S GIO DC & O TO THA THIấN HU
trườ ngưtrungưhọcưphổưthôngưvinhưxuân
&

sángưkiếnưkinhưnghiệm
B mụn: Toỏn hc

đềưtài :

ứng dụng của ph ơng pháp xác định
góc để giảI các bài toán hình học
không gian trong các đề thi
đại học

H v tờn: lê-viết-hòa
T: Toỏn
n v: Trng THPT Vinh Xuõn
Vinh Xuõn, thỏng 03 nm 2014


MỤC LỤC
Trang
Phần 1 -MỞ ĐẦU………………………………........……......…….....……2
1.1 - Lý do chọn đề tài
1.2 - Mục đích nghiên cứu đề tài
1.3 - Phạm vi nghiên cứu đề tài
1.4 - Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
1.5 - Phương pháp nghiên cứu đề tài
Phần 2 -NỘI DUNG …………………………………….............…......…...3
2.1 - CƠ SỞ LÝ THUYẾT…………………………………….........……3
2.2 - CÁC BƯỚC CƠ BẢN ĐỂ XÁC ĐỊNH GÓC.....…………………..4

song ở chương trình môn toán lớp 11 mà đa số học sinh không theo kịp.
1.2 - Mục đích nghiên cứu đề tài
Đề tài “Ứng dụng của phương pháp xác định góc để giải các bài toán
hình học không gian trong các đề thi đại học” này sẽ giúp học sinh hệ thống
được cách xác định góc; rèn luyện cho học sinh hệ thống kỹ năng giải quyết
các bài toán tính thể tích của khối đa diện, tính khoảng cách và góc thường
gặp trong chương trình Toán THPT thông qua việc xác định góc.
1.3 - Phạm vi nghiên cứu đề tài
1.3.1. Khách thể: Chương trình môn Toán THPT.
1.3.2. Đối tượng: Các bài toán về “Hình học không gian trong các đề thi đại
học-cao đẳng”
1.4 - Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
Đề tài “Ứng dụng của phương pháp xác định góc để giải các bài toán
hình học không gian trong các đề thi đại học” cung cấp cho học sinh về
phương pháp, kỹ năng và hệ thống bài tập về “Tính thể tích của khối đa diện,
khoảng cách và góc” từ các bài toán đã được ra trong các đề thi Đại học-Cao
đẳng thông qua việc xác định góc.
1.5 - Phương pháp nghiên cứu đề tài
Đề tài được nghiên cứu bằng phương pháp phân tích và tổng hợp lý
thuyết.

Trang 3


Phần 2 -

NỘI DUNG

2.1 - CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2. 1.1. Khái niệm góc giữa hai đường thẳng

+ Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt
phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và

d
A

mặt phẳng (α) bằng 900.
+ Trường hợp đường thẳng d không vuông góc
với mặt phẳng (α) thì góc giữa d và hình chiếu d’

α) d'

φ(

H

O

H.2

của nó trên (α) gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α).
(Hình học 11, trang 103, nxb GD 2007)

(

)

0
0
·

2.2 - CÁC BƯỚC CƠ BẢN ĐỂ XÁC ĐỊNH GÓC
Sẽ có nhiều cách khác nhau trong việc xác định các loại góc: góc giữa
hai đường thẳng; góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; góc giữa hai mặt
phẳng. Sau đây, chỉ xin trình bày một số cách thường dùng để xác định
các loại góc ở trên mà học sinh có thể dễ áp dụng trong thực hành giải
toán.
2. 2.1.Xác định góc giữa hai đường thẳng a và b

( )

0
+ Nếu hai đường thẳng a và b vuông góc thì a¶, b = 90

( )

0
+ Nếu hai đường thẳng a và b song song hoặc trùng nhau thì a¶, b = 0

+ Nếu hai đường thẳng a và b không song song, không trùng nhau và
cũng không vuông góc nhau, khi đó ta xác định góc của chúng theo các bước
sau:
Bước 1. Chọn điểm O trong không gian sao cho từ O có thể xác định
được các đường thẳng a’ và b’ lần lượt song song

a

với a và b (H.4);

M a’


(

)

·
·
·
≥ 0 hoặc 1800 − MON
< 0.
nếu cos MON
nếu cos MON
Chú ý:
+ Ta có thể chọn điểm O thuộc đường thẳng a hoặc thuộc đường thẳng
b.
+ Trên đường thẳng a’ nếu ta chọn điểm M (khác O) sao cho ta có thể
xác định được hình chiếu H của M trên đường thẳng b’ thì góc giữa hai đường
·
thẳng a và b chính là góc MOH
. Khi đó, ta có thể sử dụng tỉ số lượng giác
·
của góc nhọn để tính côsin của góc MOH
.
2. 2.2.Xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α)
Trang 5


)

(



của A trên (α);
Bước 3. Kết luận góc giữa đường thẳng d và (α)
chính là góc ϕ = ·AOH .
2. 2.3. Xác định góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β)
+ Nếu hai mp(α) và mp(β) vuông góc thì

( (·α ) , ( β) ) = 90

0

+ Nếu hai mp(α) và mp(β) song song hoặc trùng nhau thì

( (·α ) , ( β) ) = 0

0

+ Nếu hai mp(α) và mp(β) không song song, không trùng và cũng
không vuông góc nhau, khi đó ta xác định góc của chúng theo các bước sau:
Bước

1.

Xác

định

giao

tuyến

lăng trụ.
2. 3.1.Hình (khối) chóp, lăng trụ có liên quan đến việc xác định góc giữa
hai đường thẳng
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,
SA=a, SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng
đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính
theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính côsin của góc giữa
hai đường thẳng SM, DN.
[Đề thi Đại học, Cao đẳng năm 2008-Khối B]
Giải:
+

Do

ABCD

là

hình

vuông

nên

BD⊥AC⇒BD⊥MN.
Gọi H là hình chiếu của S trên AB, khi đó
SH⊥(ABCD).
Xét tam giác SAB có AB 2 = SA2 + SB 2 ⇒tam
giác SAB vuông tại S; có SH là đường cao của
tam giác SAB nên


a
. Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng SM
2

)

· , DN = SM
· , ME .
và DN. Khi đó ϕ = SM
Xét tam giác SAE vuông tại A, nên SE = SA2 + AE 2 =

a 5
(1).
2
Trang 7


Xét tam giác MAE vuông tại A, nên ME = MA2 + AE 2 =

a 5
(2).
2

a
2
·
Từ (1) và (2), suy ra tam giác SME cân tại E nên ϕ = SME
⇒ cos ϕ =
a 5

B’.
· ' BH (vì A’A//BB’ và B’C’//BC). Suy ra cos ϕ = 1 •
Từ đó, ta có ϕ = B
4
2. 3.2.Hình (khối) chóp, lăng trụ có liên quan đến việc xác định góc giữa
đường thẳng và mặt phẳng
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB
Trang 8


sao cho HA=2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC)
bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
[Đề thi Đại học năm 2012-Khối A]
Giải:

 SC ∩ ( ABC ) = C

·
·
= 600
+ Ta có:  SH ⊥ ( ABC )
⇒ SC , ( ABC ) = SCH
 H ∈ AB


)

(

A

60 0 (

N
l

C

H
B

a3 7
=
12

+ Qua A ta kẻ At//BC. Khi đó, gọi N và M lần lượt là hình chiếu của H trên At
và AN.
Từ

đó,

ta

có:

BC//(SAN)

nên


= ·ABC = 600 (góc so le trong) nên ta có:
sin 600 =

HN
a 3
⇒ NH =
AH
3

Xét ∆SHN vuông tại H, có HM là đường cao, nên:

MH =

1
1
1
=
+
⇒
2
2
MH
SH
HN 2

a 42
.
12

Vậy d ( BC , SA ) =

G,

ta

A'

có:

B'
C'

a

A

)60 0
B

H
G

C

Trang 10


a

BG


2

 BC = AC 3

2
9a 2 AB 2 3 AB 2
=
+
+ Xét ∆HBC vuông tại C, ta có BH = CH + BC ⇒
16
16
4
2

2

2

9a 2
⇒ AB =
13
2

Nên diện tích của ∆ABC là S∆ABC
Vậy VA '. ABC

AB 2 3
9a 2 3
=
⇒ S∆ABC =

(

)

Trang 11


·
Xét ∆SAB vuông tại A và có SBA
= 300 nên:
tan 300 =

S

SA
3
⇒ SA = a
AB
3

Ta có S∆ABC

1
a2
= ⇒VS . ABC = S ABC .SA hay
3
2

M


12

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC đỉnh S, đáy là tam giác cân với
AB=AC=3a,BC=2a. Biết rằng các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA)
hợp với mặt đáy (ABC) một góc 600. Kẻ đường cao SH của hình
chóp.
a) Chứng minh rằng H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và
SA⊥BC.
b) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
[Đề thi Đại học Quốc gia Hà Nội năm 2001]
Giải:
a) + Gọi H là hình chiếu của điểm S trên
mp(ABC)
Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu của S trên
các cạnh AB, BC, CA. Từ đó, suy ra: HI⊥AB,
HJ⊥BC, HK⊥CA; góc của các mặt bên (SAB),
(SBC), (SCA) với mặt đáy (ABC) lần lượt là
· , SJH
·
·
·
·
·
và SIH
SIH
, SKH
= SJH
= SKH
= 600 .
Xét tam giác SHI vuông tại H, ta có: HI = SH cot 600 (1);


a 6
.
2

1
2a 3 3
= S∆ABC .HS =
( ®vtt ) •
3
3

Ví dụ 3: Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật,
AB=a, AD = a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt
phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai
mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối lăng
trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a.
[Đề thi Đại học năm 2011-Khối B]
Giải:
+ Gọi O=AC∩BD, khi đó A1O⊥(ABCD).
Gọi E là hình chiếu của O trên AD. Khi đó:

( (·ADD A ) , ( ABCD ) ) = ·A EO = 60
1 1

0

1

Xét tam giác ABD có OE là đường trung bình

AO
tan ·A1EO = 1 ⇒
EO

a 3
.
2

Do đó VABCD. A1B1C1D1 = S ABCD . A1O = AB. AD. A1O =

3a 3
( ®vtt )
2

+ Ta có B1C // A1D ⊂ ( A1BD ) nên d ( B1 , ( A1BD ) ) = d ( C , ( A1BD ) ) (1)
Do A1O⊥(ABCD) nên (A1BD)⊥(ABCD).
Gọi H là hình chiếu của C trên BD khi đó, ta có: CH⊥(A1BD) (2)
Từ (1) và (2), ta có: d ( B1 , ( A1BD ) ) = CH
Xét tam giác BCD vuông tại C có CH là đường cao nên

⇒ CH =

1
1
1
=
+
2
2
CH

4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D;
AB=AD= 2a , CD=a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600.
Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng
vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
[Đề thi Đại học năm 2009- khối A]
5. Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a,
AD = a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD)
trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và
(ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ
điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a.
[Đề thi Đại học năm 2011- khối B]
6. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C' có AB=a, góc giữa hai mặt
phẳng (A'BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A'BC. Tính
thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
GABC theo a.
[Đề thi Đại học năm 2010- khối B]

Trang 15


Phần 3 1. Đề xuất-Kiến nghị.

KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ

Đề tài “Ứng dụng của phương pháp xác định góc để giải các bài toán
hình học không gian trong các đề thi đại học” đã đề cập đến ứng dụng của
ba bài toán cơ bản về vấn đề xác định góc để tính thể tích của khối đa diện,
tính khoảng cách và góc. Tuy nhiên, vấn đề tính thể tích của khối đa diện,
tính khoảng cách và góc lại phong phú, đa dạng và được khai thác nhiều
trong các đợt kiểm tra, thi tốt nghiệp, thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng. Do



PHẦN ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG
XÉT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CỦA TRƯỜNG THPT VINH XUÂN
(Chủ tịch HĐ xếp loại, ký và đóng dấu)
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
Xếp loại: ……………………………………………………………………
Vinh Xuân, ngày …..tháng ..….năm …..…
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

PHẦN ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG
XÉT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỞ GD&ĐT THỪA THIÊN HUẾ
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………