SỞ GD & ĐT QUẢNG BÌNH

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2016 - 2017
ĐỀ CHÍNH THỨC
Khóa ngày 08/6/2016
Môn: TOÁN (CHUYÊN)
SBD:…………..
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề có 01 trang, gồm 05 câu
 a −4
3 
+
Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức P = 
÷× a − a − 2 với a > 0, a ≠ 4 .
a
−
2
a
a
−
2


a) Rút gọn biểu thức P.

(

b) Tính giá trị của P khi a =

(3

a) Giải phương trình

Câu 3 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc .
1
1
1
3
+
+
≤
Chứng minh rằng:
.
2
a3 + b
b3 + c
c3 + a
Câu 4 (3,5 điểm). Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn tâm O . Đường
phân giác của góc BAC cắt BC tại D, cắt đường tròn (O) tại E. Gọi M là giao điểm của AB
và CE. Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt AD tại N và tiếp tuyến tại E của đường tròn
(O) cắt CN tại F.
a) Chứng minh tứ giác MACN nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Gọi K là điểm trên cạnh AC sao cho AB = AK. Chứng minh AO ⊥ DK .
1
1
1
=
+
c) Chứng minh rằng
.
CF CN CD

=
=

4 a −4
.
a−2 a

( a +1) ( a − 2)
4 ( a −1)
.( a +1) ( a − 2 )
a ( a − 2)

4 ( a −1)

a=
1b

=

(3

2+4

)

2− 3

=

3 −1


2

=3+ 2 2
0,25

2


Câu
Khi đó: P =
2

2a

(

Nội dung

) =8

Điểm

4 3 + 2 2 −1
2 +1

0,25

ĐK: x ≥ − 672; x ≠ 0
Ta có:

(

)(

0,25

0,25
0,25

0,5

Vì x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trình (1) nên
 x1 + x2 = 4m + 2
Theo hệ thức Vi-ét ta có 
2
 x1.x2 = m + 8

 x - ( 4m + 1) x1 + m = x1 − 8
và  2
2
 x2 - ( 4m + 1) x2 + m = x2 − 8
2
2
2
2
Khi đó:  x1 - ( 4m + 1) x1 + m  × x2 - ( 4m + 1) x2 + m  = 25 ⇔ ( x1 − 8) ( x2 − 8) = 25
2
1

0,5

1,0
1 1 1
+ + =3
a b c
1
1
1
1
1
1
+
+
≤
+
+
a3 + b
b3 + c
c3 + a
2a ab
2b bc
2c ca

Từ giả thiết ta có
Khi đó :

0,25

3



1 
1
1
1 
1 
ab
bc
ca 
=
3
+
+
+
=
3
+
+
+

÷

÷
ab
bc
ca 
2 2
ab
bc
ca  2 2 
1 

·
·
·
Vì AD là tia phân giác của BAC
nên MAN
.
= NAC
·
·
Mà NAC
(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp
= MCN
cùng chắn một cung).
·
·
Suy ra NAM
.
= MCN
Vậy tứ giác MACN nội tiếp được trong một đường tròn.
Gọi I = AO ∩ DK ( I ∈ DK )
Khi đó: ·AKI = ·ABD (do ∆AKD = ∆ABD )

0,5
0,25
0,25
0,5

4b
4


 1
⇔ CF 
+
÷ = 1 (do EF=CF).
 CD CN 
1
1
1
=
+
Vậy
CF CN CD

5

Điểm
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
1,0

Gọi a1 , a2 ,..., an là n số thỏa mãn đề bài.
Vì 6, 12, 18 thỏa mãn đề bài nên chỉ cần xét n ≥ 3 .
Theo giả thiết thì a1 + a2 , a1 + a3 , a2 + a3 đều chia hết cho 6 nên
2a1 + (a2 + a3 )M6 suy ra 2a1 M6 do đó a1 M3 .
Lập luận tương tự thì mọi số a1 , a2 ,..., an đều chia hết cho 3, nghĩa là khi chia
cho 6 chúng có dạng 6k hoặc 6k + 3 ( k là số tự nhiên).
Trong n số đang xét không thể có hai số thuộc cả hai dạng trên, vì lúc đó