SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK
TRƯỜNG THPT TRẦN ĐẠI NGHĨA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC CHỦ ĐỘNG
CỦA HỌC SINH KHI HỌC MÔN TOÁN
BẰNG CÁC VÍ DỤ THỰC TIỄN VÀ LIÊN MÔN

Giáo viên thực hiện: Trần Ngọc Lam
Tổ bộ môn: Toán

Buôn Đôn-Tháng 3 năm 2015


Mục lục

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài. . . . . . . . .
1.2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài.
1.3. Đối tượng nghiên cứu. . . . . .
1.4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu. .
1.5. Phương pháp nghiên cứu. . . .

1

.
.
.
.
.

11
15
18
19
20
25
26
27
31
31
31
31

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.


.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

2.6.3. Điều kiện thực hiện giải pháp, biện pháp . . . . . . . .
2.6.4. Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên
cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phần kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Trang 3

.
.
.
.

31
31
31
32

. 32
. 33
. 34


Chương 1
PHẦN MỞ ĐẦU

1.1.

Lý do chọn đề tài.


- Sử dụng nội dung chương trình được giảng dạy đối tượng học sinh các
khối lớp phổ thông,

1.4.

Giới hạn phạm vi nghiên cứu.

- Sử dụng các kiến thức trong sách giáo khoa phổ thông hiện hành.
- Sử dụng một số kiến thức tổng hợp tích hợp từ các môn học khác.
- Khi sử dụng đề tài trong giảng dạy cần xác định rõ nên áp dụng kiến
thức cho phù hợp.

1.5.

Phương pháp nghiên cứu.

- Nghiên cứu chuẩn kiến thức và kỹ năng về chương trình Toán trung học
phổ thông do Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành.
- Nghiên cứu các tư liệu, các bài viết có liên quan của các đồng nghiệp;
- Tổng hợp các kiến thức, các kĩ năng cơ bản thường dùng trong các bài
toán cơ bản thường gặp.
- Tổng hợp các kinh nghiệm có được trên cơ sở thực tế giảng dạy.

Trang 5


Chương 2
MỘT SỐ VÍ DỤ THỰC TIỄN KHI DẠY
HỌC TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG



Hàm số là một khái niệm tương đối khó hình dung nếu chỉ đọc định nghĩa
một cách đơn thuần. Ở chương trình phổ thông, khái niệm hàm số được định
nghĩa một cách rất toán học vì vậy khi dạy học chúng ta cần đưa khái niệm
hàm số đến với các em một cách tự nhiên bằng các ví dụ về thực tiễn. Về
tổng quát hàm số là trường hợp riêng của một ánh xạ đi từ tập X vào tập Y .
Trong đó tương ứng với một phần tử x ∈ X là một và chỉ một phần tử y ∈ Y .
Do đó, trong cuộc sống cứ 2 đối tượng có liên hệ với nhau ta có thể thiết lập
một ánh xạ và từ đó minh họa cho khái niệm hàm số.

Ví dụ 2.1. Đối với mỗi con người thì chúng ta có mối quan hệ giữa chiều cao
và độ tuổi. Với một người bất kỳ thì ứng với một độ tuổi nào đó sẽ xác định
một chiều cao nhất định. Khi đó chiều cao là một hàm số của độ tuổi. Nhưng
ngược lại, độ tuổi lại không là hàm số của chiều cao. Vì ứng với mỗi chiều cao
nào đó có thể có nhiều độ tuổi khác nhau. Chẳng hạn, với chiều cao là 1m50
có thể ứng với độ tuổi 20 hoặc 21.
Ví dụ 2.2. Trong một tiệm giải khát, thực đơn (menu) bao gồm các thức
uống và giá cả tương ứng của nó. Khi đó giá cả là một hàm số của thức uống
hay thức uống là một hàm số của giá cả? Ta có thể nói giá cả là một hàm số
của thức uống vì với mỗi thức uống cụ thể thì có duy nhất một đơn giá ứng
với nó. Ngược lại ta không thể nói thức uống là hàm số của giá cả vì có thể
có hai thức uống có cùng một đơn giá.
Hàm số có nhiều ứng dụng rộng rãi trong cuộc sống. Đặc biệt khi nghiên
cứu các vấn đề về kinh tế, xã hội thì các khái niệm về đồ thị, đạo hàm, tính
đơn điệu, tích phân... của hàm số sẽ cho thấy rõ tầm quan trọng khi nắm rõ
bản chất của nó.

Trang 7




Hình 2.1

Trang 8


2.2. Dạy học hàm số

Ví dụ 2.4. (Nhân chủng học) Mối quan hệ giữa chiều dài (length) xương đùi
(femur) và chiều cao(height) của người lớn có thể được xấp xỉ bởi các phương trình
tuyến tính:
y = 0, 432x − 10, 44 (đối với nữ) và y = 0, 449x − 12.15 (đối với nam)
với y là chiều dài xương đùi (đơn vị inch) và x là chiều cao của người lớn (đơn vị
inch).
a) Một nhà nhân chủng học của nước Anh phát hiện ra một xương đùi thuộc của
một phụ nữ có chiều dài là 16 inch (đơn vị đo chiều dài của nước Anh). Ước
tính chiều cao của phụ nữ đó.
b) Từ xương chân của một nam giới trưởng thành của con người, một nhà nhân
chủng học ước tính rằng chiều cao của người đó là 69 inch. Sau khi lấy thông tin
từ trang web nơi mà các xương bàn chân được phát hiện, các nhà nhân chủng
học phát hiện ra một nam giới trưởng thành có xương đùi là dài 19 inch. Liệu
có khả năng là xương bàn chân và xương đùi của cùng một người không ?

Hình 2.2
Lời giải.
a) Với chiều dài xương đùi của người phụ nữ là 16 inch ta có chiều cao của
người phụ nữ đó là nghiệm phương trình:
16 = 0, 432x − 10, 44 ⇒ 0, 432x = 26, 44 ⇒ x ≈ 61 inch.
b) Với chiều cao ước tính của nhà nhân chủng học là 69 inch thì chiều dài
xương đùi là: y(69) = 0, 449.69 − 12.15 = 18, 831 ≈ 19.

C(17) = 5, 9.17 − 9 = 91, 3 ngàn đồng.
c) Dựa vào hàm số ta thấy
• Nếu gia đình sử dụng tối đa 20m3 nước thì số tiền phải trả là:
C(20) = 5, 9.20 − 9 = 109 ngàn đồng.
• Do đó gia đình muốn chỉ phải trả tối đa 150 ngàn đồng tiền nước mỗi
tháng thì
1870
7, 3x − 37 = 150 ⇔ x =
≈ 25, 6 m3 . Vậy gia đình đó nên dùng
73
tối đa 25,6 m3 nước mỗi tháng.

Trang 10


2.2. Dạy học hàm số
2.2.2.

Hàm số bậc hai

Ví dụ 2.6. (Quản lý khách sạn) Một khách sạn có 50 phòng. Người quản lí
tính rằng nếu mỗi phòng cho thuê với giá 400 ngàn đồng một ngày thì tất cả các
phòng đều được thuê hết. Biết rằng cứ mỗi lần tăng giá thêm 20 ngàn đồng thì có
thêm 2 phòng trống. Hỏi người quản lí phải quyết định giá phòng là bao nhiêu để
thu nhập của khách sạn trong ngày là lớn nhất.
Lời giải.
Gọi x(ngàn đồng) là giá phòng khách sạn cần đặt ra.
Giá chênh lệch sau khi tăng x − 400.
x − 400
(x − 400) + 2

+

0

−

20250

f (x)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f (x) đạt giá trị lớn nhất khi x = 450.
Vậy nếu cho thuê với giá 450 ngàn đồng thì sẽ có
doanh
thu
cao
nhất
trong
ngày
là
2.025.000
đồng.
Ví dụ 2.7. (Du lịch) Công ty dụ lịch Ban Mê Tourirst dự định tổ chức một
tua xuyên Việt. Công ty dự định nếu giá tua là 2 triệu đồng thì sẽ có khoảng 150
người tham gia. Để kích thích mọi người tham gia, công ty quyết định giảm giá
và cứ mỗi lần giảm giá tua 100 ngàn đồng thì sẽ có thêm 20 người tham gia. Hỏi
công ty phải bán giá tua là bao nhiêu để doanh thu từ tua xuyên Việt là lớn nhất.
Lời giải.
Gọi x(triệu đồng) là giá tua.
Giá đã giảm so với ban đầu là 2 − x.
Số người tham gia tăng thêm nếu giá bán x là:

8

11
= 1, 375.
8
Vậy công ty cần đặt giá tua 1.375.000 đồng thì tổng doanh thu sẽ cao nhất là
378.125.000 đồng.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f (x) đạt giá trị lớn nhất khi x =

Nhận xét 2.1. Khi giảng dạy cho đối tượng học sinh lớp 10 chưa được học
về đạo hàm, giáo viên vẫn hướng dẫn các em lập bảng biến thiên của hàm số
bậc hai trên một khoảng mà không cần xét đạo hàm của hàm số đó.
Ví dụ 2.8. Một nhà đầu tư bất động sản ước tính rằng nếu 60 biệt thự được xây
dựng trong một diện tích thì lợi nhuận trung bình sẽ là 47 500 đôla/biệt thự. Cứ
mỗi biệt thự được xây thêm vào trên cùng diện tích đó, thì lợi nhuận trung bình
sẽ giảm 500 đôla/biệt thự. Nhà đầu tư nên xây dựng bao nhiêu biệt thự để tổng
lợi nhuận lớn nhất ? (Nhớ rằng, câu trả lời phải là số nguyên).
Lời giải.
Gọi x là số biệt thự được xây thêm và P(x) là hàm tổng lợi nhuận tương ứng
(đvt: trăm đôla).
Tổng lợi nhuận = (Lợi nhuận/biệt thự) (số biệt thự)
Suy ra: P (x) = (475 − 5x)(x + 60) = −5x2 + 175x + 28500.
Mục tiêu của bài toán là tìm GTLN của hàm P (x) với x ∈ N.
P (x) = −10x + 75. P (x) = 0 ⇔ x = 17, 5.
Lập bảng biến thiên ta sẽ dễ dàng tìm được M ax P (x) = P (17, 5).
x∈(0;+∞)

Vì x ∈ N nên P (x) đạt GTLN x = 17 hoặc x = 18.
Trang 12


t ≈ 93
⇔
t ≈ 137
Do 20 ≤ t ≤ 100 nên người đó có thể sinh năm 1993.

Ví dụ 2.10. (Sức khỏe) Trọng lượng trung bình y (tính theo đơn vị pound của
Anh) dành cho một nam giới trong độ tuổi từ 25 tuổi đến 59 tuổi có thể được xấp
xỉ bằng mô hình toán học
y = 0, 073x2 − 6, 99x + 289, 62 ≤ x ≤ 76
với x là chiều cao (tính theo đơn vị inch) tương ứng của người đó (Theo công ty
bảo hiểm Metropolitan Life)
a) Hãy lập một bảng giá trị về trọng lượng trung bình cho nam giới với các chiều
cao 62 , 64, 66, 68 , 70, 72 , 74 và 76 inch.
b) Một người đàn ông có cân nặng 148 pound. Dự đoán chiều cao của người đó.
Lời giải.
a) Bảng cân nặng tương ứng với chiều cao
Chiều cao
Cân nặng

62

64

66

68

70

72

⇒ x(180 − x) ≤ 8100
Do đó diện tích sân bóng lớn nhất là:
Smax = 8100 khi x = 180 − x ⇔ x = 90 ⇒ y = 90.

2.2.3.

Hàm số phân thức hữu tỉ

Hàm số phân thức hữu tỉ có khá nhiều ứng dụng trong cuộc sống khi xử lí
các về các vấn đề liên quan tới: sức khỏe, môi trường, phát triển dân số, công
nghiệp...
Ví dụ 2.12. (Ô nhiễm môi trường) Chi phí C (đơn vị tính bằng triệu USD)
của việc loại bỏ p% các chất thải công nghiệp gây ô nhiễm môi trường được cho
bởi công thức
255p
, 0 ≤ p < 100.
C=
100 − p
a) Tìm chi phí cần cho việc loại bỏ 10%, 40% và 75% chất thải công nghiệp.
b) Theo mô hình này, liệu có thể loại bỏ 100% chất thải công nghiệp không? Vì
sao
Lời giải.

Trang 15


2.2. Dạy học hàm số
a) Chi phí để loại bỏ 10%, 40% và 75% chất thải công nghiệp là:
85
255.10

Tổng chi phí = Chi phí lắp đặt + Chi phí vận hành.
400000
11520
.5, 76 = 80x +
200x
x
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số C(x) với x > 0.
C(x) = 80x +

11520
x2
x = 12
C (x) = 0 ⇔ x2 = 144 ⇔
x = −12
C (x) = 80 −

Bảng biến thiên Bảng biến thiên:
x

0
−

f (x)

+∞

12
0

+∞

50000
Chi phí đặt hàng mỗi năm là: (20 + 9x)
=
+ 22500 (2)
x
x
Từ (1) và (2) suy ra chi phí cho siêu thị là
C(x) = 5x +

5000
+ 22500
x

50000
x2
C (x) = 0 ⇔ 5x2 = 50000 ⇔ x2 = 10000 ⇔ x = 100, x = −100
C (x) = 5 −

Bảng biến thiên
x
f (x)

1

100
−

0

2500

Xét hàm số f (n) =
, n ∈ N ∗ . Ta có: f (n) =
.
n
n2
Theo giả thiết f (n) là hàm số nghịch biến nên
k − 1)
f (n) < 0 ⇔
⇔ k < 1 ⇔ k = 0.
n2
Vậy hidrocacbon đó phải no tức là Ankan. Chọn đáp án A.
Ta có:

2.2.4.

Hàm số mũ, hàm số lôgarit

Hàm mũ và logarit được sử dụng rộng rãi trong việc mô tả các
hiện tượng vật lý và kinh tế như tính lãi suất kép, tốc độ tăng
trưởng dân số, sự phân rã của chất phóng xạ. Ví dụ, một hàm số
lôgarit có thể được sử dụng để mô tả sự liên hệ giữa trọng lượng
của các loài động vật và tốc độ phi nước đại thấp nhất của nó.
Ví dụ 2.16. Người ta ước tính rằng nhu cầu về dầu tăng theo quy luật hàm số
mũ với tốc độ 10%/năm. Nếu hiện tại nhu cầu về dầu là 30 tỷ thùng/năm. Hỏi
nhu cầu về dầu sẽ là bao nhiêu trong 10 năm tới.
Lời giải. Nếu đại lượng Q(t) tăng theo hàm số mũ thì nó được xác định bởi
hàm số dạng Q(t) = Q0 ekt , trong đó Q0 và k là các hằng số dương. // Tốc độ
thay đổi của Q theo thời gian t là đạo hàm:
Q (t) = kQ0 ekt = kQ(t) ⇒


Giả sử số lượng còn lại sau t năm là y = 25
2
a) Khối lượng ban đầu của phóng xạ radium là bao nhiêu.
b) Tính khối lượng phóng xạ còn lại sau 2500 năm.
Lời giải.
0
1 1599
a) Khối lượng ban đầu của phóng xạ radium là: y(0) = 25
= 25(g)
2
b) Khối lượng phóng xạ còn lại sau 2500 năm là:
2500
1 1599
1
y = 25
≈ 25
2
2

2.2.5.

1,563

≈ 8, 46(g)

Hàm số căn thức

Ví dụ 2.18. (Đề thi PISA) Kết quả của sự nóng dần lên của trái đất là băng
tan trên các dòng sông bị đóng băng. Mười hai năm sau khi băng tan, những thực
vật nhỏ được gọi là Địa y bắt đầu phát triển trên đá. Mỗi nhóm Địa y phát triển


Tích phân là một trong những phát minh vô cùng quan trọng của Toán
học và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Tuy nhiên trong chương trình sách
giáo khoa lớp 12 hiện nay thì chưa có các ví dụ mô tả ứng dụng trực tiếp của
tích phân ngoài việc tính diện tích hình phẳng và thể tích của khối tròn xoay
của những hàm số một cách cách gượng ép.
Câu hỏi là, việc tính diện tích hình phẳng hay thể tích khối tròn xoay đó có
những ứng dụng thực tiễn như thế nào. Để trả lời câu hỏi này chúng ta có một
số lý thuyết cơ sở được xây dựng hết sức tự nhiên như sau:
1) Ta đã biết, với một đại lượng biến thiên s(t) thì tốc độ thay đổi (vận tốc)
của nó theo thời gian chính là s (t). Ngược lại, khi biết tốc độ thay đổi s (t)
của một đại lượng s(t) thì có thể suy ra mô hình hàm số biểu thị cho đường
đi của đại lượng đó bằng cách lấy nguyên hàm của s (t). Tức là
s(t) =

s (t)dt.

Kết hợp thêm các điều kiện ban đầu thích hợp để tìm ra s(t) một cách
chính xác.
2) Khi biết tốc độ thay đổi s (t) của một đại lượng s(t). Sự chênh lệch giá
trị của đại lượng s(t) trong khoảng thời gian từ a đến b được xác định bởi
công thức:
b

s(b) − s(a) =

s (t)dt.
a

Trang 20

=

(1 + 0, 2)t−2 dt = 15000(1 + 0, 2t)−1 + C
15000
+C
1 + 0, 2t

B(0) = 10000 ⇒ 15000 + C = 10000 ⇒ C = −5000
Số vi khuẩn sau 5 ngày sẽ là B(5) = 2500con/1ml.
Như vậy số lượng vi khuẩn đã vượt qua

2000

con/ml

nước.

Ví dụ 2.20. Tốc độ thay đổi của số lượng người V (tính bằng ngàn người) tham
gia công tác tình nguyện ở nước Mỹ từ năm 2000 đến năm 2006 có thể được mô
hình bởi hàm số
V (t) = 119, 85t2 − 30et + 37, 261e−t
với t là năm (t = 0 ứng với năm 2000). Hỏi số lượng người tham gia tình nguyện
trong giai đoạn trên tăng lên hay giảm đi với số lượng bao nhiêu.(Nguồn: Cục
thống kê lao động nước Mỹ).
Lời giải. Sự chênh lệch của số người tham gia tình nguyện trong giai đoạn từ

Trang 21


2.3. Dạy học nguyên hàm-tích phân

s (0) = 20 ⇒ C1 = 20
Do đó ta có: s (t) = −9, 8t + 20.
s(t) =

(−9, 8t + 20) dt = −9, 8t2 + 20t + C2
s(0) = 24 ⇒ C2 = 24

Vậy độ cao của quả bóng được cho bởi hàm số
s(t) = −9, 8t2 + 20t + 24

Ví dụ 2.22. (Dân số) Một nghiên cứu chỉ ra rằng sau x tháng kể từ bây
√
giờ, dân số của thành phố A sẽ tăng với tốc độ 10 + 2 2x + 1 người trên một
tháng. Dân số của thành phố sẽ tăng bao nhiêu trong 4 tháng tới.
Lời giải. Gọi f (x) là dân số của thành phố sau x tháng.
√
Tốc độ thay đổi của dân số là f (x) = 10 + 2 2x + 1.
Suy ra
√
√
f (x) =
10 + 2 2x + 1 dx = 10x + 2
2x + 1dx
Trang 22


2.3. Dạy học nguyên hàm-tích phân
3
1
1

a) Để tìm một mô hình cho số lượng các cặp đôi kết hôn ta tìm nguyên hàm
của f (t).
F (t) =

1, 218t2 − 44, 72t + 709, 1 dt

1, 218 3 44, 72 2
t −
t + 709, 1t + C
3
2
= 0, 406t3 − 22, 36t2 + 709, 1t + C

=

Số lượng các cặp đôi kết hôn vào năm 2005 là 59513 triệu người nên ta có
F (35) = 59513
⇔ 0, 406.353 − 22, 36.352 + 709, 1.35 + C = 59513
⇔ C = 44678, 25
Vậy một mô hình cần tìm là F (x) = 0, 406t3 − 22, 36t2 + 709, 1t + 44678, 25.

Trang 23


2.3. Dạy học nguyên hàm-tích phân

Hình 2.4 Bảng thống kê số lượng cặp đôi kết hôn nước Mỹ năm 2012
b) Số lượng các cặp đôi kết hôn vào năm 2012 là
F (42) = 65097, 138 triệu người


2
u
u
1 + 784e−0,193t
B(8) = 0, 04
160, 998
⇒−
+ C = 0, 04
1 + 784e−0,193.8
⇒ C = −0, 916
Trang 24


2.4. Một số ý tưởng thiết kế ví dụ dạy học các chủ đề khác
Do đó ta có hàm số cân nặng của bào thai là
B(t) = −

160, 998
− 0, 916, 8 ≤ t ≤ 43.
1 + 784e−0,193t

Cân nặng của bào thai sau 25 tuần tuổi là:
B(t) = −

160, 998
− 0, 916 ≈ 22, 08(ounce)
1 + 784e−0,193t

Ví dụ 2.25. Trong nghiên cứu khoa học, người ta sử dụng thể tích của một quả
trứng để xác định kích thước của nó là một cách dự báo khá tốt về các thành phần


Một số ý tưởng thiết kế ví dụ dạy học các chủ đề
khác

Do không có nhiều thời gian sưu tầm, thiết kế ví dụ nên tác giả mạnh dạn
đề xuất một số ví dụ gợi mở ý tưởng khi dạy học các chủ đề về toán tổ hợp,
Trang 25