Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến : “ Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và
bất phương trình”
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến : Môn toán - THPT
3. Thời gian áp dụng sáng kiến : Từ ngày 5 tháng 9 năm 2010 đến ngày 20 tháng 12
năm 2011
4. Tác giả :
Họ và tên : Vũ Thị Trang
Năm sinh : 1985
Nơi thường trú : Nghĩa Trung – Nghĩa Hưng – Nam Định
Trình độ chuyên môn : Cử nhân Toán
Chức vụ công tác: Giáo viên dạy toán
Nơi làm việc : Trường THPT A Nghĩa Hưng
Địa chỉ liên hệ : Vũ Thị Trang - Trường THPT A Nghĩa Hưng – Nam Định
Điện thoại : 0977768756
5. Đồng tác giả :
Họ và tên :
Năm sinh :
Nơi thường trú :
Trình độ chuyên môn :
Chức vụ công tác:
Nơi làm việc :
Địa chỉ liên hệ :
Điện thoại :
6. Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị : Trường THPT A Nghĩa Hưng
Địa chỉ : Nghĩa Hưng – Nam Định
Điện thoại : 03503871173



Chứng minh
Xét trường hợp f ( x ) là hàm số đồng biến.
Giả sử phương trình f ( x )  0 có hai nghiệm x1; x2 ( x1  x2 ).
Nên f ( x1 )  f ( x2 )  k.
Do hàm số f ( x ) là hàm số đồng biến nên từ x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) mâu thuẫn với
f ( x1 )  f ( x2 )  k . Chứng tỏ giả sử sai.

Vậy phương trình nếu có nghiệm sẽ có không quá một nghiệm.
Với trường hợp f ( x ) là hàm số nghịch biến ta chứng minh tương tự.

Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng

Trang 2


Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình

Tính chất 2: Nếu f ( x ) là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên (a;b)
f (u)  f (v), u, v  (a;b)  u  v .

Chứng minh
Xét trường hợp f ( x ) là hàm số đồng biến .
Nếu u  v  f (u )  f (v) (hiển nhiên).
Ta chứng minh nếu f (u )  f (v)  u  v .
Giả sử u  v ,không mất tính tổng quát giả sử u  v .
Do hàm số f ( x ) là hàm số đồng biến nên f (u )  f (v) Chứng tỏ giả sử sai.
vậy f (u)  f (v), u, v  (a;b)  u  v
Với trường hợp f ( x ) là hàm số nghịch biến ta chứng minh tương tự.
Tính chất 3: Nếu f ( x ) là hàm số đồng biến còn g ( x ) là hàm số nghịch biến trên


Trang 3


Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình

Nên hàm số f (t ) là hàm số đồng biến trên R
Khi đó (6.4)  f ( x )  f ( y)  x  y  x  log3 (1  2 x )  3x  2 x  1  0.
Xét g( x )  3 x  2 x  1, x 

1
.
2

Mà g '( x )  3 x ln3  2, g ''( x )  (3 x ln3)2  0,  x 

1
.
2

 g '( x ) là hàm số đồng biến và có đổi dấu vì :

g '(2)  9 ln3  2  0, g '(0)  ln3  2  0.
 g '( x )  0 có nghiệm duy nhất x   .

Ta có bảng biến thiên

x

-1/2



(6.5)
x  x  x  1 0
 x  x  1  x
Điều kiện: 

2
2


x  1  x  x  1 0
 x  x  1   x  1.(6.6)

Giải (6.5):
Nếu

x  0  (6.5) luôn đúng.

Nếu x  0  (6.5)  x2  x  1  x2  x  1  0  x  1
 x0

Chứng tỏ (6.5) đúng x  .
Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng

Trang 4


Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình


x  x  5  x  7  x  16  14 .
Giải:
Điều kiên: x  5.
Xét hàm số f ( x )  x  x  5  x  7  x  16 trên x  5.
Ta có : f '( x ) 

1
2 x



1
1
1


 0, x  5.
2 x  5 2 x  7 2 x  16

Hàm số f ( x ) đồng biến trên (5; ).
Có f (9)  3  2  4  5  14  f ( x )  f (9)  x  9.
Vậy pt có nghiệm duy nhất x  9 .
Ví dụ 4: Giải pt:

Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng

Trang 5


Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình

(6.8)  f ( x )  f ( y)  x  y  x  log2 (3x  1)  2 x  3x  1  0.

Xét hàm số g( x )  2 x  3x  1, g '( x )  2 x ln2  3.
Ta có : g '( x )  0  x  x 0  log 2 (

3
).
ln 2

Mà g '( x )  0  x  x0 , g '( x )  0  x  x0 .
Nên hàm số g ( x ) nghịch biến trên (; x0 ) , đồng biến trên (; x0 ).
Do đó pt g( x )  0 có không quá 2 nghiệm trên R .
Mà g(0)  g(1)  0. Kết hợp với điều kiện được x  1 là nghiệm duy nhất của pt đã
cho.
Ví dụ 5: Giải pt:
7x 1  6log7 (6 x  5)  5 .

Giải:

5
Điều kiện: x  .
6
Đặt log7 (6 x  5)  y  1.

Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng

Trang 6


Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình

 (6.17)  f ( x )  f ( y )  x  y  7 x 1  6 x  5  7 x 1  6 x  5  0.
5
Xét hàm số g( x )  7 x 1  6 x  5, x  .
6
5
Ta có g '( x )  7t 1 ln 7  6, g ''( x )  (7t 1 ln 7)2  0, x  .
6

5
 g '( x ) đồng biến trên ( ;  ) .
6

1
Mà g '(0)  ln 7  6  0, g '(2)  7ln 7  6  0.
7
 g '( x )  0 có duy nhất 1 nghiệm x   .

Ta có bảng biến thiên

x

5/6



0

2



Ta có :

maxf(x)

= 0 ; min f(x) = - 1

[0 ; 1]

[0; 1]

Vậy với 1 m0 thì pt đã cho có nghiệm trên [0;1].
ví dụ 7: Tìm m để pt sau có nghiệm
x  1  3  x  ( x  1)(3  x)  m

Giải :

x  1  3  x thì 2  t  2 2

Đặt t =

+ Khi đó pt trở thành:

t2
f(x) =   t  2  m
2
Lập bảng biến thiên của f(t) với 2  t  2 2

min f (t )  2 2  2
[2;2 2 ]


t2

t2  t  2
Đặt f t  
t2
Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng

Trang 8


Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình





Lập bảng biến thiên của hàm số f t  trên 0; 2 .
Ta có: f t  

 t 2  4t
t  22

t=0
f t   0  t=-4

Bảng biến thiên:
t

-4
0

2. Bất pt dạng :

f(x)  h(m) nghiệm đúng xD

<=> hm  min f ( x)
D
3. Bất pt dạng :

f(x)  h(m) vô nghiệm trên D

<=> hm  max f ( x)
D
4. Bất pt dạng

h(m) > f(x) có nghiệm trên D <=> hm  min f ( x)
D

Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng

Trang 9


Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình

5. Bất pt dạng :

h(m)> f(x) nghiệm đúng xD

<=> hm  max f ( x)
D


 0, x  .
7
2 7x  7 2 7x  6

6
Do đó hàm số f ( x ) đồng biến trên ( ; ).
7
Mà f (6)  0  x  6 là nghiệm duy nhất của f ( x )  0.
Khi đó (6.21)  f ( x )  f (6)  x  6.
Vậy bất pt đã cho có nghiệm

6
 x  6.
7

Ví dụ 10: Giải bất pt sau:
x 2  2 x  3  x 2  6 x  1  3  x  x  1.

(6.22)

Giải:
Điều kiện: 1  x  3.
Ta có (6.22)  x 2  2 x  3  x  1  x 2  6 x  1  3  x

 ( x  1)2  2  x  1  (3  x )2  2  3  x .

Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng

(6.23)

Để (*) có nghiệm thì m  max f ( x)
 1;4
Ta có: f  x  

1
1

 0, x   1;4 .
2 x 1 2 4  x

Vậy để bất phương trình có nghiệm thì m  max f ( x)  f 4  5 .
1;4
Ví dụ 12: Tìm điều kiện của m để pt mx4 – 4x + m  0 nghiệm đúng xR
Giải :
Bất pt  m 

4x
 g ( x)
4
x 1

Xét hàm số
g(x) =

4x
;
x4 1

Ta có : max g ( x)  4 27
R

4

Bất pt trở thành : t2 + 4t – 5  0  - 5  t  t
Kết hợp với t  0 Ta có : 0  t  1
0  log ( x 2  2 x  m)  1
4

Suy ra :

 x 2  2 x  m  1
 2
 x  2 x  m  4
x 2  2x  1  m


x 2  2x  4  m

Bất pt nghiệm đúng x  [0; 2] khi và chỉ khi
min ( x 2  2 x)  1  m
[0;2]

y
max ( x 2  2 x)  4  m
[0;2]
1  1 m



(Xem hình bên)
0  4m

Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng

Trang 12


Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình

Bài 5. Tìm các giá trị của m để pt sau có nghiệm thực:
3 x  1  m x  1  24 x 2  1

(ĐH Khối A-2007)
Bài 6. Tìm m để bất pt x3 -2x|x-2| - m2 - 20m 0 có nghiệm trên [0;3] .
III. Kết luận:
Trải qua thực tiễn giảng dạy nội dung liên quan đến chuyên đề, với sự góp ý của
đồng nghiệp, vận dụng chuyên đề vào giảng dạy đã thu được một số kết quả sau:
1. Học sinh có thể vận dụng được các kết quả cơ bản của chuyên đề vào giải phương
trình và bất phương trình.
2. Tạo hứng thú cho học sinh khi học các bài toán về giải phương trình và bất
phương trình.
3. Qua đề tài này giáo viên có thể xây dựng được các bài toán về giải phương trình và
bất phương trình.
4. Đề tài nhằm phục vụ cho các đối tượng học sinh trung bình, khá và giỏi.
Bên cạnh những kết quả thu được chuyên đề còn nhiều hạn chế và thiếu sót.
Kính mong được sự đóng góp của các đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Nghĩa Hưng, ngày 08 tháng 02 năm 2011
Người viết
Vũ Thị Trang

CƠ QUAN ĐƠN VỊ

Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình

1. Danh mục sách tham khảo :
+ Sách giáo khoa giải tích lớp 12
+ Sách rèn luyện giải toán giải tích 12 – NXB Giáo Dục
+ Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán giải tích
lớp 12 – NXB – ĐH QG HN
+ Giáo trình đại học - Trường đại học sư phạm

Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng

Trang 15