QU

N

ƢỜ

-----------------------

D Ã

TÌM CÁC CÔNG THỨC CỦ
TRONG TẤM VỚ

Á

U

ƢƠ

ỂM TIẾP XÚC CỦA SÓNG RAYLEIGH
ỀU KIỆN BIÊN KHÁC NHAU KHI TẤM

ƢỢC LÀM TỪ VẬT LIỆU TR

UẬ

i - 2015
1

ƢỚNG


sẽ được tìm bằng các phương pháp số khác nhau. Nói chung, với một giá trị tần số sóng,
sẽ có nhiều nghiệm của vận tốc và các nghiệm vận tốc này sẽ ứng với các mode truyền
sóng khác nhau của sóng mặt Rayleigh. Khi các nghiệm vận tốc truyền sóng được tìm với
các giá trị khác nhau của tần số sóng thì bức tranh miêu tả sự phụ thuộc của chúng được
gọi là các đường cong phổ của các mode truyền sóng. Thông thường các đường cong phổ
này nằm xen kẽ nhau. Tuy nhiên trong một số trường hợp đặc biệt của giá trị tham số mô
hình, tồn tại các cặp đường cong (ứng với các mode khác nhau) có vẻ như là tiến gần về
nhau và “tiếp xúc” với nhau. ác điểm tiếp xúc này là những điểm thuộc hai mode khác
nhau của bài toán truyền sóng Rayleigh và chúng là những điểm tương ứng với các
nghiệm bội của phương trình tán sắc. Có nhiều thuật ngữ tiếng nh cho điểm đặc biệt
này như là “osculation points” hay “avoided crossing points” và luận văn sẽ sử dụng
thuật ngữ “điểm tiếp xúc”.
Những điểm tiếp xúc như trên không những chỉ xuất hiện trong bài toán truyền sóng
Rayleigh mà còn xuất hiện trong nhiều bài toán thuộc các lĩnh vực khác nhau như trong
vật lý lượng tử, vật lý chất rắn, cơ học,... cùng với nhiều thuật ngữ khác nhau (xem
Kausel cùng các cộng sự, 2015, cùng với các tài liệu tham khảo của bài báo). Nói chung
những điểm tiếp xúc này là những nghiệm bội của bài toán giá trị riêng tương ứng với các
lĩnh vực ở trên, do đó chúng có một số tính chất đặc biệt. Trong lĩnh vực địa chấn, cụ thể
là trong phương pháp tỷ số H/V-là một phương pháp liên quan đến sóng mặt Rayleigh,
một tính chất đặc biệt của đường cong tỷ số /V được phát hiện tại điểm tiếp xúc này.
ó là tại điểm tiếp xúc, đường cong này sẽ có một điểm cực đại chuyển thành một điểm
không (xem Trần Thanh Tuấn, 2009). Do điểm cực đại và điểm không là hai điểm quan
trọng trong phương pháp tỷ số /V nên điểm tiếp xúc của tập đường cong phổ vận tốc
của sóng mặt Rayleigh cần được nghiên cứu.
Trong lĩnh vực địa chấn, mặc dù điểm tiếp xúc đã được quan sát thấy từ khá lâu (ví
dụ như trong Sezawa và Kanai, 1935) nhưng những công trình nghiên cứu lý thuyết về
các điểm này vẫn còn khá ít. Theo Kausel và các cộng sự (2015) thì có thể nói rằng điểm
tiếp xúc trong lĩnh vực địa chấn được đề cập rõ ràng đầu tiên trong một cuốn sách của
Levshin (1973) và sau đó được đề cập và nhắc đến trong một số công trình như của
Forbriger (2006) và của Liu và các cộng sự (2009). Gần đây, một số kết quả giải tích về

ác phƣơng trình truyền sóng cơ bản

Xét bài toán một tấm trực hướng có độ dày là h và các thông số vật liệu là
c11 , c12 , c22 , c66 . Sóng mặt Rayleigh được truyền trong mặt phẳng của tấm theo trục 0x1
trùng với một hướng chính của tấm và tắt dần theo trục 0x2 vuông góc với mặt phẳng
tấm. Trục Ox1 nằm ở đáy tấm có phương trình x2  0 và do đó mặt trên của tấm có
phương trình x2  h . Do bài toán truyền sóng Rayleigh là biến dạng phẳng nên trường
chuyển dịch có dạng

ui  ui ( x1, x2 , t ), (i  1,2), u3 ( x1, x2 , t )  0,

(1.1)

trong đó t là thời gian. Mối liên hệ giữa ứng suất và chuyển dịch được cho bởi (ví dụ
xem Ting, 1996)

 11  c11u1,1  c12u2,2
 22  c12u1,1  c22u2,2

(1.2)

 12  c66 (u1,2  u2,1 )
trong đó dấu phẩy chỉ đạo hàm theo biến không gian. Trong trường hợp không xét đến
trọng lực thì phương trình chuyển động của sóng Rayleigh có dạng

 11,1   12,2   u1 ,
 12,1   22,2   u2 .

(1.3)



(1.7)

với

k 

bk (c12  c66 )
c11  X  c66bk2

, (k  1,3).
c22bk2  c66  X
(c12  c66 )bk

(1.8)

Sử dụng các đại lượng không thứ nguyên
e1 

c11
c
c
X
, e2  22 , e3  12 , x 
c66
c66
c66
c66

(1.9)

.
e2
2
1

(1.12)

2
3

Các số hạng trong công thức của các hàm chuyển dịch trong (1.5) tương ứng với
bốn thành phần của sóng gồm hai sóng đi lên và hai sóng đi xuống của sóng qP và qSV
trong tấm.
Phương trình tán sắc để xác định vận tốc truyền sóng c phụ thuộc vào tần số sẽ
được xác định từ các điều kiện biên. Trong phần tiếp theo của chương này, hai trường
hợp biên của tấm sẽ được xem xét. ó là trường hợp tấm có hai mặt biên tự do và trường
hợp tấm có mặt trên tự do và mặt dưới bị ngàm.
1.2. rƣờng hợp tấm có hai mặt tự do
Từ điều kiện tự do ứng suất tại mặt trên và mặt dưới của tấm ta có

 12 (0)   22 (0)  0
 12 (h)   22 (h)  0

(1.13)

Sử dụng các công thức của chuyển dịch (1.5) và ứng suất (1.2) vào các điều kiện biên
trên chúng ta thu được một hệ các phương trình đại số đối với các hằng số tích phân
B1 , B2 , B3 , B4 dưới dạng ma trận như sau:

M1  [B1 , B2 , B3 , B4 ]T  0

  b3  3  e  b3 

 e2b3 3  e3  e b3 


với   kh . ể hệ phương trình trên có nghiệm không tầm thường thì định thức tương
ứng của ma trận phải bằng 0. Từ đó ta thu được phương trình tán sắc của sóng mặt
Rayleigh như sau
2

B02  B0
cosh( b1 )cosh( b3 ) 
sinh( b1 )sinh( b3 )  1
2 B0 B0

(1.16)

trong đó
B0  b3 ( Se2  2e3  x)(1  x)  e2 xb12 
B0  b1 ( Se2  2e3  x)(1  x)  e2 xb32 

(1.17)

với S được biểu diễn trong (1.12).
Khi được biểu diễn thông qua các tham số của tấm, phương trình tán sắc (1.16) có dạng
cosh( b1 )cosh( b3 )  B

sinh( b1 ) sinh( b3 )
1
b1


trong đó ma trận M 2 có dạng
1


 1
M2  
  b1  1  e b1

 b1
 e2b11  e3  e

1

1
  b1  1  e  b
 e2b11  e3  e b
1

1

1
 3
 b3  3  e b3
 e2b33  e3  e b3



3
 . (1.22)


A0  b e  e3  x,

C0  b1  b e  e3  e3 x  .

2
1 2

2
3 2

(1.25)

Khi biểu diễn thông qua các tham số vật liệu của tấm, phương trình tán sắc (1.23) có
dạng
A cosh( b1 )cosh( b3 )  C

sinh( b1 ) sinh( b3 )
1
b1
b3

(1.26)

với

A A

e22 ( S 2  2 P)  2e2 (e3  x) S  2(e3  x) 2
2 e22 P  e2 S (e3  x)  (e3  x) 2 

 b3
2

).

(2.1)

Ta có các đẳng thức liên hệ của các hàm lượng giác sau
1  t32
2t
1  t12
2t
cosh( b1 ) 
, cosh( b3 ) 
, sinh( b1 )  1 2 , sinh( b3 )  3 2 . (2.2)
2
2
1  t1
1  t3
1  t1
1  t3

Thay các biểu thức này vào phương trình tán sắc (1.16) ta có
4t1t3
1  t12 1  t32
B
1
2
2
1  t1 1  t3

'  B2t32  t32  ( B2  1)t32 .

(2.7)

với

Dấu (+) trong phương trình (2.6)tương ứng với mode đối xứng, dấu (–) tương ứng với
mode phản đối xứng. Hai thuật ngữ này bắt nguồn từ thực tế rằng nghiệm của nhánh (+)
có chuyển dịch của chất điểm tại hai bề mặt của tấm đối xứng nhau, và nghiệm của nhánh
(-) có chuyển dịch phản đối xứng.
Những điểm tiếp xúc là những điểm mà tại đó hai mode đối xứng và phản đối xứng
gặp nhau. Từ điều kiện này và từ cách đặt ở trên ta có phương trình xác định điểm tiếp
xúc là

 B2  1
 0  2
t3  0
'

(2.8)

Với trường hợp t32  0 . ây là một trường hợp không có ý nghĩa vật lý nên ta không
xét đến.
Ta xét trường hợp B 2  1 . Nghĩa là, hoặc B  1 hoặc B  1.
Xét trường hợp B  1 , ta có
2

B02  B0  2B0 B0  B0  B0 .

(2.9)

Giả sử ta đã tìm được vận tốc truyền sóng xa của điểm tiếp xúc (nếu tồn tại). ể tìm
tần số tại điểm tiếp xúc ta sử dụng phương trình (2.6) và có t1  t3 .
tan(

iều này dẫn đến

i b1
i b
i b i b
2k
)  tan( 2 )  0  1  2  k   
(k  Z)
2
2
2
2
i(b1  b2 )

(2.13)

với b1  b2  S  2 P và được lấy giá trị x  xa . Chú ý rằng để nhận được phương
trình trên ta đã sử dụng đẳng thức tanh( x)  i tan(ix).
2.2. rƣờng hợp tấm có mặt đáy bị ngàm
Sử dụng các biểu thức trong (2.1) và (2.2), phương trình tán sắc (1.23) khi đó được
biểu diễn dưới dạng

A(1  t12 )(1  t32 )  C (2t1 )(2t3 )  (1  t12 )(1  t32 )
 t12  A(1  t32 )  (1  t32 )   2(2Ct3 )t1   A(1  t32 )  (1  t32 )   0.

(2.14)


trong đó

Chú ý rằng các hàm t1 và t3 là các hàm phụ thuộc vào cả biến x và  .
Phương trình tán sắc của nhánh phản đối xứng là
t1 

2Ct3   '
A(1  t32 )  (1  t32 )

(2.20)

hoặc được biểu diễn dưới dạng ẩn có dạng:

F ( , x)  ( , x)  0.

(2.21)

ối với các tham số vật liệu của tấm (ei) được cho trước, các đường cong nghiệm
x( ) của phương trình tán sắc (1.23)là hợp của các đường cong nghiệm của phương trình
của hai nhánhđối xứng và phản đối xứng. Trong một số giá trị đặc biệt của tham số vật
liệu của tấm, chúng có thể giao nhau và điều kiện cần để chúng gặp nhau là

( , x)  0

(2.22)

với ( , x) được xác định từ(2.15). ây là phương trình bậc hai đối với t32 có biệt thức

1   2C 2  A2  1  1  A2   4  C 2  1 C 2  A2  .

( , x)  1  A2  t32  1  0.
2

(2.25)

Do t32  1  0 ( , x) nên ta có A2  1  C 2 . Từ biểu thức của A trong (1.24), điều kiện
này trở thành

 A  A0
( A02  A02 )2  4 A02 A02  A02  A02  0   0
 A0   A0

(2.26)

1. Ta xét A0  A0 suy ra b12e2  e3  x  b22e2  e3  x hay (b12  b22 )e2  0.
Từ đó suy ra b12  b22 .

ây là kết quả trong trường hợp phương trình đặc trưng

(1.10) bị suy biến, do đó không có ý nghĩa vật lý.
2. Ta xét trường hợp A0   A0 , khi đó ta có

Se2  2e3  2 x  0.

(2.27)

Từ biểu thức của S trong (1.12), ta có công thức xác định vận tốc truyền sóng tại
điểm tiếp xúc có dạng
e1e2  e32
xa1 

.
A 1  t32   1  t32 

(2.29)

Do
2 A02
C
A0   A0  A 
 1  t1    t1t3  C.
2
2 A0
t3

(2.30).

Do C 2  1 nên t1t3 chỉ có thể nhận giá trị là 1 hoặc -1. Do định nghĩa của các biến t1 và

t3 trong phương trình (2.1), chúng chỉ có thể nhận giá trị thuần ảo. Vì vậy, b1 và b3 cũng
phải nhận các giá trị thuần ảo. Và do quy ước chọn giá trị của b1 , b3 trình bày trong
hương 1, ta có b1b3  0 . Vì vậy, với e3  1 và x  xa1 , ta có
 e 1 
b1b3  P( xa1 )   1

 e2  1 

2

(2.31)


tan 3  1
2
2
i b i b 
 1  3   m , m  Z
2
2
2
 tan

(2.34)

hay



  2m
i(b1  b3 )

, m  Z.

(2.35)

Từ (1.12) và thay x  xa1 ta có

b1  b3  b12  2b1b3  b32  4

2i xa1
1  e1e2



e2 
(  m ) (m  0,1, 2,...).
xa1 2

(2.38)

rƣờng hợp C 2  1  A2
Khi đó phương trình xác định điểm tiếp xúc (2.22) trở thành

1  A 1  t   0.
2

2
3

Do A2  1, nên từ phương trình trên ta có
16

(2.39)


t32  1

(2.40)

vì vậy b3 là số thuần ảo. Từ phương trình (2.16) ta có

t1 






2
2
Từ đó suy ra x  1 hoặc e1e2  e3  x e2  e3 .

Với x  1 , thay vào các biểu thức của P và S trong phương trình (1.12) ta có
e  e  1  1  e3 
b b  0, b  b  2 1
.
e2
2

2 2
1 3

2
1

2
3

(2.44)

Từ đó suy ra b1 hoặc b3 bằng không. iều này không có ý nghĩa vật lý.
Với x  1 ta có vận tốc truyền sóng tại lớp các điểm tiếp xúc thứ hai bằng
e2e1  e32
xa2 


e

2

 e32 

(2.46)

Trong phương trình trên, để cho đơn giản ta đã giả thiết e1  1  0 . Từ phương trình (1.24)
ta có

C ( xa2 )  

 e1  1 e3

b1b3  e2  e32 

 1.

(2.47)

Do đó ta có t1  t3 từ phương trình (2.41), và từ đẳng thức tanh( x)  i tan(ix) , ta có

tan(

ib 
ib1
)  tan( 3 )  1.
2

 2

( k , l  Z)

(2.49)

Cả hai phương trình trong (2.48) và (2.49) đều cho ta

 i  b1  b3 
 p (p  Z)

2

 i  b1  b3     q (q  Z)

2
2

(2.50)

Từ đó suy ra



2 p
  2q

, p  1, 2,3
i(b1  b3 ) i (b1  b3 )
18

e1e2  e32

(2.53)

.

Do đó, từ (2.51) ta có thêm tập nghiệm của điểm tiếp xúc nữa, đó là

S2 : xa2 

a 
2

e2e1  e32
,
e2  e32
e2   2q

xa2 (e3  1)

2 p
xa2
e2

(2.54)

4e e  e  1
(e3  1)  2 3 1 2
e1e2  e3
2


hay

4e2e3  e1  1

2

 2p 
R2 :

1

.
 e1e2  e32  (e3  1)2  1  2q 

(2.55)

Ngoài ra các thông số tự do p, q cũng phải thỏa mãn thêm điều kiện từ các điều kiện áp
lên các tham số vật liệu, tức là

2p
 1.
1  2q
Trường hợp 3: phương trình (2.22) có hai nghiệm phân biệt

19

(2.56)



và đối với các mode phản đối xứng
(

F  (  )
dx ( asym )
)
 
.
d
Fx  (  ) x

(2.60)

Tại tập các điểm tiếp xúc Si , đạo hàm riêng của hàm F ( i , xi )  F (Si )  i  1,2  được tính
toán trực tiếp bằng các quy tắc lấy đạo hàm. Từ phương trình (2.19), biểu thức của hàm
F ( , x) được viết lại dưới dạng

F ( x,  )  A( x)t1 1  t32   2C ( x)t3  t1 1  t32 

(2.61)

trong đó các hàm t1 và t3 được ngầm hiểu là t1  t1 ( , x) và t3  t3 ( , x). Khi đó các đạo
hàm riêng của hàm này có dạng
Fx  Axt1 1  t32   A t1 (1  t32 )   2Cxt3  2C  t3  x  t1 (1  t32 )  ,
x

F  A t1 (1  t32 )   2C  t3   t1 (1  t32 )  .




C 2 1 


e


e 

x  xa2
2

M ( x)

2

(2.64)

2

2 2
3

M ( x)
e22 P ( x)

trong đó

M ( x) 

 e2  1

a1 , xa1 )  lim

, xa1 )  lim

  , x  như sau

 ( , xa1 )   ( a1 , xa1 )

  a

  a1

a1

(2.66)

,

1

 ( a1 , x)   ( a1 , xa1 )
x  xa1

x  xa1

21

(2.67)

.















2
M ( x)
t32  a , x  1  4t32  a , x 2 1
1
1


e2 P( x) e2  1

  a1 , x  x  xa1

(2.69)

Từ đó suy ra

   

P( xa )  1
2
 e2  1
2

1

M ( xa1 ) 

1
.
4 xa1

(2.71).

Trong trường hợp này, thay e3  1 và x  xa1 vào các biểu thức đạo hàm của hàm

A( x) và C ( x) ta có A( xa1 )  1, C ( xa1 )  1, Ax ( xa1 )  Cx ( xa1 )  0.
Do đó từ phương trình (2.62) ta có
Fx  S1    t1 (1  t32 )   2  t3  x  t1 (1  t32 ) 
=  2 t t



2
1 3 x

x

 2  t3  x  2  t t  t3 

(2.75)

và ta có

Tương tự như phần trên ta có

   (


a2

, xa2 )  lim

 ( , xa2 )

  a2

  a

 lim

xa2  xa1 t32 ( , xa2 )  1

2

  a

(e2  1)

  a2

3 

Ta có

 t   S    tanh
2
3 

2

2

 b3 

 b3 
 b3 
  2 tanh
 tanh

2 
2 
2 

(2.78)

 t3 1  t  b3  2t3b3 ( xa2 ,  a2 ).
2
3

Ở trên ta đã sử dụng kết quả trong phương trình (2.75). Từ đó suy ra

M ( xa2 ).
 ( a2 , x)
x  xa2

(2.79)

với

2

 ( a2 , x)  x  xa2

2
( x  xa1 )2 t3 ( a2 , x)  1
4t32 ( a2 , x)

M ( x) (2.80)
2
(e2  1) 2
(e2  e32 ) 2 e22 P( x)
xx



a2



được xác định từ (2.63) và (2.64).Tại lân cận ( a2 , xa2 ) , từ khai triển Taylor (2.77)ta có
23


2

2

e32



2 2
3

e

2

(e2  1)2

x

 e  1
) 1

4
 t32  ( S2 )  
M ( xa2 ) (2.83)
2
x

 (e  e ) 2 e 2 P ( x )

x

 S2   t1 (1  t32 )  2t3  x  S2  ,

(2.85)



 S2   t1 (1  t32 )  2t3   S2 .

(2.86).

Fx (S2 )  A( xa2 ) t1 (1  t32 ) 

và
F (S2 )  A( xa2 ) t1 (1  t32 ) 

Tính chất của đạo hàm của vận tốc truyền sóng đối với tần số tại điểm tiếp xúc
ối với cả hai tập nghiệm của điểm tiếp xúc S1 , S2 ta đều có

 

x

( ai , xai )  sign( x  xai ) R( ai , xai )

và

24


của mode phản đối xứng và ngược lại.

vg 

d
dc
ck
dk
dk

(2.89)

và vận tốc nhóm đặc trưng cho vận tốc truyền năng lượng của các mode. Chính vì vậy, tại
điểm tiếp xúc, một nhánh của mode đối xứng phải được nối một cách trơn với một nhánh
khác của mode phản đối xứng. Nếu điều này không xảy ra, vận tốc truyền năng lượng sẽ
bị gián đoạn tại điểm tiếp xúc.
ối với các điểm tiếp xúc thuộc trường hợp 3, tại các điểm tiếp xúc loại này, tính trơn
của đường cong vận tốc vẫn chưa được xác định. Bước đầu chúng ta có thể biết rằng

lim

2
2

t3 t31

 ( , x)
1
 T ( , x) t32  t322 lim
 .