ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
BÙI KHÁNH TOÀN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VÀ PHÁT TRIỂN
TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC
PHỔ THÔNG QUA NỘI DUNG TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN
Chuyên ngành: LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN
Chuyên ngành: LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 10 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TSKH Vũ Đình Hòa HÀ NỘI-2010
2
LỜI CẢM ƠN
Với tất cả tình cảm của mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
PGS.TSKH Vũ Đình Hoà, người thầy đã tận tâm hướng dẫn, chỉ bảo tác giả trong suốt
quá trình làm luận văn.
Xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các thầy giáo, cô giáo đã nhiệt tình
giảng dạy và đặc biệt là các thầy cô trong Trường Đại học Giáo Dục, Đại học Quốc gia
k
n
A
: Số chỉnh hợp chập k của n phần tử
k
n
A
: Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử
k
n
C
: Số tổ hợp chập k của n phần tử
k
n
C
: Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử
n
P
: Số hoán vị của n phần tử
n
Q
Chƣơng 2. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VÀ PHÁT TRIỂN TƢ
DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
QUA NỘI DUNG TỔ HỢP 34
2.1. Các định hƣớng phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh qua nội dung tổ
hợp 34
2.1.1. Rèn luyện theo các thành phần cơ bản của tƣ duy sáng tạo 34
2.1.2. Hƣớng vào rèn luyện các hoạt động trí tuệ 41
2.1.3. Khuyến khích tìm nhiều lời giải cho một bài toán 44
2.1.4. Sáng tạo bài toán mới 45
2.1.5. Giải các bài toán thực tế về tổ hợp 48
2.2. Một số bài tập cơ bản về tổ hợp 51
2.2.1. Quy tắc cộng - quy tắc nhân 51
2.2.2. Chỉnh hợp lặp 53
2.2.3. Chỉnh hợp không lặp 54
2.2.4. Hoán vị 56
2.2.5. Tổ hợp không lặp 60
2.2.6. Tổ hợp lặp 62
2.2.7. Nhị thức Newton 64
2.3. Một số bài tập nâng cao về tổ hợp 69
2.3.1. Phƣơng pháp tổ hợp trong lí thuyết tập hợp 69
2.3.2. Mạng lƣới ô vuông 72
2.4. Những khó khăn và sai lầm thƣờng gặp của học sinh khi giải bài tập tổ
hợp 77
2.5. Bài tập tổng hợp 78
Kết luận chƣơng 2 79
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 80
3.1. Mục đích thực nghiệm sƣ phạm. 80
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm 80
6
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm: 80
cần thiết cho cuộc sống, … rèn luyện kỹ năng vận dụng các kiến thức đã học
vào việc giải các bài toán đơn giản của thực tiễn, phát triển khả năng suy
luận có lý, hợp logic trong những tình huống cụ thể, khả năng tiếp cận và
biểu đạt các vấn đề một cách chính xác …”
Dạy toán là dạy kiến thức, tƣ duy và tính cách (Nguyễn Cảnh Toàn),
trong đó dạy kỹ năng có một vị trí đặc biệt quan trọng, bởi vì nếu không có kỹ
năng thì sẽ không phát triển đƣợc tƣ duy và cũng không đáp ứng đƣợc nhu
cầu giải quyết vấn đề.
8
Tuy nhiên, nhận định về phƣơng pháp dạy toán ở trƣờng phổ thông
trong giai đoạn hiện nay, các tác giả Hoàng Tuỵ và Nguyễn Cảnh Toàn viết:
“Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đã ra kiến thức (khái niệm, định lý) rồi
giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, định lý, hiểu
chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức, các định lý để tính
toán, chứng minh …”; “…Ta còn chuộng cách nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy
mẹo vặt để giải những bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy để phát
triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và chán nản …"
[11, tr.38].
Nhiều công trình nghiên cứu về tâm lý học, phƣơng pháp dạy học, …
đã khẳng định sự cần thiết phải rèn luyện một số kỹ năng trong dạy học Đại
số nói chung và Đại số tổ hợp nói riêng cho học sinh. Tác giả Trần Khánh
Hƣng cho rằng: “Kỹ năng là một trong những yêu cầu quan trọng đảm bảo
mối quan hệ giữa học và hành. Việc dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học
sinh chỉ biết học thuộc các định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng vào
việc giải các bài tập”, còn Nguyễn Bá Kim viết: “Nó là cơ sở để thực hiện các
phương diện mục đích khác” [5, tr.46]. Nhƣ vậy có thể khẳng định rằng cần
thiết phải rèn luyện cho học sinh các kỹ năng trong dạy học Toán.
Tuy nhiên, việc rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh ở các trƣờng phổ
thông không đƣợc thể hiện tƣờng minh. Do đó ngƣời giáo viên cần tìm những cơ
hội, những nội dung kiến thức phù hợp để rèn luyện năng lực tƣ duy này cho học
5. Mẫu khảo sát
- Học sinh khối 11 trƣờng THPT Hải An (Quận Hải An, Thành phố Hải
Phòng).
6. Vấn đề nghiên cứu
- Rèn luyện kỹ năng và phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh thông
qua dạy học các bài toán về tổ hợp nhƣ thế nào?
10
7. Giả thuyết nghiên cứu
- Rèn luyện kỹ năng giải toán thông qua hệ thống bài tập từ dễ đến khó.
- Bài tập có tính xâu chuỗi, hệ thống, từ một bài học sinh có thể sáng
tạo ra nhiều dạng bài khác, hoặc tìm đƣợc nhiều lời giải của một bài toán.
8. Phƣơng pháp chứng minh luận điểm
8.1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách báo, tƣ liệu, các công trình có liên
quan đến đề tài.
8.2. Điều tra – Quan sát: Dự giờ, quan sát việc giảng dạy của giáo viên và
việc học tập của học sinh trong quá trình chứng minh, khai thác các bài toán
tổ hợp nhằm rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh.
8.3. Phương pháp thử nghiệm sư phạm: Dạy thử nghiệm cho học sinh khối
11 để bƣớc đầu kiểm tra tính khả thi, hiệu quả của đề tài.
8.4. Tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết những kinh nghiệm rút ra từ thực tế
giảng dạy và quá trình nghiên cứu của bản thân qua trao đổi với những đồng
nghiệm có kinh nghiệm ở các trƣờng phổ thông.
8.5. Dự kiến luận cứ
* Luận cứ lý thuyết:
- Các mục tiêu chung trong dạy học môn toán ở trƣờng phổ thông
- Vấn đề phát triển năng lực tƣ duy cho học sinh
- Bản chất tƣ duy sáng tạo
- Mối liên hệ giữa dạy học giải toán và rèn luyện tƣ duy sáng tạo.
Qua nghiên cứu của các nhà chuyên môn, đặc biệt là các nhà nghiên cứu
phƣơng pháp dạy toán, tƣ duy sáng tạo của học sinh đƣợc phát triển theo mức độ
9. Đóng góp của luận văn
9.1 . Về mặt lý luận
Đã đƣa ra đƣợc các căn cứ và một số kỹ năng cần rèn luyện cho học
sinh trong dạy học Đại số tổ hợp thông qua đó phát triển tƣ duy sáng tạo cho
học sinh.
9.2. Về mặt thực tiễn
Có thể sử dụng luận văn để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán
nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn toán ở trƣờng THPT.
10. Cấu trúc luận văn
I. Phần mở đầu
II. Phần nội dung
Chƣơng 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chƣơng 2: Rèn luyện kỹ năng giải toán và phát triển tƣ duy sáng tạo cho
học sinh lớp 11 trung học phổ thông qua nội dung tổ hợp
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm
III. Kết luận và khuyến nghị
Tài liệu tham khảo
Phụ lục
13
Chƣơng 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kỹ năng
1.1.1. Khái niệm về kỹ năng
Thực tiễn cuộc sống luôn đặt ra những nhiệm vụ nhận thức và thực
hành nhất định cho con ngƣời. Để giải quyết đƣợc công việc con ngƣời cần sử
dụng vốn hiểu biết, kinh nghiệm của mình nhằm tách ra những mặt của hiện
thực là bản chất đối với nhiệm vụ của đƣợc đặt ra và nó thực hiện những biến
đổi có thể dẫn tới chỗ giải quyết đƣợc nhiệm vụ đó. Với quá trình đó con
ngƣời dần dần hình thành cho mình một hệ thống các kỹ năng để giải quyết
đầy đủ thuộc tính của bản chất, đƣợc thử thách trong thực tiễn và tồn tại trong
ý thức với tƣ cách là công cụ của hành động (kỹ năng). Nói cách khác, cần
làm sao cho các sự vật quả thực là có những thuộc tính đƣợc phản ánh trong
tri thức đã cho, làm sao cho các dấu hiệu là bản chất đối với những mục tiêu
đặt ra trƣớc hành động, làm sao cho những hành động này đảm bảo biến đổi
đối tƣợng, một sự biến đổi cần thiết để đạt mục tiêu.
1.1.2. Phân loại kỹ năng trong môn toán
Có nhiều cách phân loại kỹ năng.
Theo tâm lý giáo dục, ngƣời ta thƣờng chia kỹ năng học tập cơ bản
thành 4 nhóm:
a) Kỹ năng nhận thức
Kỹ năng nhận thức trong môn toán bao gồm nhiều khía cạnh đó là: kỹ
năng nắm một khái niệm, định lý; kỹ năng áp dụng thành thạo mỗi quy tắc,
trong đó có yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc,… 15
b) Kỹ năng thực hành
Trong môn toán bao gồm kỹ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải
bài toán, kỹ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn (trong bài toán hoặc
trong đời sống), kỹ năng thực hành cần thiết trong đời sống thực tế.
c) Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá
Theo các tác giả: Nguyễn Bá Kim, Vũ Dƣơng Thuỵ, … lại xem xét kỹ
năng toán học trên 3 bình diện: kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn
toán, kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác, kỹ năng
vận dụng toán học vào đời sống.
1.1.3. Mối quan hệ giữa tư duy và kỹ năng
Kỹ năng và tƣ duy có mối quan hệ mật thiết với nhau: Kỹ năng là cơ sở
để tiến hành các thao tác tƣ duy và kỹ năng chỉ đƣợc hình hành thông qua quá
trình tƣ duy để giải quyết nhiệm vụ đặt ra.
- Khuynh hƣớng đi tìm con đƣờng ngắn nhất đến mục đích.
- Phân chia rành mạch các bƣớc suy luận.
- Sử dụng chính xác các kí hiệu.
- Lập luận có căn cứ đầy đủ.
1.2.1.2. Các hình thức cơ bản của tư duy
Khái niệm: Khái niệm là một hình thức tƣ duy phản ánh một lớp đối
tƣợng và do đó nó có thể đƣợc xem xét theo hai phƣơng diện: Ngoại diên và
nội hàm. Bản thân lớp đối tƣợng xác định khái niệm đƣợc gọi là ngoại diên,
còn toàn bộ các thuộc tính chung của lớp đối tƣợng này đƣợc gọi là nội hàm
của lớp đối tƣợng đó. Giữa nội hàm và ngoại diên có mối liên hệ mang tính quy
luật: nội hàm càng đƣợc mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngƣợc lại.
Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thì khái
niệm A gọi là khái niệm chủng của B, còn khái niệm B đƣợc gọi là khái niệm
17
loại của A .
Trong toán học ngƣời ta còn sử dụng những khái niệm không định nghĩa,
còn gọi là khái niệm nguyên thủy làm cơ sở xây dựng hệ thống các khái niệm
toán học nhƣ: điểm, đƣờng thẳng, mặt phẳng
Phán đoán: Phán đoán là hình thức tƣ duy trong đó khẳng định một dấu
hiệu thuộc hay không thuộc một đối tƣợng. Phán đoán có tính chất hoặc đúng
hoặc sai và nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trƣờng hợp đó mà thôi.
Trong tƣ duy, phán đoán đƣợc hình thành bởi hai phƣơng thức chủ yếu:
trực tiếp và gián tiếp. Trong trƣờng hợp thứ nhất, phán đoán diễn đạt kết quả
nghiên cứu của quá trình tự giác một đối tƣợng, còn trong trƣờng hợp thứ hai,
phán đoán đƣợc hình thành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suy
luận. Cũng nhƣ các khoa học khác, toán học thực chất là một hệ thống các
phán đoán về những đối tƣợng của nó, với nhiệm vụ xác định tính đúng sai
của các luận điểm.
Suy luận: Suy luận là một quá trình tƣ duy có quy luật, quy tắc nhất định
(gọi là quy luật, quy tắc suy luận). Muốn suy luận đúng cần phải tuân theo
Khái quát hoá - đặc biệt hoá: Khái quát hoá là thao tác tƣ duy nhằm hợp
nhất nhiều đối tƣợng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc
tính, những liên hệ hay quan hệ chung nhất định. Các thuộc tính chung đó
gồm hai loại nhƣ: những thuộc tính chung giống nhau và những thuộc tính
chung bản chất.
Theo GS Nguyễn Bá Kim: "Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối
tƣợng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm
chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát" [5, tr.46].
Nhƣ vậy có thể hiểu khái quát hoá là quá trình đi từ cái riêng, cái đặc
biệt đến cái chung, cái tổng quát hoặc từ một cái tổng quát đến cái tổng quát
19
hơn. Trong toán học ngƣời ta thƣờng khái quát hoá một số yếu tố hoặc nhiều
yếu tố của khái niệm, đỉnh lý, bài toán thành những kết quả tổng quát.
Đặc biệt hoá là thao tác tƣ duy ngƣợc của khái quát hóa.
Mối quan hệ giữa khái quát hoá và đặc biệt hoá thƣờng đƣợc vận dụng
trong tìm tòi, giải toán. Từ một tính chất nào đó, ta muốn khái quát hóa ta thử
đặc biệt hóa. Nếu kết quả là của đặc biệt hóa là đúng thì ta mới tìm cách
chứng minh dự đoán từ khái quát hóa. Nhƣng nếu sai thì dừng lại.
Trừu tượng hoá: Trừu tƣợng hoá là thao tác tƣ duy nhằm gạt bỏ những
mặt, những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu không cần thiết và chỉ
giữ lại các yếu tố cần thiết cho tƣ duy. Tất nhiên sự phân biệt bản chất hay
không bản chất ở dạy chỉ mang ý nghĩa tƣơng đối, nó phụ thuộc mục đích
hành động.
1.2.2. Sáng tạo và quá trình sáng tạo
1.2.2.1. Khái niệm về sáng tạo
Theo từ điển tiếng Việt: "Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết cái
mới, không bị gò bó, phụ thuộc vào cái đã có (cái mới, cách giải quyết mới
phải có ý nghĩa, có giá trị xã hội)" [16, tr.1130].
Dƣới góc độ một phạm trù triết học, sáng tạo đƣợc hiểu "là quá trình
hoạt động của con ngƣời tạo ra những giá trị vật chất, tinh thần mới về chất".
mới, các thao tác mới, các công cụ mới, thì đó chính là sự sáng tạo.
1.2.2.2. Quá trình sáng tạo
Theo sự công nhận rộng rãi của nhiều nhà khoa học thì quá trình sáng
tạo trải qua bốn giai đoạn:
- Giai đoạn chuẩn bị: Là giai đoạn chủ thể hoạt động tìm kiếm cách giải
quyết vấn đề, thu thập tài liệu, tìm hiểu các thông tin liên quan.
- Giai đoạn ấp ủ: Giai đoạn này bắt đầu khi công việc giải quyết các vấn
đề một cách có ý thức bị ngừng lại, chỉ còn các hoạt động của tiềm thức, các
21
hoạt động bổ xung cho vấn đề đƣợc quan tâm.
- Giai đoạn bừng sáng: Giai đoạn ấp ủ kéo dài cho đến khi sự "bừng
sáng" trực giác, một bƣớc nhảy vọt về chất trong tiến trình nhận thức, xuất
hiện đột ngột và kéo theo là sự sáng tạo. Đây là giai đoạn quyết định trong
quá trình tìm kiếm lời giải.
- Giai đoạn kiểm chứng: Là giai đoạn chủ thể kiểm tra trực giác, triển
khai các luận chứng lôgic để có thể chứng tỏ tính đúng đắn của cách thức giải
quyết vấn đề, khi đó sự sáng tạo mới đƣợc khẳng định.
Quá trình sáng tạo có một số đặc điểm sau:
- Là tiền đề chuyển tri thức và kỹ năng vào hoàn cảnh mới.
- Nhận ra vấn đề mới trong những điều kiện quen thuộc.
- Nhận ra chức năng mới ở những điều kiện quen thuộc.
- Nhận ra cấu trúc của đối tƣợng đang nghiên cứu.
- Lựa chọn cách giải quyết tốt nhất trong từng hoàn cảnh nhờ khả năng
tìm đƣợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và hoàn cảnh khác nhau.
- Năng lực tìm kiếm và quyết định phƣơng pháp giải quyết độc đáo trong
khi đã biết đƣợc nhiều phƣơng pháp truyền thống.
- Tính kế hoạch, tỉ mỉ, chuyên cần, kiên định mục đích.
Trong quá trình sáng tạo toán học, thƣờng xuất hiện những trạng thái hay
tình huống một tƣ tƣởng nào đó đột nhiên "bừng sáng" trong đầu óc con
ngƣời hoặc đặt con ngƣời trong trạng thái "hứng khởi cao độ, khi đó các tƣ
- Mức tƣ duy độc lập: Học sinh tự đọc, tự chứng minh các vấn đề đƣợc
thầy nêu ra, có thể là nghiên cứu gợi ý hoặc thậm chí đáp án, miễn là hoạt
động độc lập theo dụng ý trƣớc của thầy (định hƣớng).
- Mức tƣ duy sáng tạo: Học sinh tự khám phá ra định lý, tự chứng minh
định lý đó.
Về mặt tâm lý học, tƣ duy sáng tạo có những dấu hiệu đặc trƣng nhƣ:
Tƣ duy tích cực
Tƣ duy độc lập
Tƣ duy sáng tạo
23
- Sản phẩm của tƣ duy có tính mới mẻ và giá trị (có thể theo nghĩa chủ
quan hay khách quan)
- Quá trình tƣ duy đƣợc chỉ đạo bởi tƣ tƣởng, quan điểm, phƣơng pháp
luận tiến bộ so với thực tại xã hội.
- Quá trình tƣ duy còn đƣợc đặc trƣng bởi sự tồn tại của động cơ mạnh,
của tính kiên trì vƣợt khó khăn, sự nỗ lực cá nhân vƣợt bậc và của nhiều phẩm
chất đặc biệt khác nhau thuộc nhân cách.
Tuy vậy, nhƣ một quá trình sáng tạo, tƣ duy sáng tạo có tính chất tƣơng
đối: Tƣ duy sáng tạo của ai, trong hoàn cảnh nào? Cùng một chủ thể giải
quyết vấn đề trong điều kiện này có thể mang tính sáng tạo nhƣng không sáng
tạo trong điều kiện khác, hoặc cùng một vấn đề đƣợc giải quyết có thể đối với
ngƣời này là mang tính sáng tạo còn với ngƣời khác thì không nhƣ vậy.
1.2.3.2. Các thành phần của tư duy sáng tạo
Nhiều nghiên cứu đã đƣa ra các cấu trúc khác nhau của tƣ duy sáng tạo,
tuy nhiên theo [14] thì tƣ duy sáng tạo đƣợc đặc trƣng bởi ba yếu tố cơ bản
sau
+) Tính mềm dẻo (flexibility): Đó là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh
chóng trật tự của hệ thống tri thức, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc
độ quan niệm khác, có khả năng định nghĩa lại sự vật, hiện tƣợng, xây dựng
phƣơng pháp tƣ duy mới, tạo ra sự vật mới trong những mối liên hệ mới hoặc
dƣỡng, rèn luyện năng lực tƣ duy sáng tạo cho học sinh. Trên thế giới, thì
những năm 50 của thế kỷ XX trở lại đây các công trình nghiên cứu về năng
khiếu và tài năng phát triển rất mạnh mẽ.
Vào năm 1960, các nhà trắc nghiệm Mỹ J.W. Getzels và P.W. Jackson
đã thông báo các số liệu chứng tỏ không có sự phụ thuộc giữa các chỉ số trí
tuệ (chỉ số IQ) và năng lực sáng tạo (creativity). Vì vậy, để đánh giá năng lực
Copyright: Tài liệu đại học ©