I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài :
Trong dạy học toán nói chung, ở THCS nói riêng, giải toán có vị trí đặc
biệt quan trọng. Do vậy, việc dạy toán nói chung đã khó song việc nâng cao học
sinh giỏi môn toán lại càng khó hơn.
Dạng toán quy luật dãy số lớp 6 rèn luyện cho học sinh được đức tính và
phong cách làm việc trong khoa học như ý chí khắc phục và vượt qua khó khăn,
lòng say mê và tìm tòi, sáng tạo trong học tập. Đồng thời thông qua hoạt động
giải toán hình thành cho học sinh thói quen xét đoán vấn đề có căn cứ, làm việc
có kế hoạch, có kiểm tra kết quả cuối cùng, từng bước hình thành và rèn luyện
cho học sinh thói quen suy nghĩ độc lập, linh hoạt. Từ đó hình thành khả năng
trình bày, diễn đạt một vấn đề một cách chặt chẽ và mạch lạc.
Trong những năm qua việc giải toán tìm quy luật luôn tạo ra sự cuốn hút
và lòng say mê cho các thầy cô và các em nỗ lực hết sức trong việc dạy và học
môn toán. Đó là lý do tôi chọn đề tài: Rèn kỹ năng “ Giải toán tìm quy luật của
một dãy số ” cho học sinh lớp 6.
2. Mục đích của đề tài :
Tôi mong muốn tìm kiếm được nhiều tài liệu từ các nguồn khác nhau,
nghiên cứu kỹ càng các tài liệu đó và trình bày lại các kiến thức trong sáng kiến
kinh nghiệm này thành một thể khép kín, và hi vọng có thể sử dụng như một tài
liệu tham khảo cho học sinh và giáo viên.
Nội dung trong đề tài cung cấp một số công thức cơ bản và kĩ thuật áp dụng
các công thức đó vào các bài tập ví dụ minh họa.
3. Phạm vi và đối tượng của đề tài :
a. Phạm vi nghiên cứu :
Nghiên cứu từ các tài liệu, các giáo trình về quy luật dãy số của các tác giả
liên quan.
b. Đối tượng nghiên cứu :
Nghiên cứu một số dạng toán tìm quy luật của một dãy số.
1


nhận thấy khả năng làm toán của học sinh còn rất nhiều hạn chế như: học sinh
chưa xử lí được các tình huống đặt ra trong môn toán, cách tìm quy luật dãy số.
Qua khảo sát chất lượng đầu năm môn Toán vào tháng 8 của trường THCS
Phạm Văn Đồng đạt kết quả như sau.
2


Tổng

Giỏi
Khá
TB
Yếu
TL
SL
TL
SL
TL
SL
TL
số HS SL
30
6
20
10
33,3
8
26,7
6
20

sinh qua các bài toán nâng cao là hết sức cần thiết.
d) Tìm hiểu kĩ nội dung, chương trình và sách giáo khoa THCS đặc biệt là
bộ môn toán lớp 6 và đề thi qua các năm đã ra những bài toán dạng giải toán tìm
số số hạng và tổng của một dãy số. Học sinh làm bài chưa đạt nên đỗ điểm thấp.
e) Tạo tư duy từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp là yêu cầu bắt
buộc trong quá trình dạy học. Đối với học sinh, chúng ta phải phân tích cụ thể,
lặp lại nhiều lần và không được bỏ qua một chi tiết nhỏ nào để các em nắm kĩ và
từ đó vận dụng tốt hơn để làm các bài tập nâng cao.
2. Các biện pháp thực hiện
Xác định được một số phương pháp cơ bản trên, để nâng cao chất lượng
dạy toán cho học sinh lớp 6 Trường THCS Phạm Văn Đồng, tôi mạnh dạn thực
hiện một số biện pháp sau :
2. 1. Tìm số số hạng trong dãy số tự nhiên
Để tìm số số hạng của một dãy số liên tiếp ta dùng cách tính sau :
Số số hạng = ( số cuối – số đầu ) + 1

4


Ví dụ 1. Cho dãy số 3, 4, 5, 6, 7,…, 35.
Dãy số trên có bao nhiêu số số hạng ?
Giải :
Dãy số trên có các số số hạng là:
(35 – 3) + 1 = 33 ( số số hạng).
Đáp số: 33 số số hạng
Để tìm số số hạng của một dãy số cách đều nhau ta dùng cách tính sau:
Số Số hạng = ( Số cuối – Số đầu) : Khoảng cách + 1
Ví dụ 2. Cho dãy số 6, 8, 10, 12, …, 96.
Dãy số trên có bao nhiêu số chẵn ?
Giải:

- Tìm khoảng cách của dãy số
- Tìm số số hạng của dãy số
- Tính tổng của dãy số
Giải :
Dãy số có hai chữ số mà mỗi số chia hết cho 5 và dư 1 là:
11, 16, 21, …, 91, 96
Khoảng cách của dãy số là:
16 -11 = 5
Dãy số trên có các số số hạng là:
(96 - 11) : 5 + 1 = 18 (số số hạng )
Tổng của dãy số trên là:
(96 + 11) . 18 : 2 = 963
Đáp số: 963
2.3. Từ những dạng bài tập trên giáo viên có thể cho học sinh làm thêm
những bài tập có dạng nâng cao hơn áp dụng vào thực tiễn đời sống
Ví dụ 5. Hãy viết một dãy số gồm 8 số tự nhiên có số hạng đầu tiên là 35, số
hạng cuối cùng là 63, mỗi số hạng đều lớn hơn số hạng liền trước nó một số đơn
vị như nhau?
Giáo viên hướng dẫn :
Đối với bài toán này học sinh xác định được:
- 8 số tự nhiên chính là dãy số có 8 số hạng
- Số hạng đầu là 35
- Số hạng cuối là 63

6


Như vậy ta phải tìm khoảng cách. Muốn tìm khoảng cách giáo viên hướng
dẫn học sinh ứng dụng cách tính trên chuyển thành tính khoảng cách:
Khoảng cách = (số cuối – số đầu) : (số số hạng – 1)

Giáo viên hướng dẫn :
- Xác định khoảng cách của dãy số: 9 – 6 = 3
- Tìm dãy số có bao nhiêu số số hạng thì vận dụng công thức:
Số số hạng = (số cuối – số đầu) : 3 + 1
- Tìm số hạng thứ 2003 chính là ta tìm số hạng cuối của dãy số có 2003
số hạng.
- Tìm số hạng thứ 100 chính là tìm số hạng cuối của dãy số có 100 số
hạng.
Từ cách tính: số số hạng = (số cuối – số đầu) : khoảng cách +1
Học sinh rút ra tìm số hạng cuối như sau:
- Số hạng cuối = (số số hạng – 1) . khoảng cách + số hạng đầu
- Áp dụng để giải câu b, c.
- Tìm tổng của 100 số hạng đầu tiên ta dùng cách tính đã học.
Giải :
Khoảng cách của dãy số là:
9–6=3
a) Từ 6 đến 72 dãy số có các số số hạng là:
( 72 − 6 ) : 3 + 1 = 23 (số số hạng)

b) Số hạng thứ 2003 là:
(2003 – 1) . 3 + 6 = 6012
c) Số hạng thứ 100 là :
(100 – 1) . 3 + 6 = 303
Tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy số là :
( 303 + 6 ) . 100 : 2 = 15450
Đáp số :

a) 23 số số hạng
b) 6012
c) 15450

Các trang sách có 2 chữ số là:
(99- 10) + 1 = 90 (trang)
Số trang từ 10 đến 99 phải viết:
90 . 2 = 180 (chữ số)
Các trang sách có 3 chữ số là:
(999 – 100) + 1 = 900 (trang)
9


Số trang từ 100 đến 900 phải viết:
900 . 3 = 2700 (chữ số)
Vì 9 + 180 + 2700 = 2889
Mà 2889 < 3897 nên quyển sách có những trang được đánh số với 4 chữ số.
Số trang đánh số với 4 chữ số là:
3897 − 2889
= 252 (trang)
4
Vậy quyển sách có số trang sách là:
9 + 90 + 900 + 252 = 1251 (trang)
Đáp số: 1251 trang
Ví dụ 10. Biết A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 9.10
Tính B = 3. A
Giải :
Ta có: B = 3 A
⇒

B = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + 9.10.3
B = 1.2.3 + 2.3. ( 4 – 1 ) + 3.4. ( 5 – 2 ) + … + 9 .10 ( 11 – 8 )
B = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + … + 9.10.11 – 8.9.10
B = 9.10.11 = 990

B = 1.99 + 2. 98 + 3.97 + … + n. ( 100 – n ) + … + 98.2 + 99 .1
Giải :
Ta có :
A = 1.2 + 2.3 + … + n. ( n + 1 ) + … + 98 . 99
Suy ra : 3 A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n.( n + 1 ).3 + … + 98 . 99 .3
⇒

3 A = 1.2.( 3 – 0 ) + 2.3.(4 – 1 ) + … + 98 . 99 . ( 100 – 97 )

⇒

3 A = 98 .99 .100

⇒

A=

98.99.100
= 323400
3

Mặt khác ta có :
B = 1.99 + 2.98 + 3. 97 + … + n. ( 100 – n ) + … + 98 . 2 + 99.1
B = 1.99 + 2. ( 99 -1 ) + 3. ( 99 – 2) + … + 98 .( 99 -97 ) + 99. ( 99 – 98 )
B = ( 1.99 + 2. 99 + 3. 99 + … + 99 . 99 ) – ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 98 .99 )
B = 99 . ( 1 + 2 + 3 + … + 99 ) - A
Vậy : B = 99 .

100.99
−A

1   1
1
1 


S 2 = 1 − 2  +  2 − 2  + ... +  2 −
2 
3 
n
(
)
n
+
1
 2  2


⇒ S2 = 1 −

1
n( n + 2 )
=
2
( n + 1) ( n +1) 2

11


Ví dụ 14. Tính tổng S gồm 23 số hạng sau :
S=

23.24.25

2
2
2
2
+
+
+ ... +
1.2.3 2.3.4 3.4.5
23.24.25
1
1
1
1
1
1
⇒ 2.S =
−
+
−
+ ... +
−
1.2 2.3 2.3 3.4
23.24 24.25
1
1
299
⇒ 2.S = −
=

1 1
1
+ 2 + 3 + ... + 8
3 3 3
3

(1)
( 2)

Lấy ( 1 ) trừ ( 2 ) ta được :
1
1
6560
=1−
=
8
6561 6561
3
3280
Do đó : S =
6561

2.S = 1 −

12


Ví dụ 16. Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số
1
1

+
+ ... +
= − + − + ... + −
+
−
1.2 2.3
100.101 1 2 2 3
99 100 100 101
1
100
=1−
=
.
101 101

Vậy tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số là:

100
101

3. Trên cơ sở xây dựng hệ thống các bài tập. Tôi đã áp dụng có hiệu quả
việc giảng dạy toán có quy luật
- Bồi dưỡng rèn luyện kĩ năng giải toán tìm quy luật cho một dãy số cho các
em theo các dạng bài tập mà tôi xây dựng như trên, theo thứ tự từ dể đến khó, có
khai thác đào sâu nhằm hình thành cho học sinh kĩ năng tư duy, có thể cho các
em tham khảo bài toán mẫu, … qua đó giúp các em nâng cao năng lực giải toán
của mình.
- Ngoài ra tôi còn khuyến khích các em tham khảo các tài liệu, đọc các sách
nâng cao về giải toán, … do tôi và các em sưu tầm.
- Công tác chấm chữa bài của học sinh cũng được tôi đặc biệt chú trọng. Qua

30
12
40
11
36,6
7
23,4
Mặc dù sau quá trình dạy học sinh giỏi vẫn còn đạt điểm trung bình, song
tỉ lệ khá giỏi tăng lên rõ rệt. Bản thân tôi nhận thấy qua việc xây dựng tốt các
dạng bài tập chắc chắc học sinh sẽ nâng cao được năng lực giải toán. Từ đó, mà
chất lượng làm toán của học sinh lớp 6 Trường THCS nơi tôi đang công tác tăng
lên lên và góp phần nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường.
4. Bài học kinh nghiệm
a) Khi giải toán có lời văn với dạng tìm số số hạng và tổng trong một dãy số,

giáo viên truyền đạt những bài toán từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức
tạp.
b) Phát triển được tư duy cho học sinh nắm được dạng bài toán tìm số số

hạng hay tìm tổng của dãy số để giải bài toán cho chính xác.
c) Học sinh nắm được các công thức tìm số số hạng và tổng của một dãy số

để áp dụng vào giải toán.
d) Học sinh có hứng thú hơn trong học tập khi phát hiện nhiều điều mới

tưởng là khó.
e) Học sinh có một tư duy tốt để phát triển các dạng toán

14


15


TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Sách giáo khoa toán lớp 6
[ 2] Tuyển Chọn Các Bài Toán Khó Lớp 6, NXB Tổng Hợp TP Hồ Chí Minh,
1999

[ 3] Vũ Hữu Bình, Toán Nâng Cao Và Phát Triển, NXB Giáo Dục, 2002
[ 4] Tuyển Tập Những Đề Thi Học Sinh Giỏi Lớp 6, NXB Đại Học Quốc Gia
TP Hồ Chí Minh, 2012

[ 5] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Hữu Độ, Các Chuyên Đề Toán Học Bồi
Dưỡng Học Sinh Giỏi, Sở Giáo Dục Đào Tạo Hà Nội, 2012

MỤC LỤC
16


I. ĐẶT VẤN ĐỀ.........................................................................................................................1
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.........................................................................................................4
1. Các giải pháp thực hiện...........................................................................................................4
2. Các biện pháp thực hiện..........................................................................................................4
2.2. Tính tổng của một dãy số............................................................................................5
2.3. Từ những dạng bài tập trên giáo viên có thể cho học sinh làm thêm những bài tập có
dạng nâng cao hơn áp dụng vào thực tiễn đời sống................................................................6
3. Trên cơ sở xây dựng hệ thống các bài tập. Tôi đã áp dụng có hiệu quả việc giảng dạy
toán có quy luật.....................................................................................................................13
4. Bài học kinh nghiệm.............................................................................................................14

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

PHIẾU NHẬN XÉT, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: 2014 – 2015
Tên đề tài: RÈN KỸ NĂNG “GIẢI TOÁN TÌM QUY LUẬT CỦA MỘT
DÃY SỐ” CHO HỌC SINH LỚP 6
Tác giả: Phạm Đức Khanh
18


Chức vụ: Giáo viên
Bộ phận công tác: Tổ Toán - Tin
TỔ CHUYÊN MÔN

HỘI ĐỒNG KH, SKKN TRƯỜNG

Nhận xét:

Nhận xét:

…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………

Hòa Vang, ngày…..tháng…..năm 20……
TRƯỞNG PHÒNG

19