ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

LÊ THỊ NGỌC ÁNH

DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA VỎ NÓN CỤT FGM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội



ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

LÊ THỊ NGỌC ÁNH

DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA VỎ NÓN CỤT FGM
Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn
Mã số:

60440107

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. ĐÀO VĂN DŨNG


1.2. Phương pháp giải..................................................................................11
1.2.1. Điều kiện biên..............................................................................11
1.2.2. Dạng nghiệm.................................................................................11
1.2.3. Phương trình tìm tần số riêng .....................................................11
(1.29)..........................................................................................................16
Chương 2 – TÍNH TOÁN SỐ.........................................................................17
2.1. So sánh kết quả.....................................................................................17
2.2. Kết quả số cho vỏ nón cụt ES – FGM .................................................18
2.2.2. Ảnh hưởng của tỉ phần thể tích ....................................................23
2.2.3. Ảnh hưởng của tốc độ quay ..........................................................25
2.2.4. Ảnh hưởng của góc nón ................................................................26
2.2.5. So sánh tham số tần số trong trường hợp vỏ nón cụt có gân gia
cường và không gân gia cường...............................................................27
2.2.6. Ảnh hưởng của tỉ số .....................................................................30
2.2.7. Ảnh hưởng của tỉ số .....................................................................31
2.2.8. Ảnh hưởng của số gân ..................................................................32
KẾT LUẬN.....................................................................................................36
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................38
PHỤ LỤC..........................................................................................................1


MỞ ĐẦU
Vỏ nón có cơ tính biến thiên (FGM) là một trong những kết cấu được
ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực công nghệ khoa học kỹ thuật như hàng
không, tên lửa, động cơ đẩy và các thiết bị vũ trụ khác. Chính vì vậy mà có
nhiều bài toán liên quan đến ổn định và dao động của các kết cấu vỏ nón được
sự quan tâm của các nhà nghiên cứu. Bài toán dao động tự do đóng vai trò
quan trọng trong việc xác định tần số riêng của vỏ nón.
Các kết quả đối với bài toán dao động của kết cấu làm từ vật liệu
Composite, trong đó có vật liệu FGM ngày càng công bố nhiều hơn. Hua L.

chủ đạo và phương pháp Garlekin được sử dụng để tìm ra biểu thức đóng xác
định tải vồng tới hạn dạng rẽ nhánh hoặc biểu diễn các tần số cơ bản; trong
khi đó phân tích phi tuyến sử dụng lý thuyết chuyển vị lớn dạng von Karman
– Donnell của phi tuyến động.
Nhận thấy rằng các kết quả công bố trên hầu hết nghiên cứu với các kết
cấu không có gân gia cường. Tuy nhiên trong thực tế thì các kết cấu tấm và vỏ
bao gồm cả vỏ nón thường được tăng cường bởi hệ thống các gân để đảm bảo
độ cứng của khả năng mang tải mà chỉ cần một khối lượng nhỏ được gắn
thêm vào. Hiện nay các kết cấu được làm từ FGM ngày càng trở nên phổ biến
hơn. Việc nghiên cứu ổn định và dao động các kết cấu FGM dạng tấm và vỏ
là một trong những vấn đề được quan tâm hàng đầu nhằm mục đích đảm bảo
cho các kết cấu làm việc an toàn và tối ưu. Trong thực tế để tăng cường khả
năng làm việc của kết cấu người ta thường gia cố bằng các gân gia cường.
Cách làm này có ưu điểm là trọng lượng của gân thêm vào ít mà khả năng
chịu tải của kết cấu lại tăng lên nhiều, hơn nữa chỉ cần gia cố ở những vị trí
xung yếu, do vậy đây là phương án rất tối ưu về vật liệu.
Gần đây, các kết cấu FGM có gân gia cường nhận được nhiều quan tâm
nghiên cứu chủ yếu tập trung vào phân tích ổn định, mất ổn định sau vồng và
2


dao động của kết cấu tấm và vỏ của các nhà khoa học trong nước. Tác giả Đ.
H. Bích cùng các cộng sự [12] đã để cập đến ứng xử vồng của panel nón
FGM chịu tác dụng của tải cơ. Tác giả Đ. V. Dũng cùng các cộng sự [13] đã
nghiên cứu sự mất ổn định của vỏ nón cụt có gân gia cường chịu tác dụng của
tải cơ. Phương trình cân bằng và ổn định tuyến tính nhận được dựa trên lý
thuyết vỏ kinh điển và kỹ thuật san đều tác dụng gân.
Nhìn tổng quan các tài liệu chỉ Ω ra rằng vẫn chưa có nhiều các nghiên
cứu về dao động tự do của vỏ nón cụt FGM có gân gia cường lệch tâm (ES –
FGM ) quay quanh trục đối xứng. Dựa trên tài liệu tham khảo của Hua L. [3],

v, z )
L
hrx,z,θ
xθw
( xrux,,αΩ
0R

Xét vỏ nón cụt mỏng

FGM có bề dày , chiều dài và góc nón quay quanh trục đối xứng nối
tâm nón và chóp nón với tốc độ quay không đổi (Hình 1), trong đó lần
lượt là bán kính đáy nhỏ và đáy lớn của vỏ nón cụt. Chọn hệ trục tọa độ
đối với vỏ nón là hệ trục tọa độ cong , trong đó gốc tọa độ đặt tại mặt
giữa của vỏ, trục theo chiều đường sinh tính từ chóp của vỏ nón, trục
theo chiều của đường tròn và trục vuông góc với mặt phẳng (), hướng
theo pháp tuyến ngoài của nón; là khoảng cách từ chóp nón đến đáy
nhỏ . Kí hiệu và lần lượt là các thành phần chuyển vị của điểm tại mặt
trung bình theo các phương và .

5


Hình 1. Hình vẽ vỏ nón cụt ES – FGM
Giả sử vỏ nón được làm từ hỗn hợp hai vật liệu là gốm và kim loại với
thành phần vật liệu chỉ thay đổi dọc theo chiều dày của vỏ theo quy luật lũy
thừa như sau:
Vm ( z ) =12−z V+c h( z),k
Vc ( z ) = 
÷,
 2h 

1.1.2. Phương trình cơ bản

Sử dụng lý thuyết vỏ z Donnell cùng với kỹ thuật san đều tác
dụng gân để thiết lập phương trình chủ đạo của vỏ. Vì vậy biến dạng
dài và biến dạng trượt tại điểm bất kì cách mặt trung bình một khoảng
có dạng [1]:

ε x = ε xm + zk x ,
ε θ = ε θ m + zkθ ,
(1.4)

γ xθ = γ xθ m + 2 zk xθ ,

εkxm
γxk,x,xθθεmkθθm trong đó là biến dạng dài và là
biến dạng trượt tại mặt trung bình của vỏ; và tương ứng là biến thiên của độ
cong và độ xoắn. Các thành phần này có thể viết qua chuyển vị như sau [1]

ε xm = u, x

εθ m =

,

1
u w
v,θ + + cot gα
x sin α
x x
7

xx2sin
sin
sin
x sin
ααα α

(1.6)

Liên hệ giữa ứng suất –

biến dạng theo định luật Hooke đối với vỏ nón FGM cho bởi
E ( z)
( ε x + υεθ ) ,
1−υ2
E ( z)
=
( εθ + υε x ) ,
1−υ2

σ xsh =
σ θsh

σ xshθ =
và đối với gân

(1.7)

E( z)
γ xθ ,
2( 1 + υ )

Nθ = A12ε xm +  A22 + r 2 ÷εθ m + B12 k x + ( B22 + C2 )kθ ,
d2 


(1.9)

N xθ = A66γ xθ m + 2 B66k xθ ,

,


EI 
M x = [ B11 + C1 ( x ) ] ε xm + B12εθ m +  D11 + s 1 ÷k x + D12 kθ ,
 ++ d1 ( x) 
B22θ D
+
=12C
BkE12
ε2xm
(M
I+
2xr)ε
θm
 D22 +
÷kθ
d2 
(1.10)


,

A11AA
=12=A=22 = 11 2 1 2
66
2(1
1 −+
1υ−
υυ
)

II21 =

,,,

υEE E , , ,
B11BB66=12=
B=22 = 222 2 2
2(1
1 −+
1υ−
υυ
)
,,,
và
E1 = Em h +
(1.12)
.

Ecm h
,
k +1

9


là số gân dọc theo đường sinh và số gân vòng; là bề dày, chiều rộng của gân
dọc (theo phương ) và là bề dày, chiều rộng của gân vòng (theo phương ). Và
, tương ứng là khoảng cách giữa hai gân dọc và hai gân vòng. Các đại lượng
là phần diện tích mặt cắt ngang của các gân . là các momen quán tính bậc hai
của phần cắt ngang các gân liên hệ với mặt trung bình của vỏ; và biểu diễn
độ lệch tâm của các gân dọc và gân vòng so với mặt giữa của vỏ.
Phương trình chuyển động đối với bài toán dao động tự do của vỏ nón
cụt ES - FGM có dạng [2,3]
1 ∂N xθ 
∂v
ρθo3  ∂2u∂ρ23u
 1)
∂N x
1
N
Ω
αα sin α ∂w ÷
+ + ( N x −−N+θρ)2+2+2  2ρ÷2 + 2 =2÷0,
− xsin
cos
∂t
∂x x sinxα ∂θ  x sinx α
∂x 
 ∂t ∂xθ 
cot α
∂N∂xM
1 cos∂αN ∂M 2)

cot
w
cos
α
+
+− 2 θ 2Nθ
x xsin α

3)

trong đó (rad/s) là tốc
độ quay của vỏ nón.

ρwv θ
Nθo  ∂u∂u ρ3  ∂2+∂2v22u∂∂N
2sin
Ω
+x sin
+2 =3x0,
−α2 α
ρ 2−+
+ 2sin
x+
α÷ρ 2 αα
+÷
 sin
cos
 α∂θ∂t x  ∂∂tx∂∂θxxt 
x sin




1.2. Phương pháp giải
Trong phần này phương trình xác định tần số dao động của vỏ nón cụt
ES – FGM được tìm bằng phương pháp giải tích.
1.2.1. Điều kiện biên
Giả sử rằng vỏ nón tựa đơn ở hai đầu. Khi đó điều kiện biên
được viết dưới dạng như sau:
xxvw0===
+x0,0L
0,

tại ,

N
M
xx0x=x+==xL
0,
00,

tại .

(1.15)
1.2.2. Dạng nghiệm
Nghiệm gần đúng thỏa mãn các điều kiện biên (1.15) có thể chọn dưới
dạng
u = U cos

mπ ( x − x0 )
cos(nθ + ωt ),


(1.18)
(1.19)

T31 (u ) + T32 (v) + T33 ( w) = 0,

trong đó
22
∂E 2A 
 1∂A∂ρ
 +
11 
T11 ρ
=22+A1122 3+2+÷AΩ66s +1 ÷
∂∂xxθxα∂xλ x
 x sin
 − ρ1E3r A∂202 
−( ρ
A22
+ 2 ) ÷2 ,
2 +
xxd 2∂t 


 α ∂ρ3, 
+Ω
2 sin
ρ2 + ÷
∂xt 


2x x∂xθ∂xsin
x 
cot
∂αEα
ρ
−os


Ω−xc
sin
α
A
3
r 2 
ρ
+
A
+
2
2

÷
 22 ∂x x ÷
d 2 
 

C
12 2α− B66 ) 
 ( B22+ +Ecot
rA

÷ B66
22
22
÷
x
x
sin
α
x
∂
∂
x
θ
x
d
d
cot
12∂α 222  2 
ρ α
  4cot
B6666Dx−−66sin α 
+  ρ 2 ++ 233÷A
Ω
x
∂
x
x
x
x


E
r 2
4
D
−
D
−
2
 66 2 x∂3x22
÷
sin
α
sin
α
∂∂E
αθrαA2d2 
− 4cot
α cot
 cot
+ 3 +
A224 +2( B22 D+66÷C2 ) 
xΩ
sin
∂θsin
αdαρ2α  
x sin
αxc∂os

−2  ρ 2 +, 3 ÷
∂t −2 B2x20B) )3

c22
∂AC∂66

A
2
2
+ A66 ×÷
 A22 +T−12=xx223sin
∂sin
xα∂α
∂θα
θ
d 2  xsin


+
B
(B661∂A
α)266+)
ρ3  (+A212
 cot

12
= x 2sin α 
 ρ 2 + T21÷Ω
x  xx ∂sin
x∂α
θ



sin
Ω+21xΩ
sin
α
E
A2α×) 
(
−
B
ρ 2+22+ +2 r 3C
3 22
÷2 ÷
xA
∂
x
x
x

d
34 D2  )
+∂α
1cot
( D12

T32 =  2 2 ( B1266 + 2 B66 )
x∂xsin
α∂3 α
θ
 x sin
+E1C

+
−2DD
ρ
+
+ 2(
+
)
D
D
+
+
A
+
2
c266os
÷
3
4
−DD12122 +++44Ω
3 22 22
÷ ÷
∂xsin
θ∂sin
xx∂66
xsin
xt322d 2 d 2d÷
θα∂αα
x
sin
α

−
+
D
T33+= −2 D
+211++24 2242 2B312÷2÷÷ 4
×D
22342311
22sin
x
x
x∂θx∂θθd∂λα
x2αd0 x2 ∂x
x  ∂∂xxsin
C
  1 −(Bρ22
cot
∂3cot
∂∂+2ρ22E2ρ
α
2r I22E
A
E
2)
2r I2 
3r 3
−
+
ρ
+
×

3


÷
÷
 12  3 22x66x∂22
22 22 ÷÷  ÷
∂
sin
α
x
x
θ
t
x



x
d
d
 d 2 
Do điều kiện , tức   x0 ≤ xx x≤≠32x002+ 2L
,

+

+

là và để thuận lợi trong việc tính tích phân, ta nhân phương trình (1.17)


.

[ T31 (u ) +ΦT323 =(vx) 3+ T33 ( w)]

Sau khi thay ngiệm (1.16) vào phương trình (1.20) và tính các tích
phân, ta nhận được hệ phương trình
,

L11U + L12V + L13W = 0

,

L21U + L22V + L23W = 0
(1.22)
13


L31U + L32V + L33W = 0

.

Hệ phương trình (1.22) viết lại dưới dạng ma trận như sau
L
(1.23)  11
 L21
trong đó các hệ số của  L
 31
ma trận được trình bày


Lij

cho bởi dạng sau:
,

,

00 0
LL11
L 11
LL1112L=13
= =12+13+L,L
ω
1112
ω
ω
ω
LL022023
21
LL2223
=
=
++LL122121
ω, ,
21
23
ωω

LL033032L031 11
LL3332L

ω

14

0
L13
ω
0
23

(1.26)

L
+ L123 = 0
Khai triển
ω
định thức ở
L033
+ L133ω
ω
phương trình

ω


(1.26) ta được phương trình hiển bậc sáu đối với
,

g 0ω 6 + g1ω 5 + g 2ω 4 + g 3ω 3 + g 4ω 2 + g5ω + g 6 = 0
(1.27)

L21L33 − L111L023 L032 − L11
L32 L23 ,
0 0 1
0 1
0
g5 = L13
L21L32 + L13
L21L032 + L023 L112 L031 + L031L123 L12
0 1
0 1
0 0 1
− L12
L21L033 − L112 L021L033 − L11
L32 L023 − L11
L32 L23 ,
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
g 6 = L11
L22 L33 + L13
L21L32 + L031L12
L23 − L13
L31L22 − L12
L21L33 − L11
L32 L23 .

Ω

ρ2
,
A11

trong đó là bán kính đáy lớn của vỏ R nón,
A
(1.30) ρ 2 = hρ+m ρ+r ρ c2 −. ρ m ÷
dk2 + 1 

Công thức (1.29) là
công thức tính tham số tần số dao dộng tự do của vỏ nón cụt FGM có gân gia
cường được xây dựng bằng phương pháp giải tích mà luận văn sử dụng tính
toán số cụ thể trong Chương 2.

16


Chương 2 – TÍNH TOÁN SỐ
Trong chương này, các kết quả tính toán tham số tần số riêng của vỏ
nón cụt ES – FGM dựa theo công thức (1.29) đã thiết lập ở Chương 1.
2.1. So sánh kết quả
Để đánh giá tính chính xác của kết quả luận văn, Bảng 1 so sánh kết
quả tính toán tham số tần số theo công thức (1.29) cho vỏ nón không gân,
đẳng hướng với các kết quả đã được công bố bởi Hua L. [3] và Irie T et al.
[4]. Đây là trường hợp đặc biệt của bài toán tổng quát mà luận văn thực hiện.
Bảng 1. So sánh tham số tần số của vỏ nón cụt không gân, đẳng hướng với
kết quả của Hua L. [3] và Irie T et al. [4].
n

α = 45o


0.7376

0.7284

0.7175

0.7212

0.6973

0.6223

0.6238

0.6001

4 0.6378

0.6362

0.6352

0.6725

0.6739

0.6664

0.6138


0.6035

0.6032

0.6161

0.6171

0.6159

7 0.4652

0.4661

0.4653

0.5908

0.5921

0.5918

0.6327

0.6350

0.6343

8 0.4624


0.7101

0.7084

sin
h1314(
=/×αR
0,
/ =R9m
0.01,
=/0.25.
1,m
E = 4.8265
ρL=Ω
10
kg
(=Pa
), 3υ) = 0.3 So sánh được tiến hành

với vỏ nón cụt không gân, làm từ vật liệu đẳng hướng, điều kiện biên tựa đơn
với các tính chất vật liệu và tham số hình học được lấy theo [3] ,[4] cụ thể
như sau: , ,

17


Các kết quả thể hiện ở Bảng 1, nhận thấy rằng kết quả thu được rất gần
với kết quả của [3,4] đã được công bố trước đó.
2.2. Kết quả số cho vỏ nón cụt ES – FGM

0.002((m
m))
- Chiều rộng và bề dày của các hb11 ==0.004
gân dọc: ,
0.002 ( m)
- Chiều rộng và bề dày gân bh2 = 0.004
vòng: ,,
- tương ứng là số gân dọc, gân nst , nr vòng.
2.2.1. Ảnh hưởng của số sóng

n
Ω
100
kstr====1
1
n
nm
30
30

Xét vỏ nón cụt FGM được

làm từ hai vật liệu Nhôm và Nhôm ôxit. Vỏ nón được gia cường bởi gân
dọc, gân vòng, quay với tốc độ quay là (rad/s), , .

18


1.6
o

0.4
0.2
1

2

3

4

5
n

6

7

8

Hình 2. Ảnh hưởng của số sóng đến tham số tần số đối với các trường
hợp góc nón khác nhau .

αnf

19

9


2.5

(α=30 )o
(α=30 )

8
8

10
10

α =n30o Hình 3. Ảnh hưởng của số sóng
đến tham số tần số (), ( đường nét liền ứng với trường hợp sóng lùi, đường nét
đứt ứng với trường hợp sóng tiến).

20