ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

LÊ THỊ NGỌC ÁNH

DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA VỎ NÓN CỤT FGM

Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn
Mã số:

60440107

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. ĐÀO VĂN DŨNG

Hà Nội – Năm 2014


Mục lục
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
Chương 1 - TIẾP CẬN GIẢI TÍCH .................................................................. 5
1.1 Các hệ thức cơ bản .................................................................................. 5
1.1.1. Vỏ nón vật liệu cơ tính biến thiên ................................................... 5
1.1.2. Phương trình cơ bản .................................................................... …6
1.2. Phương pháp giải ................................................................................. 11
1.2.1. Điều kiện biên ............................................................................... 11
1.2.2. Dạng nghiệm ................................................................................. 11
1.2.3. Phương trình tìm tần số riêng........................................................ 11

khảo sát sự biến thiên của tham số tần số khi các tham số hình học, mode dao
động và tốc độ quay thay đổi. Lam và các cộng sự [5,6] đã đề xuất phương
pháp cầu phương vi phân (DQM) đối với các nghiên cứu với ảnh hưởng của
các điều kiện biên đến các đặc trưng dao động tự do của vỏ nón cụt. Ở đây có
xem xét đến sự ảnh hưởng của góc đỉnh nón đến tham số tần số. Talebitooti
và các cộng sự [7] đã đề cập đến dao động tự do của vỏ nón composite có gắn
gân dọc và gân tròn. Dựa vào lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất của vỏ và
phương pháp cầu phương vi phân QDM, Malekzadeh và Heydarpour [8] đã
nghiên cứu ảnh hưởng của gia tốc Coriolis kết hợp với các tham số hình học
và vật liệu phân tích dao động tự do của vỏ nón cụt FGM quay với một số
điều kiện biên khác nhau. Các kết quả về dao động của vỏ nón, vỏ trụ FGM
và các kết cấu tấm hình khuyên với bốn tham số phân bố theo quy luật lũy


thừa dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất được nghiên cứu bởi
Tornabene và các cộng sự [11].
Trong những năm gần đây, các kết cấu làm bằng vật liệu có cơ tính
biến thiên (FGM) được sử dụng rộng rãi trong các ngành kỹ thuật vì vậy mà
các ứng xử dao động cũng như ổn định của tấm và vỏ FGM ngày càng được
nhiều quan tâm nghiên cứu của các nhà khoa học. Trong số đó có Sofiyev [9]
đã nghiên cứu về dao động và ổn định tuyến tính của vỏ nón cụt FGM không
có gân với các điều kiện biên khác nhau. Chính tác giả này cũng đã để xuất
dao động phi tuyến [10] của vỏ nón cụt FGM. Đối với các bài toán phân tích
tuyến tính thì việc sử dụng lý thuyết vỏ Donnell cải tiến để tìm phương trình
chủ đạo và phương pháp Garlekin được sử dụng để tìm ra biểu thức đóng xác
định tải vồng tới hạn dạng rẽ nhánh hoặc biểu diễn các tần số cơ bản; trong
khi đó phân tích phi tuyến sử dụng lý thuyết chuyển vị lớn dạng von Karman
– Donnell của phi tuyến động.
Nhận thấy rằng các kết quả công bố trên hầu hết nghiên cứu với các kết
cấu không có gân gia cường. Tuy nhiên trong thực tế thì các kết cấu tấm và vỏ

nón quay với tốc độ quay  ) đến tham số tần số đối với dao động tự do của
vỏ nón cụt FGM có gân gia cường.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phụ lục
và các chương chính như sau:
Chương 1. Tiếp cận giải tích: Trình bày các hệ thức cơ bản và các
phương trình chuyển động viết qua các thành phần chuyển vị của vỏ nón cụt
FGM; diễn giải chi tiết cách giải phương trình chuyển động để tìm ra tần số
riêng của vỏ nón.


Chương 2. Tính toán bằng số: Các tính toán số so sánh với các công bố
trước đó để khẳng định sự tin cậy của tính toán giải tích và khảo sát các ảnh
hưởng của các tham số hình học, vật liệu cũng như tốc độ quay đến tham số
tần số của vỏ nón.
Nội dung cụ thể của các chương sẽ được trình bày dưới đây.


Chương 1 - TIẾP CẬN GIẢI TÍCH
1.1 Các hệ thức cơ bản
1.1.1. Vỏ nón vật liệu cơ tính biến thiên
Xét vỏ nón cụt mỏng FGM có bề dày h , chiều dài L và góc
nón  quay quanh trục đối xứng nối tâm nón và chóp nón với tốc độ
quay  không đổi (Hình 1), trong đó r , R lần lượt là bán kính đáy nhỏ
và đáy lớn của vỏ nón cụt. Chọn hệ trục tọa độ đối với vỏ nón là hệ trục
tọa độ cong  x, , z  , trong đó gốc tọa độ đặt tại mặt giữa của vỏ, trục
x theo chiều đường sinh tính từ chóp của vỏ nón, trục  theo chiều của

đường tròn và trục z vuông góc với mặt phẳng ( x, ), hướng theo pháp
tuyến ngoài của nón; x0 là khoảng cách từ chóp nón đến đáy nhỏ r . Kí
hiệu u, v và w lần lượt là các thành phần chuyển vị của điểm tại mặt

 2h k
 2z  h 
 ( z )   m  cm 

 2h 

k

(1.3)

trong đó Ecm  Ec  Em , cm  c  m .
Hệ số Poisson  giả thiết là hằng số.
1.1.2. Phương trình cơ bản
Sử dụng lý thuyết vỏ Donnell cùng với kỹ thuật san đều tác dụng
gân để thiết lập phương trình chủ đạo của vỏ. Vì vậy biến dạng dài và
biến dạng trượt tại điểm bất kì cách mặt trung bình một khoảng z có
dạng [1]:

 x   xm  zkx ,
   m  zk ,

 x   x m  2 zkx ,

(1.4)


trong đó  xm ,  m là biến dạng dài và  x m là biến dạng trượt tại mặt trung bình
của vỏ; k x , k và k x tương ứng là biến thiên của độ cong và độ xoắn. Các
thành phần này có thể viết qua chuyển vị như sau [1]


x sin 
x

k x  

1
1
cos 
cos 
w, x  2
w, 
v, x  2
v,
x sin 
x sin 
x sin 
x sin 

2

(1.6)

Liên hệ giữa ứng suất – biến dạng theo định luật Hooke đối với vỏ nón
FGM cho bởi

 xsh 

E( z)
 x    ,
12

nhiều so với momen quán tính. Thêm vào nữa, sự thay đổi của khoảng cách
giữa các gân dọc theo đường sinh cũng được tính đến. Lấy tích phân các
phương trình liên hệ ứng suất - biến dạng và momen của chúng theo bề dày
của vỏ ta được biểu thức của tổng nội lực, tổng momen và các lực cắt của vỏ
nón ES - FGM như sau:

EA 
N x   A11  s 1   xm  A12 m   B11  C1 ( x) k x  B12 k ,
d1 ( x) 


EA 
N  A12 xm   A22  r 2   m  B12k x  ( B22  C2 )k ,
d2 


(1.9)

N x  A66 x m  2B66kx ,


EI 
M x   B11  C1 ( x) xm  B12 m   D11  s 1  k x  D12k ,
d1 ( x) 


EI 
M  B12 xm  ( B22  C2 ) m  D12k x   D22  r 2  k ,
d2 



I1 

1
1
b1h13  A1 z12 , I 2  b2h23  A2 z22 ,
12
12

A11  A22 

E1
E1
 E1
, A12 
, A66 
,
2
2
2(1   )
1
1

B11  B22 

E2
E2
 E2
,
,


và
E1  Em h 

Ecm h
,
k 1

 1
1 
E2  Ecm h 2 

,
(
k

2)
(2
k

2)



E3 

(1.12)

1
1

x x sin  
x sin   
x 

1
3 
v 
 3   2u

 ( N x  N )  2  2    sin 
  2   2  0,
x  t
x
x 
t 


2)

N x
1 N cot  M x
cos M 


 2 2
x
x sin  
x
x
x sin  

  2
x  t 2
x 
t
t  
x


2M x
2  2 M x
1
 2 M  2 M x



x 2
x sin  x x 2 sin 2   2
x x

1 M 
No

 2 2
x x
x sin 

 2w
u 
 2  x sin  cos  
x 

2   m 

c   m 

A2
 s A1
.
 h   r , 3 
k 1 
d2
0

Ở đây r , s là mật độ khối của gân vòng và gân dọc tương ứng.

(1.14)


1.2. Phương pháp giải
Trong phần này phương trình xác định tần số dao động của vỏ nón cụt
ES – FGM được tìm bằng phương pháp giải tích.
1.2.1. Điều kiện biên
Giả sử rằng vỏ nón tựa đơn ở hai đầu. Khi đó điều kiện biên
được viết dưới dạng như sau:

v  0, w  0

tại x  x0 , x0  L ,

N x  0, M x  0 tại x  x0 , x0  L .


T11 (u)  T12 (v)  T13 (w)  0,

(1.17)

T21 (u)  T22 (v)  T23 (w)  0,

(1.18)


T31 (u)  T32 (v)  T33 (w)  0,

(1.19)

trong đó

1
3  2   2 A11 
Es A1   2 

A   
T11   A11 




0 x  x 2  x 2 sin 2  66  2 x    2 x x


1
 2



 


2   2  3   sin  ,
x 
t


B11  2
C10   3
1
1
3
T13    B11 
 3 2

 3  2 2 (B12  2 B66 )
2
2
x  x
x x
x sin 
x sin 
x

1
2
1

( A12  A66 )  2
x 
x sin 
 x sin 

 x

 cot 
EA
 1
 2
  A22  r 2  A 66   3
( B22  C2  B66 )
d2
 x sin  
 x sin 

 
 




   2  3  2 sin  
2   2  3   sin  ;
x 
x 

t


 
4cot 2 
cot 
1

  A66  2 B66 
D66   2  3  2 x sin 2  
3
x 
x
x
x

 x
 
3   2
cot 
4cot 2 
 1
+   2 A66  3 B66 
D66     2   2 ,
x  t
x
x4
 x
 
cot    3
 1
( B12  2B66 ) + ( D12  2D66 ) 2
T23   


 cot 
 2
 x sin 


 
Er A2  4cot 
cot 2 
( B22  C2 ) 
D66  3
 A22 
 4
d 2  x sin 
x sin 
 


 


2   2  3  cos ,
x 
t


C10   3 2
 2 ( B12  2 B66 )  3
1
T31   B11 


 

  2  3   2 sin  cos ,
x 



Er A2 
 A22 

d2 



cot   3
 1
T32  
( B12  2 B66 ) + ( D12  4D66 ) 2
x sin   x 2
 x sin 
1
cot

  3 3 ( B22  C2 )  4 3
x sin 
 x sin 
 cot
 3
 x sin 

d2 


 2cot 
 4
 x sin 



Er I 2    3
 D22 

d 2    3



Er I 2  (1  cot 2  )( B22  C2 )  2 B66
 D12  4 D66  D22 

d
x3 sin 

2 

cot  
Er A2   
 


A

 2 2  D11 3  3 2 ( D12  4D66 )
x sin 
x 
x
x
x 2

1
Er I 2    2  2cot 
 2cot 

B12  2  D22 
+
( B22  C2 )

x 
d 2   x 2  x3 sin 2 
 x

3  2   2
Er I 2  
2
 4 2  D12  4 D66  D22 
   2    
d2  
x sin  
x    2
1
E I    cot 
EA 


m ( x  x0 )
cos(n  t ) dFdt  0
L
m ( x  x0 )
sin(n  t ) dFdt  0,
L

(1.20)

m ( x  x0 )
cos(n  t ) dFdt  0
L

trong đó F là diện tích thiết diện theo phương dọc đường sinh và theo
phương vòng của vỏ nón ( dF  d dx ) và
1  x 2 T11 (u)  T12 (v)  T13 (w) ,
 2  x3 T21 (u)  T22 (v)  T23 (w) ,

(1.21)

3  x3 T31 (u)  T32 (v)  T33 (w) .

Sau khi thay ngiệm (1.16) vào phương trình (1.20) và tính các tích
phân, ta nhận được hệ phương trình
L11U  L12V  L13W  0 ,
L21U  L22V  L23W  0 ,

(1.22)



L13

L21

L22

L23  0 ,

L31

L32

L33

(1.24)

trong đó các hệ thức Lij được cho bởi dạng sau:
L11 

0
L11



L21 

L021

L31 

L032

 L132 ,







0
L13



,

L23 

L023

 L123 ,

L33 

L033

 L133.




0
22

L



L032



0
L13

 L112



0
23

 L122

L

L

L033


(1.28)

0 1
0 0 1
0 1 1
g4  L11
L22 L033  L111L022 L033  L11
L22 L33  L13
L21L32  L031L123L112 
0 0 1
0 0 1
0 1 1
 L13
L31L22  L112 L121L033  L12
L21L33  L111L023L032  L11
L32 L23 ,
0 0 1
0 1
0
g5  L13
L21L32  L13
L21L032  L023 L112 L031  L031L123L12
0 1
0 1
0 0 1
 L12
L21L033  L112 L021L033  L11
L32 L023  L11
L32 L23 ,


f  R

2
A11

,

(1.29)

trong đó R là bán kính đáy lớn của vỏ nón,



2   m 

c   m 

A2
h


.

r
k 1 
d2

(1.30)

Công thức (1.29) là công thức tính tham số tần số dao dộng tự do của

0.8420

0.7910

0.7589

0.7655

0.6879

0.6322

0.6348

0.5722

3 0.7365

0.7376

0.7284

0.7175

0.7212

0.6973

0.6223


0.6323

0.6304

0.6106

0.6111

0.6077

6 0.4962

0.4950

0.4949

0.6034

0.6035

0.6032

0.6161

0.6171

0.6159

7 0.4652


0.6660

0.6650

9 0.4854

0.4916

0.4892

0.6216

0.6273

0.6257

0.7036

0.7101

0.7084

So sánh được tiến hành với vỏ nón cụt không gân, làm từ vật liệu đẳng hướng,
điều kiện biên tựa đơn với các tính chất vật liệu và tham số hình học được lấy


theo

[3]


- Chiều rộng và bề dày của các gân dọc: b1  0.002(m) , h1  0.004 (m)
- Chiều rộng và bề dày gân vòng: b2  0.002 (m) , h2  0.004 (m) ,
- nst , nr tương ứng là số gân dọc, gân vòng.
2.2.1. Ảnh hưởng của số sóng n
Xét vỏ nón cụt FGM được làm từ hai vật liệu Nhôm và Nhôm ôxit. Vỏ
nón được gia cường bởi nst  30 gân dọc, nr  30 gân vòng, quay với tốc độ
quay là   100 (rad/s), m  1 , k  1 .


1.6
o

 =30 (sóng lùi)
o

 =30 (sóng tiê'n)

1.4

o

 =45 (sóng lùi)

1.2

o

 =45 (sóng tiê'n)
o


9

Hình 2. Ảnh hưởng của số sóng n đến tham số tần số f đối với các
trường hợp góc nón  khác nhau .
2.5

2.5
k=1
k=3
k=5

2

k=1
k=3
k=5

2
1.5

1.5

f

f
1

1

0.5



2

2
k=1
k=3
k=5

1.5

1.5

f

f

1

1

0.5

0.5

0

k=1
k=3
k=5

k= 1
k=3
k=5

1.6

f

1.4

1.4

1.2

1.2
f

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4


8

10

Hình 5. Ảnh hưởng của số sóng n (   60o )
Ảnh hưởng của số sóng n được minh họa ở các hình từ Hình 2 đến
Hình 5. Nhận thấy rằng tham số tần số f đạt cực tiểu tại mode ( m, n )= (1,4)
và sau đó tham số tần số f tiếp tục tăng lên khi số sóng n tăng lên. Với cùng


góc nón  cố định thì tham số tần số của sóng tiến rất sát so với sóng lùi.
Chú ý rằng ở các hình vẽ trên rằng các đường nét liền của đồ thị biểu diễn
tham số tần số của sóng lùi còn các đường nét đứt biểu diễn tham số tần số
của sóng tiến.
2.2.2. Ảnh hưởng của tỉ phần thể tích k
Trong phần này, ta đi xem xét ảnh hưởng của tỉ phần thể tích vật liệu k
đối với vỏ nón cụt FGM có nửa góc nón là   30o tại mode (m, n)  (1,4) ,
nst  nr  30 .

Các Hình 6 và Hình 7 biểu thị ảnh hưởng của tỉ phần thể tích k đến
tham số tần số f của vỏ nón ES-FGM. Nhận thấy rằng khi tỉ phần thể tích
k tăng thì tham số tần số tăng lên. Đặc điểm này phù hợp với tính chất

thực của vật liệu. Tức là khi tỉ phần thể tích tăng tương ứng vỏ nón sẽ giàu
kim loại hơn nên vỏ nhẹ hơn nên tham số tần số sẽ tăng lên.
0.46
0.44
0.42
f 0.4

tăng; và tham số tần số của mode (m, n)  (2,4) là cao hơn so với mode