Tên đề tài:
DỰNG THÊM YẾU TỐ PHỤ ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC
LỚP 9
I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Khi giải quyết các bài toán hình học, phần lớn cần phải dựng thêm các yếu tố
phụ khác mới có thể giải quyết được hoặc có thể chuyển những bài toán phức tạp về
đơn giản hơn. Tuy nhiên, đối với học sinh thì việc suy nghĩ để vẽ thêm các yếu tố phụ
là việc không hề đơn giản, vì các em không biết phải bắt đầu từ đâu, vẽ như thế nào,
áp dụng vào bài toán như thế nào. Hơn nữa, SGK cũng như các sách tham khảo ít đề
cập đến vấn đề này mà chỉ đưa ra các bài tập giải mẫu, không phân tích rõ để các em
hiểu.
Để giải quyết một phần của vấn đề trên, tôi làm đề tài này giúp cho các em học
sinh lớp 9 bổ sung kiến thức, giải quyết thắc mắc, rèn luyện tư duy, từ đó các em có
thể tự mình tìm tòi ra những phương pháp mới và giải quyết tốt các bài toán từ đơn
giản đến phức tạp.
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN:
Với mục tiêu phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh,
phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm từng đối tượng học sinh, điều kiện của
từng đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học, bồi dưỡng cho học sinh phương
pháp tự học, khả năng hợp tác, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn,
tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú trong học tập. Do đó trong việc dạy và học bộ môn
Toán giáo viên cần phải rèn cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và
linh hoạt tự tìm tòi ra kiến thức mới, và không chỉ với các phương pháp cơ bản, thông
thường mà còn phải hình thành lên một số phương pháp khó hơn, phải có những thủ
thuật riêng đặc trưng từ đó giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học Toán và
phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng Toán khó. Đây là một thuận lợi cho cả
giáo viên và học sinh trong đổi mới cách dạy và học.
Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bài tập do
thầy, cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề
1


2


* Phân tích:
Khi nhìn vào yêu cầu bài toán thì ta sẽ liên tưởng ngay đến hệ thức lượng trong tam
giác vuông
Do ∆ABC cân tại A và AD là đường cao nên ta dễ dàng biết được CD = BD = m ,
AD = n
Yêu cầu bài toán:

1
1
1
1
1
1
= 2+ 2⇔ 2=
+
2
2
k
m
n
k
CD
AD 2

Do đó, ta cần chứng minh đường cao h hạ từ D xuống AC của ∆ACD phải bằng k
1
(tức là h = BE ) nghĩa là từ D ta dựng DH ⊥ AC

k
m
n

3


Bài 2: Cho tứ giác ABCD như hình vẽ dưới có AC = 3,8; BD = 5;α = 650 . Tính diện
tích của tứ giác ABCD

* Phân tích: S ABCD = S∆ABD + S∆BCD
- Ta cần tính diện tích tam giác ABD và tam giác BCD
- Do đó ta cần dựng thêm hai đường cao AH và CK của hai tam giác trên
- Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông tính được độ dài AH và CK
* Giải quyết bài toán:
Vẽ AH ⊥ BD; CK ⊥ BD
Ta có AH = OA.sin α và CK = OC.sin α
1
1
S∆ABD = BD. AH = BD.OA.sin α
2
2
1
1
S∆BCD = BD.CK = BD.OC.sin α
2
2
⇒ S ABCD = S∆ABD + S∆BCD =

1


5


Bài 2: Cho (O;R) và điểm A cố định nằm ngoài đường tròn. Qua A vẽ đường
thẳng d cắt (O;R) tại B, C ( BC ≤ AC ) , vẽ tiếp tuyến AM với (O;R) (với M là tiếp
điểm). Chứng minh rằng AB + AC ≥ 2 AM
* Phân tích:
Qua cách dựng hình thì ta sẽ có dây cung BC, do đó ta sẽ vẽ thêm OH ⊥ BC
⇒ HB = HC

- Để chứng minh AB + AC ≥ 2 AM thì ta cần tìm ra mối quan hệ giữa AB + AC và
AM . Nếu ta không dựng thêm OH ⊥ BC thì khó tìm ra được mối quan hệ, do đó ta
sẽ sử dụng AH làm trung gian cho mối quan hệ trên
AB + AC = ( AH − BH ) + ( AH + HC ) = 2 AH + 14
HC2− 43
BH = 2 AH
0

- Từ đây ta chỉ việc chứng minh 2 AH ≥ 2 AM hay AH ≥ AM thì bài toán được giải
quyết.
* Giải quyết bài toán:
- Từ O dựng OH ⊥ BC . Khi đó, BH = HC (theo quan hệ vuông góc giữa đường
kính và dây)
BH = 2 AH
14 2− 43
Ta có: AB + AC = ( AH − BH ) + ( AH + HC ) = 2 AH + HC
0

Áp dụng địng lý Pitago vào hai tam giác vuông AOH và AMO:

7


 MA ⊥ OA
⇒ MA chính là đường cao của tam giác OO’A. Do đó ta sẽ tính
- Mà 
 MA ⊥ O ' A
MA dựa vào tam giác OO ‘A
- Tam giác OMO’ là tam giác gì ?
⇒ tam giác vuông tại M
* Giải quyết bài toán

- Dựng bán kính OB, O’C
- Qua A dựng tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) cắt BC tại M
 MB = MA
Ta có 
(tính chất tiếp tuyến) ⇒ MA = MB = MC
MA
=
MC

⇒ BC = 2 AM . Do đó, tính BC theo AM
- Dựng đường nối tâm OO’ đi qua A
-

·
·
Ta có BMO
= ·AMO; CMO
' = ·AMO ' (tính chất tiếp tuyến)

- Dựng đường nối tâm OO’ qua A
⇒ OO ' = OA + O ' A = R + r
-

Từ O’ dựng O ' H ⊥ OB tại H

⇒ tứ giác O’HBC là hình chữ nhật
⇒ BC = O ' H
Ta có OH = OB − HB = R − r
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông OO’H :
O ' H = OO '2 − OH 2 =

( R + r)

2

− ( R − r ) = 4 R.r = 2 R.r
2

9


⇒ BC = 2 R.r (đvđd)
Bài tập áp dụng: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ
tiếp tuyến chung ngoài MN với M thuộc (O), N thuộc (O’). Biết R = 9cm ,
R ' = 4cm . Tính độ dài đoạn MN
V. KẾT QUẢ :
Qua áp dụng thực tê trên lớp 9/5, đa số học sinh gặp bài toán vẽ thêm đường phụ
trong chương các em đều biết vẽ thêm đường phụ và vẽ một cách có căn cứ. Thậm
chí nhiều em còn tìm ra được nhiều cách giải khác có sáng tạo, từ đó các em có

giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu hơn và phát triển có hệ thống các kỹ năng,
kỹ xảo phân tích. Qua đó giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính
xác, năng lực nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức.

10


VII. TÀI LIỆU THAM KHẢO
STT
1

2

Tên tác giả
Phan Đức Chính

Tên tài liệu
Sách giáo khoa Toán 9 – Tập 1

Tôn Thân
Nguyễn Đức Tấn

Ôn luyện theo chuẩn kiến thức

Trần Đình Châu

kĩ năng toán 9 - Tập 1

NXB Năm XB
GD


Nguyễn Đức Trường
Tài liệu tham khảo trên
5

Internet.

11


MỤC LỤC
I. ĐẶT VẤN ĐỀ...........................................................................................
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN....................................................................................
III. CƠ SỞ THỰC TIỄN...............................................................................
IV. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU...................................................................
1. Kẻ thêm đường cao để giải quyết các bài toán liên quan đến hệ thức

1
2
2
2
2

lượng trong tam giác vuông
2. Dựng đường kính vuông góc với dây cung để giải quyết các bài

5

toán liên quan đến dây cung
3. Dựng đường nối tâm trong các bài toán có hai đường tròn cắt nhau,