fx và Ey lần lượt là hai tia phân giác của hai góc F và E, I= Fx

ˆ = Cˆ + Fˆ + Fˆ (góc ngoài đỉnh B của
Ta có: B
1 1 1 2


ˆ =C
ˆ (đối đỉnh).
C
1
2
ˆ + Eˆ + Fˆ = 90o
Từ (1) và (2) suy ra: C
1 2
2
ˆ = Eˆ + Fˆ (góc ngoài đỉnh C của
Mặt khác: C
1 3
3

(4.3)

VCEF )

(4.4)

ˆ + Eˆ + Fˆ + Fˆ = 90o
Từ (4.3) và (4.4) suy ra : E
2 3
2 3
Xét trong

ˆ = 180
V IEF có : FIE


AF = DH
·
·
= 90o
AFE
= HDF

Vậy

VAEF = VDFH (c.g.c). Suy ra: Aˆ 1

ˆ
= H
1

Ta có: A, H thuộc cung chứa góc tạo bởi DI hay ADIH là tứ giác nội tiếp.
¼
Nên ·ADH = ·AIH (cùng chắn cung AH
)

Mà ·ADH = 90o (vì ABCD là hình chữ nhật )

(5.1)
(5.2)

ˆ = 90o hay AE ⊥ HF
Từ (5.1) và (5.2) suy ra AIH
Vậy AE ⊥ HF (điều phải chứng minh).
Nhận xét: Cách làm trên đã sử dụng định nghĩa để chứng minh hai
đường thẳng vuông góc. Chứng minh góc bằng 90 0 bằng cách chứng minh góc đó