Tác giả: Nguyễn Thị Thu
MỤC LỤC
Tiêu mục
Mục lục

Trang
1

1. Lời giới thiệu

3

2. Tên sáng kiến

3

3. Tác giả sáng kiến

3

4. Chủ đầu tư sáng kiến

3

5. Lính vực áp dụng sáng kiến

3

6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử

3


Dạng toán 1.2. Đếm các số tự nhiên có điều kiện liên quan đến tổng các 11
chữ số.
Dạng toán1.3: Đếm các số tự nhiên có điều kiện phải có mặt chữ số nào 14
đó.
Dạng toán1.4. Đếm các số tự nhiên với điều kiện có chữ số lặp lại

16

Dạng 1.5. Đếm các số tự nhiên với điều kiện các chữ số đứng cạnh nhau.

20

Bài tập tổng hợp về đếm số:

22

Dạng 2. Bốc đồ vật, phân chia

26

Dạng 3. Sắp xếp theo hàng, đường tròn.

32

Dạng 4. Bài toán có yếu tố hình học

33

7.1.2.2. Các dạng toán xác suất


9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

55

10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng 55
sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã
tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các
nội dung sau:
10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng 55
sáng kiến theo ý kiến của tác giả:
10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng 56
sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân:
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp 56
dụng sáng kiến lần đầu (nếu có):

Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
2


Tác giả: Nguyễn Thị Thu
BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN:
ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
TỔ HỢP – XÁC SUẤT THI HSG, THPTQG
1. Lời giới thiệu:
Các bài toán về tổ hợp - xác suất, nhị thức Newton là một nội dung cơ bản
trong nhà trường phổ thông. Nó thường xuất hiện trong các kỳ kiểm tra, các kỳ
thi học kỳ, thi HSG và thi THPT QG. Đây là nội dung có sự liên hệ thực tiễn



Tác giả: Nguyễn Thị Thu
7.1. Nội dung sáng kiến:
7.1.1. Hệ thống các kiến thức sử dụng trong SKKN
7.1.1.1. Hai quy tắc đếm:
7.1.1.1.2 Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong 2
phương án A và B. Có n cách thực hiện theo phương án A, m cách thực hiện
theo phương án B. Khi đó công việc có thể thực hiện theo m+n cách.
Tổng quát: Giả sự một công việc có thể thực hiện theo 1 trong k phương án
A1 , A2 ,..., Ak . Trong đó:
+ Phương án A1 có n1 cách thực hiện
+ Phương án A2 có n2 cách thực hiện
…………………………………..
+ Phương án Ak có nk cách thực hiện
Khi đó số cách thực hiện công việc là : ( n1 + n2 + ... + nk ) cách.
7.1.1.1.3 Quy tắc nhân: Giải sử một công việc được hoàn thành bởi hai công
đoạn liên tiếp. Ở công đoạn 1 có m cách thực hiện. Ứng với mỗi cách thực hiện
công đoạn 1 có n cách thực hiện công đoạn 2. Khi đó có m.n cách hoàn thành
công việc.
Tổng quát: Một công việc A được thực hiện lần lượt qua k công đoạn
A1 , A2 ,..., Ak , liên tiếp nhau. Trong đó:
+ Công đoạn A1 có n1 cách thực hiện
+ Công đoạn A2 có n2 cách thực hiện
+ Công đoạn A3 có n3 cách thực hiện
…………………………………..
+ Công đoạn Ak có nk cách thực hiện
Khi đó số cách thực hiện công việc A là : ( n1.n2 .n3 ...nk ) cách.
Chú ý: Sự khác biệt căn bẳn của hai quy tắc cộng và nhân ở chỗ: Quy tắc cộng
là công việc chỉ có một công đoạn, quy tắc nhân là công việc cần thực hiện từ 2


Chú ý: - Dấu hiệu nhận biết đặc trưng của Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp:
+) Hoán vị dùng khi: có bao nhiêu phần tử mang tất cả đi sắp xếp .
+) Chỉnh hợp dùng khi: Mang ít hơn số phần tử đang có đi sắp xếp.
+) Tổ hợp dùng khi: Mang ít hơn số phần tử đang có đi, nhưng không
có sắp xếp.
- Nhiều bài toán cần vận dụng hai quy tắc đếm cơ bản kết hợp với 3 quy
tắc hoán vị chỉnh hợp, tổ hợp.
7.1.1.3. Phép thử và biến cố - xác suất của biến cố
7.1.1.3.1. Phép thử: Là một thí nghiệm hay một hành động mà ta không đoán
trước được kết quả của nó mặc dù ta đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể của
phép thử đó.
-Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian
mẫu. Kí hiệu là Ω
- Số các kết quả có thể của phép thử kí hiệu là n ( Ω )
7.1.1.3.2. Biến cố là một tập con của không gian mẫu
- Biến cố không thể chính là tập rỗng
Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
5


Tác giả: Nguyễn Thị Thu
- Biến cố chắc chắn là không gian mẫu.
7.1.1.4. Các phép toán trên các biến cố:
+ Biến cố đối của biến cố A kí hiệu là A
+Hợp của hai biến cố A và B kí hiệu là A ∪ B
+Giao của hai biên cố A và B kí hiệu là A ∩ B = A.B
+ Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu A ∩ B = ∅
Chú ý: Hai biến cố đối nhau thì xung khắc với nhau, nhưng điều ngược lại thì

là chon a, b, c, d, e từ các chữ số bài toán cho.
a/ Vì 5 chữ số đều khác nhau nên mỗi số tự nhiên có 5 chữ số tạo thành từ bộ 7
chữ số chính là một chỉnh hợp chập 5 của 7. Vậy có A 57 = 2520
b/ Do chữ số đầu là 3, nên ta chỉ thực hiện 4 động tác liên tiếp là chọn b, c, d, e
từ các chữ số bài cho.
Theo quy tắc nhân có 7 4 = 2401
c/ Do các chữ số là khác nhau và không tận cùng là 4 nên e có 6 cách chọn và ta
chon 4 chữ số trong 6 chữ số còn lại sắp vào 4 vị trí còn lại nên có A 64 cách. Vậy
có 6. A 64 =2160
Bài 2. Từ bảy chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 thành lập được bao nhiêu số tự nhiên
chẵn có 5 chữ số khác nhau.
HD: Gọi số tự nhiên có 5 chữ số là abcde . Để lập được số tự nhiên có 5 chữ số ta
thực hiện động tác chon liên tiếp a, b, c, d, e từ bộ các chữ số bài cho.
Do là số chẵn và các chữ số khác nhau nên e chỉ có thể là 0, 2, 4, 6. Và do a
khác 0 nên ta có 2 trường hợp
TH1: e là 0. Khi đó ta chọn 4 số từ bộ 6 số sắp vào 4 vị trí ứng với a, b, c, d. Nên
có A 64 (số)
TH2: e khác 0. Như vậy e có 3 cách chọn ( 2,4,6). Sau đó chọn a, có 5 cách.
Ta chọn 3 chữ số từ bộ 5 chữ số còn lại sắp vào 3 vị trí b, c, d nên có A 35 . Vậy có
3.5. A 35 =900
Theo quy tắc cộng có A 64 +900=1260
Bài 3. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau, không
chia hết cho 10 từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
HD: Gọi số tự nhiên có 4 chữ số abcd
Do nó gồm các chữ số khác nhau và không chia hết cho 10 nên d khác 0. Vậy d
có 7 cách chọn, a có 6 cách chọn, và có A 62 cách sắp b, c. Vậy có 7.6. A 62 (số)
Bài 4. Cho 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 9. Hỏi từ các chữ số đã cho, lập được mấy số
tự nhiên đôi một khác nhau và
Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG

Khi đó có 3. A 94 (số)
Th2: Nếu a là 4. Khi đó b ∈ { 0;1; 2;3;5;6} . Nếu b ∈ { 0;1; 2;3;5} , thì b có 5 cách chọn,
và có A83 cách chọn c, d, e. Vậy có 5. A83 (số)

Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
8


Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Nếu b là 6 thì c ∈ { 0;1; 2;3;5;7} tức c có 6 cách chọn, thì tương ứng có A 72 cách
chọn d, e. Vậy có 6. A 72 (số).
Vậy theo quy tắc cộng có 3. A 94 +5. A83 +6. A 72 =11004 (số)
Bài tập tự giải:
Bài 1. Với các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ
có 7 chữ số.
Giải: Gọi số tự nhiên có 7 chữ số là a1a 2 ...a 7 . Do là số lẻ nên a 7 có 5 cách chọn,
a1 có 9 cách chọn
Mỗi chữ số còn lại đều có 10 cách chọn. Nên có 9.5.10.10.10.10.10=4500000
(số)
Bài 2. Với các chữ số 0;1;2;3;6;9 lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3
có 5 chữ số khác nhau.
Giải: Gọi số tự nhiên có 5 chữ số là abcde . Do yêu cầu bài toán thì a, b, c, d, e
thuộc vào các bộ sau:
{1,2,3,6,9}; {0,1,2,6,9}; {0,1,2,3,9}; {0,1,2,3,6}.
Nên có 5!+ 3.4.4! (số)
Bài 3. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ
các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Đ/s: 3.A 52
Bài 4. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các

Đ/ s: Áp dụng quy tắc nhân 9!− 8!
Bài 9. Từ các chữ số 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên có các chữ số
phân biệt.
HD: Xét các trường hợp: Số tự nhiên có hai chữ số, 3 chữ số, 4 chữ số
A 24 + A 34 + A 44

Bài 10. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5
chữ số khác nhau.
HD: Xét 2 trường hợp chữ số cuối là số 0 và chữ số cuối khác 0. A 54 + 2.4.A34
Bài 11. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5.
HD: Xét 2 trường hợp chữ cuối cùng là 0 và chữ số cuối cùng là 5. A 94 + 8.A83
Bài 12. Từ các chữ số 1, 2, 3..., 7. Lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số
khác nhau sao cho 2 chứ số đầu là số lẻ, hai chữ số sau là số chắn.
Đ/s: 4.3.2.3
Bài 13. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm
các chữ số khác nhau biết số đó lớn hơn 3000.
Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
10


Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Đ/s: Có 2 trường hợp: Số có 4 chữ số khác nhau và số có 5 chữ số khác nhau.
2.A 34 + 4.4!

Bài 14. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số biết rằng 2 số đứng cạnh nhau thì
khác nhau.
Đ/s: Áp dung quy tắc nhân có 95
Dạng toán 1.2. Đếm các số tự nhiên có điều kiện liên quan đến tổng các chữ
số.

Th2 bộ { 1; 2;0;....;0} khi đó a1 có 2 cách chọn. sau đó còn 1 chữ số khác 0 có
2007 vị trí để sắp chữ số khác 0 đó. Vậy có 2.2007=4014 (số).

Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
11


Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Th3 bộ { 1;1;1;0;...;0} , khi đó a1 = 1 , ta chọn 2 vị trí trong 2007 vị trí còn lại để sắp
số 1. Nên có C22007 cách. Tương ứng có C22007 số
Vậy có 1+2.2007+ C22007 =2017036 (số)
Bài 2. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau từ các chữ số 0, 1,
2, 3, 4, 5 mà số đó không chia hết cho 3.
Giải: Trước tiên ta tìm số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau lập từ bộ số bài
toán cho, sau đó ta tìm số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 3.
Số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau là: 5.A52
Để số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 3 thì tổng 3 chữ số đó phải chia hết cho
3. Từ tập các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 ta có bộ các chữ số chia hết cho 5 là: {0,1,2};
{0,1,5}; {0,2,4};{0;4;5}; {1,2,3}; {1,3,5}; {2,3,4}; {3,4,5}. Áp dụng quy tắc
nhân và hoán vị ta có số các số tự nhiên chia hết cho 3 được tạo thành là:
4.2.2+4.3!. Vậy có 5.A 52 -4.2.2+4.3! (số)
*Bài 3. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi
số là một số lẻ.
Giải:
Cách 1. Trước hết ta có 9.106 số khác nhau gồm 7 chữ số.
Gọi số có 7 chữ số là a1a 2a 3a 4a 5a 6a 7 , xét số b1b2 b3b 4 b5b6 b7 sao cho bi = 9 − a i ,i = 1, 7
được gọi là số “bù” của số a1a 2a 3a 4a 5a 6a 7 . Khi đó tổng các chữ số của hai số này
là 63. Đây là số lẻ. Suy ra nếu số này có tổng các chữ số là số chẵn thì số còn lại
có tổng các chữ số là số lẻ. Mà mỗi số tự nhiên đều có duy nhất một số bù với

Bài 5. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ
số đôi một khác nhau mà tổng của ba chữ số đó bằng 10.
Giải: Ta có 10=1+3+6=1+4+5=2+3+5, từ các chữ số 1,2,3,4,5,6.
Vây để có được số có 3 chữ số đôi một khác nhau mà tổng của chúng bằng 10
thì ta phải lập từ bộ {1;3;6}; {1;3;5}; {2;3;5}.
Vậy số các chữ số lập được là: 3.3!=18
Bài 6. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3
chữ số khác nhau không chia hết cho 9.
Giải: Để một số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9 từ các chữ số
0,1,2,3,4,5 thì tổng của ba chữ số đó phải bằng 9. Như vậy ta có các bộ số sau:
{0,4,5}; {1,3,5}; {2;3;4}
Vậy có 2.2+2.3!=16
Bài 7. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số và chia hết cho 9.
Giải: Các số gồm 6 chữ số và chia hết cho 9 là: 100008;100017; 100026;
100035;...;999999.
Trong đó các số lẻ là: 100017;10035;...;999999. Lập thành cấp số cộng với có số
hạng đầu u1 = 100017 , công sai d = 18 , số hạng cuối un = 999999 .
Mà ta có U n = u1 + ( n − 1) d suy ra n =

un − u1
999999 − 100017
+1 =
+ 1 = 50000 .
d
18

Vậy có 50000 số lẻ và chia hết cho 9.
Bài 8. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số sao cho tổng các chữ số là lẻ.
Giải: Trước hết ta có 9.104 số khác nhau gồm 5 chữ số.
Gọi số có 5 chữ số là a1a 2a 3a 4a 5 , xét số b1b2 b3b 4 b5 sao cho bi = 9 − a i ,i = 1,5 được

Vậy có A 57 +6.5. A 64
Bài 3. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho luôn có
mặt chữ số 0 và không có mặt chữ số 1.
Giải: Có 5 cách chọn vị trí để sắp số 0. Sau đó chọn 5 chữ số trong 8 chữ số
2,3,4,5,6,7,8,9 sắp vào 5 vị trí có A85 Vậy có 5. A85 (số)
Bài 4. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho
a/ Có mặt chữ số 0; b/ Có mặt chữ số 1; c/ Có mặt chữ số 1 nhưng không có mặt
chữ số 0.
d/ Có mặt cả chữ số 1 và 0; e/ Có mặt cả chữ số 1 và 2.
Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
14


Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Giải: a/ 3.A 39 ; b/ A 39 +8.3. A82 ; c/ 4. A83 ; d/ 3. A82 + 8. A32 .7 ; e/ 2.3. A82 + 7. A32 .7
Bài 5. Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau mà không có đồng thời
số 0 và số 1.
Giải: Một số có 7 chữ số khác nhau thì có các tình huống sau:
Số có cả hai chữ số 0 và 1.
Số có chữ số 1 và không có chữ số 0
Số có chữ số 0 và không có chữ số 1
Số không có cả hai chữ số 0 và 1.
Câu hỏi của bài toán có thể hiều theo 2 ý.
Ý 1. Chính là 2 tính huống số 2 và số 3.
Ý 2. Là 3 tính huống 2,3,4.
Trước tiên ta tìm số các số có 7 chữ số khác nhau: có A107 − A96 = 9. A96
Số các số có 7 chữ số khác nhau có mặt chữ số 1 và không có mặt chữ số 0 là:
A97 − A87 = 7. A86


Theo quy tắc cộng có A75 + 6.5. A64 (số)
Bài 7. Với các chữ số 0,1,2..., 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác
nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5.
Giải: tương tự . Số các số có 5 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt
4
3
5
4
5
4
chữ số 5 là: A6 + 5.4. A5 = A7 − A6 − ( A6 − A5 )
Bài 8. Từ các chữ số 1,2,...,7 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác
nhau trong đó phải có mặt chữ số 2 và 7.
Giải: Số các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau từ các chữ số bài cho là: A75
Trong đó, số các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong đó có mặt 1 trong 2
5
5
chữ số 2 và 7 là: 2 ( A6 − A5 )
Và số các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong đó không có mặt cả hai chữ
số 2 và 7 là: A55
Suy ra số các số có 5 chữ số khác nhau từ các chữ số bài cho trong đó nhất thiết
có mặt 2 chữ số 2 và 7 là:
A75 − 2 ( A65 − A55 ) − A55

Cách 2. Chọn 2 vị trí trong 5 vị trí sắp 2 chữ số 2 và 7 có A52 cách.
Sau đó chọn 3 chữ số trong 5 chữ số còn lại sắp vào 3 vị trí còn lại nên có A53
cách.
Suy ra có A52 . A53
Dạng toán1.4. Đếm các số tự nhiên với điều kiện có chữ số lặp lại
Bài 1. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số mà

Theo quy tắc cộng có: C72 . A95 + 8. A73 . A84 (số)
Bài 3. Từ hai chữ số 1, 2 lập được bao nhiêu số có 10 chữ số trong đó có mặt ít
nhất 3 chữ số 1 và ít nhất 3 chữ số 2.
Giải: Gọi số có 10 chữ số được viết vào 10 ô như hình

Th1. Số đó có 3 chữ số 1 và 7 chữ số 2. Khi đó ta chọn 3 ô để sắp chữ số 1 có
C103 , còn lại ta sắp chữ số 2. Nên có C103 số.
Th2. Số có 4 chữ số 1 và 6 chữ số 2. Tương tự ta có C104
Th3 : Số có 5 chữ số 1 và 5 chữ số 2. Tương tự ta có C105
Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
17


Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Th4: Số có 6 chữ số 1 và 4 chữ số 2 Tương tự ta có C106
Th5: Số có 7 chữ số 1 và 3 chữ số 2. Tương tự ta có C107
Vậy có C103 + C104 + C105 + C106 + C107
Bài 4. Có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số trong đó chữ số
1 và chữ số 6 có mặt 2 lần, các chữ số 2,3,4,5,có mặt đúng 1 lần.
Giải: Giả sử số có 8 chữ số được sắp vào 8 ô như hình
Chọn 2 ô để sắp chữ số 1 nên có C82 , sau đó chọn 2 ô để sắp chữ số 6 nên có C62
Sau đó sắp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí còn lại nên có 4! Cách.
Vậy có C82C62 .4!
Bài 5. Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số trong đó chữ số 2 có mặt đúng 2
lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần còn các chữ số khác có mặt tối đa một lần.
Giải: giải sử số có 7 chữ số được sắp vào 7 ô
như hình
Th1: Ô đầu tiên chứa chữ số 2. Khi đó ta có 6 cách chọn 1 vị trí sắp chữ số 2 còn
lại.

Vậy có 27+8=35 (số)
Tương tự các chữ số 2,3,4,5,6,7,8,9 lặp lại 3 lần cũng đều có 35 số
Suy ra có 9 + 35.9 = 324
Vậy số các số tự nhiên có 4 chữ số trong đó không có chữ số nào lặp lại đúng 3
lần là: 9000 − 324 = 8676
Suy ra số các số tự nhiên có 4 chữ số trong đó không có chữ số nào lặp lại quá 3
lần là: 8676-9=8667
Cách 2.
Th1. Nếu số 0 lặp lại 3 lần thì có 9 số
Th2. Số lặp lại 3 lần không phải là số 0.
Khi đó ta chọn 3 vị trí trong 9 vị trí đế sắp chữ số lặp lại

Bài 7. Có bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số trong đó chữ số 2 có mặt đúng 2
lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần các chữ số khác có mặt không quá 1 lần.
Giải: giải sử số có 9 chữ số được sắp vào 9 ô như hình
Th1: Ô đầu tiên chứa chữ số 2. Khi đó ta có 8 cách chọn 1 vị trí sắp chữ số 2 còn
lại.
Sau đó ta có C73 cách chọn 3 ô để sắp chữ số 3. Chọn 4 chữ số từ 8 chữ số còn
lại sắp vào 4 vị trí còn lại có A84
Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
19


Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Nên có 8.C73 A84 (số).
Th2. Ô đầu tiên chứa chữ số 3. Khi đó chọn 2 vị trí nữa sắp chữ số 3 có C82 , sau
đó chọn 2 vị trí để sắp chữ số 2 có C62 cách, tiếp theo chọn 4 chữ số trong 8 chữ
số sắp vào 2 vị trí còn lại có A84 cách.
Nên có C82 .C62 . A84

Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Trước tiên ta tìm số các số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau trong đó có 2 chữ số
1 và 2.
(Cách 1. Ta 2 ô để sắp 2 chữ số 1 và 2 trong 7 ô thì có A72 cách. Sau đó chọn 5
chữ số từ 8 chữ số còn lại sắp vào 5 vị trí còn lại nên có A85 . theo quy tắc nhân
có A72 A85 , trong đó gồm cả những số có 7 chữ số nhưng chữ số 0 ở ô đầu tiên.
Ta tìm số các số có 7 chữ số mà chữ số 0 ở vị trí ô đầu tiên. Khi đó chọn 2 ô
trong 7 ô để sắp 2 chữ số 1 và 2 có A62
Chọn 4 chữ số từ 7 chữ số còn lại sắp vào 4 ô còn lại nên có A74 . theo quy tắc
nhân có A62 A74
Vậy có A72 . A85 − A62 . A74 số.
Cách 2. TH1: Số 1 hoặc 2 ở vị trí đầu tiên. Nên có 2 cách chọn.
Sau đó chọn 1 vị trí sắp chữ số còn lại nên có 6 cách.
Chọn 5 chữ số còn lại từ 8 chữ số còn lại sắp vào 5 ô còn lại nên có A85 . Theo
quy tắc nhân có 2.6. A85
TH2. Ô đầu tiên không phải là 2 chữ số 1 và 2 nên có 7 cách chọn.
Chọn 2 ô trong 6 ô còn lại sắp 2 chữ số 1 và 2 nên có A62 . Sau đó chọn 4 chữ số
trong 7 chữ số còn lại sắp vào 4 vị trí còn lại nên có A74 . Theo quy tắc nhân có
7. A62 . A74
Theo quy tắc cộng ta có 2.6. A85 + 7. A62 . A74 )
Số các số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau trong đó có mặt cả hai chữ số 1 và 2
là: A72 . A85 − A62 . A74 hoặc 2.6. A85 + 7. A62 . A74
Coi 2 chữ số 1 và 2 đứng cạnh nhau là 1 chữ số a.
Ta thực hiện việc tìm số các số có 6 chữ số khác nhau trong đó có chữ số a.
1
5
1
4
Tương tự như trên ta có 2 ( A6 . A8 − A5 . A7 ) số


Bài tập tổng hợp về đếm số:
Bài 1. Cho các chữ số 1,2,3,4,5,6 từ đó lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6
chữ số khác nhau, tính tổng các chữ số đó.
Giải: Gọi số có 6 chữ số là abcbde . Số các số có 6 chữ số khác nhau lập từ các
chữ số bài cho là 6!
Nếu e=1, khi đó có 5! Số có 6 chữ số khác nhau có hàng đơn vị bằng 1.
Tương tự cũng có 5! Số có 6 chữ số khác nhau có hàng đơn vị là 2,3,4,5,6.
Vậy tổng tất cả các chữ số hàng đơn vị của các số có 6 chữ số là:

( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) .5! = 2520

Lập luận tương tự ta có tổng tất cả các chữ số hàng chục của các số có 6 chữ số
của bài là: 2520.10;...
Vậy ta có tổng của tất cả các số có 6 chữ số của bài là
2520 ( 1 + 10 + 100 + 1000 + 10000 + 100000 ) =279999720
Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
22


Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Bài 2. Xét dãy có 7 chữ số là các số tự nhiên từ 0 đến 9 thỏa mãn các đk sau:
Chữ số thứ 3 là số chẵn, Chữ số cuối cùng là số không chia hết cho 5, ba chữ số
thứ 2,4,6 đôi một khác nhau.
Giải: Giả sử dãy 7 chữ số là a1a2 a3a4 a5a6 a7 . Theo giả thiết a3 ∈ { 0; 2; 4;6;8} ,
a7 ∈ { 1, 2,3, 4, 6, 7,8,9}

Và a2 , a4 , a6 đôi một khác nhau.
Để tạo thành 1 dãy số như vậy ta lần lượt chọn các chữ số sắp vào các vị trí.
a7 có 8 cách chọn; a3 có 5 cách chọn; chọn 3 chữ số sắp vào 3 vị trí a2 , a4 , a6 có

Bài 4. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau xếp theo thứ tự tăng
dần.
Giải: Gọi số tự nhiên có 7 chữ số là a1a2 a3a4 a5 a6 a7 , theo giả thiết
Bài 5. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có 3 số chẵn
và 3 số lẻ.
Giải: Trường hợp 1. Có chữ số 0. Có 5.C42 .C53 .5!
Trường hợp 2. Không có chữ số 0. Có: C43 .C53 .6!
Bài 6. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau, tính tổng các số
đó.
Giải: Số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau kể cả các số có 3 chữ số với số
0 ở vị trí đầu tiên là A103
Ta đi tìm tổng của tất cả các số đó, sau đó trừ đi tổng của các số có 2 chữ số
khác nhau lập được từ các chữ số khác 0.
Mỗi chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 đứng ở các vị trí hàng đơn vị, chục, trăm trong
các số có 3 chữ số khác nhau là A92
Khi đó tổng của các số có 3 chữ số kể cả số có chữ số 0 ở đầu là:
A92 ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 ) ( 1 + 10 + 100 )

Ta tìm tổng của các số có 3 chữ số khác nhau có chữ số 0 ở vị trí đầu tiên.
Mỗi chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 đứng ở các vị trí hàng đơn vị, chục trong các số có
3 chữ số đó là A81
Khi đó tổng của các chữ số có 3 chữ số khác nhau, có chữ số 0 ở vị trí hàng trăm
là:
A81 ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 ) ( 1 + 10 )

Suy ra tổng các số có 3 chữ số khác nhau là:
A92 ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 ) ( 1 + 10 + 100 ) − A81 ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 ) ( 1 + 10 ) =35

5680
Cách 2. Gọi số có 3 chữ số là abc .

Giải:
Bài toán có 3 trường hợp:
TH1: Số tự nhiên có chứa 1 chữ số 3 còn lại là số 0. Vì số này có thể có từ 1 chữ
số đến n chữ số nên có C1n số tự nhiên như thế ( số có 1 chữ số hay số có n chữ
số đều có 1 số)
TH2: Số tự nhiên có chứa 1 chứ số 1, 1 chữ số 2 còn lại là số 0. Khi đó bắt buộc
số tự nhiên thỏa mãn có tổng bằng 3 lập từ các chữ số trên phải có từ 2 chữ số
trở lên. Từc n ≥ 2
Khi đó có A 2n số tự nhiên thỏa mãn.
TH3: Có 3 chữ số 1 còn lại là 0. Khi đó n ≥ 3 . Khi đó có C3n số tự nhiên thỏa
mãn.
Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
25