I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Luật Giáo dục nước cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam (2005) quy
định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác,
chủ động, sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học;
bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực
tiễn”. Như vậy, quan điểm chung về hướng đổi mới PPDH đã được khẳng định,
không còn là vấn đề tranh luận và càng thấy cấp thiết hơn đối với kì thi THPT
quốc gia lần đầu tiên đươc tổ chức trong năm học này. Cốt lõi của việc đổi mới
PPDH môn Toán ở trường THPT là làm cho HS học tập tích cực, chủ động,
chống lại thói quen học tập thụ động. Phải làm sao trong mỗi tiết học HS được
suy nghĩ nhiều hơn, thảo luận nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn.
Trong dạy học môn Toán, tư duy sáng tạo của HS phần lớn được hình
thành trong quá trình giải toán, thông qua hoạt động này HS phải hoạt động tích
cực để tự chiếm lĩnh tri thức cho bản thân. Cơ sở để học sinh hoạt động chính là
những tri thức và kinh nghiệm đã có. Đứng trước một vấn đề đặt ra trong vốn tri
thức mà bản thân đã có, đã tích luỹ được việc lựa chọn tri thức nào, sử dụng ra
làm sao luôn luôn là những câu hỏi lớn, mà việc trả lời được những câu hỏi đó là
mấu chốt trong việc giải quyết vấn đề. Việc tìm ra lời giải một bài toán nhiều
khi không phải là quá khó, nhưng thực ra sau mỗi bài toán có biết bao điều lí
thú. Nếu chúng ta không biết khơi dậy ở học sinh óc tò mò, sự tìm tòi khám phá
những gì ẩn sau mỗi bài toán mà chỉ giải xong bài toán là kết thúc thì việc dạy
học trở nên nhạt nhẽo. Điều quan trọng là nếu sau mỗi bài toán chúng ta tìm
được nhiều cách giải khác nhau cho bài toán, xây dựng được chuỗi bài toán gốc
liên quan từ dễ đến khó thì có thể rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho học
sinh, đồng thời kiến thức sẽ được mở rộng hơn, hệ thống hơn.
Trong tác phẩm nổi tiếng “Giải bài toán như thế nào ?”, G.Polya cho rằng:
“Ví như dòng sông nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài toán dù
khó đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán đơn giản, có khi rất quen
thuộc đối với chúng ta”. Vì vậy, G.Polya đã nói rằng: Thật khó mà đề ra được
một bài toán mới, không giống chút nào với bài toán khác, hay là không có một
điểm nào chung với một bài toán trước đó đã giải. Vì vậy , trong dạy học toán


hoạch giải bài toán, hành động thực hiện giải bài toán, kiểm tra đánh giá tiến
trình giải bài toán, hành động thu nhận kiến thức mới do bài toán đem lại.
Ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động Toán học cho học sinh
trong đó giải toán là hình thức chủ yếu. Do vậy dạy bài tập toán có vị trí quan
trọng trong dạy học Toán nhằm đạt nhiều mục đích khác nhau thể hiện ở các
chức năng:
* Chức năng dạy học:
- Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo những vấn đề lí thuyết đã
học. Qua đó học sinh hiểu sâu hơn và biết vận dụng những kiến thức đã học vào
việc giải quyết các tình huống cụ thể.
- Có khi bài tập lại là một định lí, mà vì lí do nào đó không đưa vào lí thuyết.
Cho nên qua việc giải bài tập học sinh mở rộng được tầm hiểu biết của mình.
* Chức năng giáo dục: Qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh thế
giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức
của người lao động mới.
* Chức năng phát triển: Bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy cho học
sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất
của tư duy khoa học.
*, Chức năng kiểm tra: Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học,
đánh giá khả năng độc lập học Toán và trình độ phát trển của học sinh.
1.2.2 Bài toán gốc.
Bài toán gốc có thể hiểu là bài toán tương đối dễ, chỉ nhằm củng cố vận
dụng kiến thức, kỹ năng đã học ở mức độ đơn giản. Đồng thời bài toán gốc phải
thỏa mãn một trong ba điều kiện sau:
- Kết quả bài toán được sử dụng nhiều trong việc tìm tòi lời giải các bài
toán khác.
- Phương pháp giải bài toán được sử dụng nhiều trong việc tìm tòi lời giải
các bài toán khác.
- Nếu thay đổi (một phần) giả thiết hoặc kết luận thì được bài toán mới.

tập cơ bản, nhằm cũng cố kiến thức cho HS sau mỗi giờ học lí thuyết. Bài tập
SGK cũng chứa đựng nội dung kiến thức quan trọng, qua đó có thể mở rộng,
xây dựng được hệ thống các bài toán mới.
Đối với HS
+ HS chỉ có thể lĩnh hội được kiến thức nếu có một nền tảng kiến thức
vững vàng và khả năng sử dụng kiến thức đó vào việc giải thích, chứng minh hay
tìm tòi, phát hiện kiến thức mới. Trong khi đó tình trạng phổ biến của học sinh
hiện nay là kiến thức rất “mơ màng”. Chất lượng đại trà của HS còn yếu, số HS
tự mình tìm tòi kiến thức mới và giải quyết được vấn đề không nhiều. Do đó
việc kiến tạo nên hệ thống tri thức mới trên nền tri thức cũ bị hạn chế
+ Trong quá giải bài tâp toán, HS thường yếu trong việc chuyển đổi ngôn
ngữ để quy lạ về quen. Dẫn đến, việc vận dụng và phát triển tri thức gặp khó
khăn. Đồng thời sẽ dẫn đến những sai lầm rất dễ mắc phải.
+ Đa số học sinh học sinh thường có thói quen giải xong một bài toán xem
như là mình đã hoàn thành công việc được giao và dừng lại ở đó, ít có em học
sinh nào biết chủ động, khai thác, tìm tòi, suy nghĩ, vận dụng nó để giải một số
bài toán khác. Với những kiến thức đó thì chưa đủ để HS giải các bài toán nâng
cao, bài toán khó. Khi đứng trước một bài toán nâng cao HS thường gặp lúng
túng ko định hướng được cách giải, không hình dung ra hướng giải quyết.
+ HS chưa biết cách chọn lọc các kiến thức, không thể liên kết những kiến
thức cũ liên quan với vấn đề đặt ra hoặc không biết cách vận dụng kiến thức cũ
vào vấn đề mới như thế nào do đó ảnh hưởng lớn đến việc phát hiện và giải
quyết vấn đề. Điều này hạn chế đến việc huy động vốn kiến thức của HS, hạn
chế đến việc phát triển tư duy của HS trong học tập.
Đối với GV
Thời gian học tập của HS ở trên lớp còn hạn chế so với khối lượng tri
thức cần truyền đạt. Kế hoạch dạy học phải theo phân phối chương trình nên nếu
dạy học môn Toán lớp 10 nói chung, dạy học Hình học 10 nói riêng theo hướng
4


3. Các biện pháp tổ chức thực hiện
3.1. Phát hiện và vận dụng bài toán gốc nhằm khắc sâu khái niệm.
Khái niệm là một hình thức của tư duy trừu tượng, phản ánh những mối
liên hệ và thuộc tính bản chất, phổ biến của một tập hợp các sự vật, hiện tượng
nào đó. Khái niệm đóng vài trò quan trọng trong tư duy khoa học nói chung,
môn toán nói riêng. Dạy học khái niệm là một trong những tình huống dạy học
điển hình, một khái niệm sau khi đã được học thường có những hoạt động củng
cố như: Nhận dạng và thể hiện, hoạt động ngôn ngữ, khái quát hoá, tương tự
hoá, đặc biệt hoá và hệ thống hoá những khái niệm đã học. Chính vì ý nghĩa và
tầm quan trọng đó của việc dạy học khái niệm mà GV cần phải quan tâm nhiều
đến việc đổi mới phương pháp dạy học để học sinh có động lực phát hiện, khắc
sâu khái niệm bằng chính thực lực của mình. Một trong những cách thức như
vậy chính là việc xây dựng bài toán sau đó phát triển thành chuỗi bài toán để
khắc sâu khái niệm sẽ góp phần nâng cao được các hoạt động củng cố khái
5


niệm. Chuỗi bài toán đóng vai trò là “cầu nối” các khái niệm, với các bài toán
mức độ khó khăn cao dần. Việc giải được các bài toán trong chuỗi sẽ tạo lập
được ở HS thói quen độc lập suy nghĩ, giúp các em có cách nhìn các khái niệm
toán học một cách có chiều sâu, có hệ thống, điều đó góp phần nâng cao chất
lượng học tập của các em.
Việc học tập để khắc sâu khái niệm có thể được thể hiện theo quy trình
sau:

Khái
niệm

Các
dạng

các câu hỏi:
+ Điểm G có tính chất gì?
+ Nếu gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AB, CA thì các em
có được điều gì?
+ Thử vận dụng quy tắc 3 điểm và quy tắc hình bình hành?
HS đã dễ dàng giải được bài toán trên, cụ thể lời giải như sau:
3

uuuu
r uuur

uuuu
r

Lời giải: Ta có: GA + GB + GC = ( MA + PB + NC ) (với M, N, P lần
2
lượt là trung điểm của BC, AB, AC)
1
mà MA = MB + BA = CB + BA
2
1
PB = PC + CB = AC + CB
2

A
N

P

G

để học sinh tìm ra các bài toán khác. Trong thực tiễn dạy học tôi đã đặt vấn đề:
Giả thiết của Bài toán1.2 có thể viết dưới dạng M là điểm thuộc đoạn AB thoả
mãn MA = MB. Thay đổi giả thiết này để có bài toán mới?
Câu trả lời mong đợi ở HS là việc tìm ra bài toán sau:
Bài toán 1.3: Cho đoạn thẳng AB, M là một điểm thuộc đoạn AB sao cho
MA=kMB (k là số thực). CMR MA + k MB = 0 .(Với bài toán trên k = 1)
Thông qua việc phát triển bài toán gốc để HS phát hiện các bài toán liên
quan thì GV không chỉ giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu khái niệm vectơ –
không mà còn giúp HS hình thành thói quen tư duy tích cực, không ngừng phát
hiện tìm tòi cái mới. Tiếp tục đặt vấn đề: Quay trở lại với ví dụ ban đầu, nếu ta
gọi I là trung điểm của AM các em có được điều gì? ( AM = 2 IM ). Từ đó giáo
viên giúp HS tìm được bài toán mới:
Bài toán 1.4: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC, I là trung điểm
của AM. Chứng minh rằng 2 IA + IB + IC = 0 .
Tổng quát bài toán 1.4 ta có:
Bài toán 1.5: Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc BC, I là điểm thuộc
đoạn AM thoả mãn MB = kMC và IA = hIM . CMR :
(k + 1) IA + h IB + hk IC = 0 .
Tùy theo từng đối tượng HS mà GV có thể phát triển, mở rộng bài toán
gốc ở những mức độ khác nhau. Đối với những đối tượng HS khá giỏi để phát
triển tư duy sáng tạo cho họ cần thiết GV phải khuyến khích, yêu cầu và định
hướng để HS tìm được những bài toán nâng cao có liên quan đến bài toán gốc.
Chẳng hạn từ Bài toán 1 tiếp tục khai thác theo hướng tìm điểm chia các cạnh
AB, BC theo một tỷ số khác để có các bài toán nâng cao mới:
NC = NA + AC =

7


Bài toán 1.6: (Bài toán nâng cao): Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc

niệm,
định
lý

Dạng
toán
ứng
dụng

Quy
trình
giải

Xây dựng các
bài tập gốc
vận dụng quy
trình

Các
bài
toán
nâng
cao

Chúng ta muốn học sinh nắm được các hệ thống định lý và những mối liên
hệ giữa chúng, từ đó có khả năng vận dụng định lí vào các hoạt động giải Toán
cũng như giải quyết các vấn đề trong thực tiễn. Vì vậy trong quá trình dạy học
định lí chúng ta phải chú ý tới việc xem xét các định lý trong mối liên hệ với các
đối tượng và định lý khác. Phải luôn đặt nó trong những mối quan hệ để thấy
được nguồn gốc ra đời, điều kiện tồn tại và ý nghĩa thực tiễn của nó.

2bc
2ac
2ba
Tiếp tục đặt vấn đề phát triển ta có các bài toán sau đây:
Bài toán 2.2. (Bài toán về nhận dạng tam giác) Cho tam giác ABC có độ
dài ba cạnh AB = c, BC = a, CA = b hãy tìm điều kiện cần và đủ để tam giác đó
là tam giác tù, nhọn hay vuông?
Tóm tắt lời giải: Cho phép ta xét góc A (hoặc B, C) nhọn, vuông hay tù
thông qua các cạnh của tam giác. Cụ thể:
A nhọn ⇔ b2 + c2 > a2 ; A tù ⇔ b2+ c2 < a2; A vuông ⇔ b2 + c2 = a2(hệ quả 2)
b 2 + c 2 > a 2
 2
2
2
∆ ABC có 3 góc nhọn ⇔ a + c > b (I)
b 2 + a 2 > c 2

∆ ABC có góc tù

b 2 + c 2 < a 2

⇔ a 2 + c 2 < b 2 (II)

b 2 + a 2 < c 2


∆ ABC vuông

b 2 + c 2 = a 2


nhiên trong quá trình dạy học giáo viên vẫn có thể giúp HS tự tìm ra bài toán từ
Bài toán 2.1.
Tương tự như ở Bài toán 2.4 HS dễ dàng nhận thấy được:
b = a.cosC + c.cosA ; c = b.cosA + a.cosB
GV tiếp tục đặt vấn đề: Hãy cộng các đẳng thức trên và biến đổi và biến
đổi để có được các bài toán mới?
Bằng các câu hỏi phù hợp với đối tượng HS kết hợp với sự hướng dẫn, gợi
mở GV có thể giúp HS tìm ra hàng loạt bài toán có liên quan. Hoặc nếu gặp một
bài toán liên quan HS có thể dễ dàng trong việc liên hệ giữa chúng với những
bài toán nêu trên. Sau đây là những bài toán mới GV mong muốn HS tìm ra
hoặc liên hệ được với bài toán gốc để tìm ra cách giải:
Bài toán 2.5: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
a/ a + b + c = (b + c)cosA + (c + a)cosB + (a + b)cosC.
b/ b(cosA + cosC) + c(cosB + cosA) = a + b + c - a(cosB + cosC)
Bài toán 2.6: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
a. a2 + b2 + c2 = 2abcosC + 2bccosA + 2cacosB.
b. 2abc(cosA + cosB) = (a + c - b)(b + c - a) (a+b).
c. abc(cosA + cosB + cosC) - a2(p - a) = b2(p - b) + c2(p - c).
d. bc(b2 - c2)cosA + ac(c2 - a2)cosB + ab(a2 - b2)cosC = 0.
Dạng 2: Nhận dạng tam giác
Từ Bài toán 2.2 GV có thể đưa ra hoặc giúp học sinh tìm ra các bài toán nâng
cao sau:
Bài toán 2.7: Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam
giác ABC và a5 = b5+c5. CMR tam giác ABC nhọn.
GV tiếp tục đặt vấn đề để HS tìm được hay giải được bài toán tổng quát:
Bài toán 2.8: Cho an = bn + cn. CMR tam giác ABC nhọn với a, b, c là 3
cạnh của tam giác ABC, n ≥ 3.
Dạng 3: Các bài toán liên quan tới độ dài các đoạn thẳng.

10

Bài toán 2.12: Cho tam giác ABC có BC = a, AB = c, AC = b trên cạnh
DB 1
= . Chứng minh rằng :
BC lấy điểm D sao cho
DC k
k
k
k
AC 2 +
AB 2 −
BC 2 .
AD2 =
2
k +1
k +1
( k + 1)
Trên đây là một vài khai thác từ định lý hàm số cosin bằng việc vận dụng
và phát triển bài toán gốc ở nhiều góc độ khác nhau ta đã thu được những dạng
toán, bài toán khác nhau, điều này cho thấy được sự hấp dẫn của toán học. Như
vậy định lý hàm số cosin có thể xem như một gốc cây mà từ đó đẻ ra nhiều
nhánh cây, cành cây khác để được một cây hoàn chỉnh.
Như vậy trong dạy học định lý GV cần phải biết khéo léo đặt vấn đề, gợi
mở, dẫn dắt để học sinh luôn tư duy liên hệ giữa định lý đã học với bài toán hiện
tại, với những bài toán liên quan khác. Quá trình tư duy đó được phát triển chắc
chắn sẽ đồng nghĩa với tính sáng tạo, hiệu quả trong học tập của HS ngày càng
được nâng cao.
3.3. Phát hiện và vận dụng bài toán gốc trong dạy học giải bài tập
Trong trường phổ thông có thể xem việc giải bài tập là hình thức chủ yếu
của hoạt động toán học đối với HS. Các bài toán là một phương tiện không thể
thay thế được trong quá trình giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình


 y + z ≥ 2 yz > 0 . Suy ra: ( x + y )( y + z )( z + x) ≥ 8 xyz

z + x ≥ 2 zx > 0



(đpcm).

+
Sau khi HS đã giải được bài toán để rèn luyện tư duy sáng tạo cho HS giáo
viên có thể định hướng để HS phát hiện, tìm cách giải được các bài toán liên
quan. Chẳng hạn có thể đặt vấn đề: Nếu ta đặt x = a + b - c; y = b + c – a; z = c
+ a – b với a, b, c là 3 cạnh của một tam giác thì bài toán trên sẽ trở thành bài
toán nào? HS tư duy để trả lời câu hỏi của GV và kết quả mong muốn là họ tìm
được bài toán mới:
Bài toán 3.1: “Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng
minh rằng: abc ≥ (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) ” (2)
Tiếp tục đặt vấn đề: Ta thử “đi tìm” cách chứng minh bài toán 3.1 khi a, b,
c là ba số dương và không là ba cạnh của một tam giác. Giả sử a, b, c không là
ba cạnh của một tam giác khi đó xảy ra ba khả năng: a ≥ b + c; b ≥ c + a; c ≥ a + b
. Với a ≥ b + c ta có: a + b − c ≥ b + c + b − c = 2b > 0 ;
b + c − a ≤ b + c − b − c = 0 ; c + a − b ≥ c + b + c − b = 2c > 0 ⇒
( b + c − a ) ( c + a − b ) ( a + b − c ) ≤ 0 . Suy ra abc > 0 ≥ (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) .
Tương tự cho các trường hợp còn lại. Từ đó có được bài toán::
Bài toán 3.2: “Cho x, y, z là ba số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:
xyz ≥ ( y + z − x)( z + x − y )( x + y − z ) ” (3)

12


2
2
2
2
2
2
A− B
B −C
C−A
A
B
C
⇔ cos
cos
cos
≥ 8sin sin sin
2
2
2
2
2
2
Ta thu được bài toán sau:
Bài toán 3.3: “Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng:
A− B
B −C
C−A
A
B
C

B
C
C
A
A
B
C
(tan + tan )(tan + tan )(tan + tan ) ≥ 8tan tan tan
2
2
2
2
2
2
2
2
2
C
A
B
A
B
C
cos
cos
cos
sin sin sin
2
2
2

cos( A − B)cos( B − C )cos(C − A)
≥8
CMR:
cosA.c osB.cos C

13


Tiếp tục áp dụng Bài toán 1 cho ba số dương: p − a, p − b, p − c ; trong đó a, b, c
a+b+c
là ba cạnh của một tam giác và p =
ta có:
2
( p − a + p − b)( p − b + p − c)( p − c + p − a) ≥ 8( p − a)( p − b)( p − c)
⇔ abc ≥ 8( p − a)( p − b)( p − c) ≥ 16S 2
1
1
1
⇔ a 2 (b2 + c2 ) + b2 (c 2 + a 2 ) + c 2 (a 2 + b2 )
2
2
2

2 1
2
1
2 1
≥ 16S 2 + a2 ( b − c ) + b2 ( c − a ) + c2 ( a − b )
2
2

⇔ (ab)(bc) + (bc)(ca) + (ca)(ab) ≥ 16S 2 (*)
Ta áp dụng BĐT quen thuộc ( x + y + z ) 2 ≥ 3( xy + yz + zx) cho ba số dương
ab, bc, ca ta được BĐT ( ab + bc + ca ) 2 ≥ 3  (ab)(bc) + (bc)(ca) + (ca)(ab)  . Kết
hợp với (*) ta có ( ab + bc + ca ) 2 ≥ 48S 2 ⇔ ab + bc + ca ≥ 4 3S . Từ đó ta thu
được bài toán.
Bài toán 3.8: “Cho tam giác ABC có diện tích bằng S .
Đặt BC = a, CA = b, AB = c . Chứng minh bất đẳng thức: ab + bc + ca ≥ 4 3S ”.
Thêm một bước biến đổi cho BĐT thu được trong bài toán 3.8 như sau

14


ab + bc + ca ≥ 4 3S
2 1 
2 1
1
2
⇔  a 2 + b2 − ( a − b )  + b2 + c2 − ( b − c )  + c 2 + a 2 − ( c − a )  ≥ 4 3S
2

 2
 2
2 1
2 1
1
1
1
1
2
⇔ a 2 + b2 + b2 + c2 + c 2 + a 2 ≥ 4 3S + ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )

) (

) (

)

Kết hợp với Bài toán trên ta có BĐT:
2 1 
2
1
a 2b2 + b2c2 + c 2a 2 ≥ 16S 2 ⇔  a 4 + b4 − a 2 − b2  + b4 + c4 − b2 − c 2  +
2
 2


(



)



(



)



2
2 1
1
2
2
a + b) ( a − b) + ( b + c) ( b − c) + ( c + a) ( c − a )
(
2
2
2
Từ đó thu được bài toán sau:
Bài toán 3.10: “Cho tam giác ABC có diện tích bằng S . Đặt
BC = a, CA = b, AB = c . Chứng minh bất đẳng thức:
2
2 1
2
2 1
1
2
2
a 4 + b4 + c4 ≥ 16S 2 + ( a + b ) ( a − b ) + ( b + c ) ( b − c ) + ( c + a ) ( c − a ) ”.
2
2
2
Ví dụ 4: Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua vận dụng,
phát triển bài toán gốc (Bài toán 4):
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) có phương trình
x 2 + y 2 − 4x + 6y + 8 = 0 và điểm H= (4;1). Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường
⇔ a 4 + b4 + c 4 ≥ 16S 2 +


x = 3
⇔  2
⇔ 
 2
hoặc

2
 y = −5
 y = −1
 x + y − 4x + 6y + 8 = 0
 x − 4x + 3 = 0
Vậy đường thẳng d cắt đường tròn ( C ) tại hai điểm A = ( 1; −5 ) và B = ( 3; −1) .

Ta có:

AH =

BH =

( 4 − 3)

( 4 − 1)
2

2

+ ( 1 + 5 ) = 45 = 3 5 > IH
2

+ ( 1 + 1) = 5 < IH Suy ra, điểm B nằm giữa hai điểm A và H.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, gọi điểm M = ( a; b ) . Từ giả thiết,
a 2 + b 2 − 4a + 6b + 8 = 0 suy ra điểm M nằm trên đường tròn ( C ) có phương
trình: x 2 + y 2 − 4x + 6y + 8 = 0 .
Khi đó, ta có:

( a − 4)

2

2
+ ( b − 1) = HM với điểm H = ( 4;1) .

Áp dụng kết quả Bài toán 3.3.11, ta có:
BH ≤ MH ≤ AH tương đương với

5≤

( a − 4)

2

+ ( b − 1) ≤ 3 5
2

16


a = 3

,

2

+ ( b − 1) = 5
2

khi và chỉ khi

Thông qua hai ví dụ nêu trên một lần nữa khẳng định rằng các bài toán
không ngẫu nhiên xuất hiện, không tồn tại cô lập mà có liên hệ với nhiều bài
toán khác. Nhiều bài toán hình học đơn thuần có thể giải quyết bằng chuyển đổi
ngôn ngữ sang bài toán đại số và ngược lại. Chính vì vậy trong quá trình dạy học
GV cần không ngừng rèn luyện cho HS tư duy để liên hệ giữa các bài toán với
nhau, việc vận dụng khai thác, phát triển bài toán gốc chính là một hình thức
hữu hiệu để rèn luyện quá trình tư duy đó.
4. Kết quả thực nghiệm của đề tài
Tôi đã sử dụng đề tài nghiên cứu trên vào quá trình dạy học và đã đạt được
những kết quả tích cực ở cả hai mặt định tính và định lượng, cụ thể như sau:
4.1. Kết quả định tính
Về ý kiến của giáo viên dự giờ thực nghiệm:
- Đa số các giáo viên nhất trí với nội dung thực nghiệm, đặc biệt ủng hộ
các giải pháp và phương thức đã nêu trong đề tài. Các thấy cô đều đồng tình với
phương thức tổ chức dạy học định lí, khái niệm theo hướng vận dụng và phát
hiện bằng các phương pháp dạy học tích cực giúp học sinh hoạt động nhiều, học
tập tích cực, chủ động , sáng tạo, linh hoạt hơn. Các thấy cô rất đồng ý với cách
phát phiếu học tập cho từng nhóm học sinh với mục đích thể hiện sự hợp tác tạo
mỗi tương tác cho các em học tập hiệu quả hơn.
Về ý kiến của học sinh ở lớp dạy thực nghiệm:
Qua quan sát bằng phiếu điều tra sau mỗi tiết dạy thực nghiệm đối với
HS, tôi rút ra những ý kiến phản hồi từ phía các em về: nội dung bài học; lượng
kiến thức; mức độ tiếp thu bài học; đề xuất ý kiến cho tiết dạy tiếp theo như sau:

với trò được trả lời bằng các phiếu trắc nghiệm và khả năng suy luận của bản thân.
- Học sinh tự học, tự nghiên cứu ở nhà thuận lợi hơn: điều này được giải
thích là do trong các tiết học ở trên lớp , giáo viên đó quan tâm tới việc hướng
dẫn học sinh tổ chức việc tự học, tự nghiên cứu ở nhà.
- Học sinh tham gia vào bài học sôi nổi hơn, mạnh dạn hơn trong việc
bộc lộ kiến thức của chính mình: điều này là do trong quá trình dạy học, giáo
viên yêu cầu học sinh phải tự phát hiện và tự giải quyết một số vấn đề; tự khám
phá và tự kiến tạo một số kiến thức mới, học sinh được tự thảo luận với nhau và
được tự trình bày kết quả làm được.
4.2. Kết quả định lượng
Trong năm học 2014 - 2015 tôi đã tiến hành thực nghiệm nhằm đánh giá
hiệu quả của đề tài tại lớp 10C6 và lớp 10C7 - Trường THPT Yên Định 2. Kết
quả học tập môn Toán của hai lớp là tương đương (đánh giá qua quá trình trực
tiếp giảng dạy). Cụ thể tôi tiến hành dạy ôn tập chủ đề tự chọn (3 tiết) cho học
sinh hai lớp 10C6 và 10C7. Tôi chọn lớp 10C7 làm lớp dạy học thực nghiệm (sử
dụng đề tài), lớp 10C6 làm lớp dạy học đối chứng (không sử dụng đề tài). Sau
khi dạy thực nghiệm và đối chứng tôi tiến hành cho học sinh hai lớp làm bài
kiểm tra 45 phút và đã thu được kết quả thống kê theo bảng sau:
Lớp
Sĩ
Giỏi
Khá
Trung bình Yếu
Kém
số
SL
%
SL
%
SL %

- Nêu bật lên được vai trò của bài toán gốc đối với dạy học bộ môn toán nói
chung, dạy học môn toán lớp 10 nói riêng.
- Làm rõ cơ sở lý luận và thực tiễn của việc phát hiện và vận dụng các bài
toán mới, chuổi bài toán thông qua việc khai thác bài toán gốc ở trường THPT.
- Đã minh chứng bằng những ví dụ cụ thể về việc vận dụng, phát triển bài
toán gốc có liên quan chặt chẽ đến việc rèn luyện, phát triển tư duy sáng tạo cho
học sinh.
- Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả của
những biện pháp được đề xuất.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong việc nghiên cứu, thực hành rồi hoàn
thành đề tài song đề tài chắc chắn không tránh khỏi những thiếu xót. Tôi rất
mong các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp góp ý để tôi hoàn thiện hơn đề tài
của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 15/5/2015
Tôi xin cam đoan đây là SKKN
của tôi không sao chép nội dung
của người khác.
Tác giả
Trịnh Thị Huê

19


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]

[6]


[5]

Thụy, Nguyễn Văn Thường (1994), Phương pháp dạy học môn toán (dạy học
[10]

những nội dung cơ bản), Nxb Giáo dục, Hà Nội.
Phan Trọng Ngọ (2005), Dạy học và phương pháp dạy học trong nhà trường,

[11]
[12]
[13]
[14]

Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.
Polya G. (1997), Giải một bài toán như thế nào, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
Polya.G (1997), Sáng tạo toán học, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
Polya.G (1995), Toán học và những suy luận có lí, Nxb Giáo dục, Hà Nội..
Đào Tam (2005), Phương pháp dạy học hình học ở trường trung học phổ thông,

[15]

Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.
Vũ Tuấn(chủ biên), Đoàn Minh Cường, Trần Văn Hạo, Đỗ Mạnh Hùng, Phạm

20


Phu, Nguyễn Tiến Tài, Bài tập đại số 10, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
.


GV
VD
PPDH
PPGD

VIẾT ĐẦY ĐỦ
Trung học phổ thông
Học sinh
Giáo viên
Ví dụ
Ph¬ng ph¸p d¹y häc
Ph¬ng ph¸p gi¸o dôc

21


BPSP
DH
ĐC
GQVĐ
GV
HĐ
HS
KN
NL
PB
PH
PPDH
QLTK
SGK