BÀI TẬP THỰC HÀNH SỬ DỤNG PHẦN MỀM HÌNH HỌC ĐỘNG
TRONG MẶT PHẲNG
1. Kiểm tra giả thuyết, tìm hiểu và khám phá bài toán:
1) Trên đoạn thẳng AB ta lấy một điểm C nằm giữa A và B. Dựng các tam giác đều
ACE và BCF sao cho E, F nằm cùng phía đối với đường thẳng AB.
a) So sánh độ dài hai đoạn thẳng AF = BE.
b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AF và BE. Khi đó, ∆CMN
có đặc điểm gì?
2) Trên ba cạnh của ∆ABC cho trước, ta dựng ra phía ngoài ba tam giác đều ∆ABC’,
∆BCA’, ∆CAB’.
a) Có nhận xét gì về độ dài các đoạn thẳng AA’, BB’, CC’ ?
b) Gọi O1, O2, O3 là tâm ba tam giác đều trên. Khi đó ∆O1O2O3 có đặc điểm
gì?
c) Xét bài toán nếu dựng ra phía ngoài ∆ABC các tam giác cân.
3) Cho hình bình hành ABCD. Các đường phân giác trong của các góc của hình bình
hành cắt nhau tạo thành một tứ giác.
a) Dự đoán về hình dạng của tứ giác tạo thành ở trên.
b) Xét bài toán nếu ABCD là hình chữ nhật.
4) Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Gọi C là điểm đối xứng với A qua B và
PQ là đường kính thay đổi của (O) khác đường kính AB. Đường thẳng CQ cắt PA
và PB lần lượt tại M, N.
a) Kiểm tra các đẳng thức sau: QC = QM, NC = NQ.
b) Minh họa quỹ tích các điểm M, N khi đường kính PQ thay đổi.
5) Cho M là một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Gọi M1, M2, M3 lần
lượt là các điểm đối xứng của M qua các cạnh BC, CA, AB và gọi H là trực tâm của
∆ABC. Hãy nhận xét về vị trí của các điểm M1, M2, M3, H.
6) Cho tứ giác lồi ABCD. Dựng ra phía ngoài tứ giác 4 hình vuông ABB'A',
BCC'B", CDC"D', DAD"A". Gọi tâm của 4 hình vuông theo thứ tự đó là E, F, G, H.
Hãy nhận xét về hình dạng của tứ giác tạo bởi 4 trung điểm của các đường chéo của
hai tứ giác ABCD, EFGH.
7) Cho đường tròn (O) và dây cung AB. Gọi C là trung điểm của AB, qua C kẻ hai

6. Cho AC là một dây cung bất kì của nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R.
Kẻ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn ấy. Tia phân giác của góc CAx cắt cắt tia BC
ở D. Tìm quỹ tích của D.
7. Cho hình vuông ABCD và một điểm M di động trên đường chéo BD. Dựng ME
vuông góc với AB và MF vuông góc với AD. Tìm quỹ tích giao điểm P của CF và
DE, giao điểm N của CE và BF.
8. Cho nửa đường tròn đường kính AB, C thuộc cung AB; dựng hình vuông CBEF
ra phía ngoài tam giác ABC. Tìm quỹ tích điểm E.
9. Cho đường tròn (O) với đường kính AB cố định, một đường kính MN thay đổi. Các
đường thẳng AM và AN cắt các tiếp tuyến tại B lần lượt tại P và Q. Tìm quỹ tích trực
tâm của các tam giác MPQ và NPQ.
10. Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định còn đỉnh A chạy trên một đường tròn
(O; R) cố định không có điểm chung với đường thẳng BC. Minh họa quỹ tích trọng
tâm G của tam giác ABC.
3. Minh họa điểm cố định của họ đường cong:


1)

(Cm) : y = x3 − mx2 − (2m2 − 7m + 7)x + 2(m − 1)(2m − 3)

2)

(Cm) : y =

3)
4)
5)

.

7)

(Cm) : y = x3 − (m + 1)x2 − (2m2 − 3m + 2)x + 2m(m − 1)

8)
4. Minh họa số giao điểm của đồ thị hàm số (C) với đường thẳng (Cm):
y=

1) (C)
y=

2) (C)

x −1
x +1
x+3
x +1

3

3) (C)
4) (C)
5) (C)
6) (C)
7) (C)
8) (C)

và (Cm)
và (Cm)


y = m−x

m
2

, với m là tham số.

, với m là tham số.

y=m

y=m

và (Cm)

và (Cm)

, với m là tham số.

, với m là tham số.

, với m là tham số.

y=m

, với m là tham số.

y = 3x + m

, với m là tham số.

5. Minh họa họ đường cong
đường thẳng cố định.

luôn tiếp xúc với một

BÀI TẬP THỰC HÀNH
SỬ DỤNG PHẦN MỀM HÌNH HỌC ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Minh họa quỹ tích, tìm hiểu bài toán quỹ tích
1. Cho hình chóp đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA = a và vuông góc với mặt
phẳng (ABCD). Gọi M l điểm bất kì trên đoạn BC, gọi K là hình chiếu của S lên DM.
Tìm quỹ tích điểm K.
2. Cho tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm trong hai mặt phẳng
vuông góc với nhau. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi M là điểm di
động trên đoạn SA. Tìm quỹ tích điểm P là hình chiếu của S trên mặt phẳng
(CDM).
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với đáy
tại A. Trên AD lấy điểm M bất kì. Gọi I là trung điểm của SC, H là hình chiếu của I
lên CM. Tìm quỹ tích của điểm H.
4. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác cân với AB = AC = a, BC
= b và AA’ = h. Gọi P là điểm bất kì trên đoạn AA’, E là hình chiếu của C’ lên
BP. Tìm quỹ tích của E.
2. Dựng thiết diện, tìm hiểu hình dạng thiết diện:
1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, điểm M di động trên tia A’C’; điểm N,
K lần lượt nằm trên đoạn thẳng AB, AD. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi
qua 3 điểm M, N, K và cho biết hình dạng của thiết diện đó ứng với những vị trí
của M.
2. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang ABCD có AD song song
với BC và AD = 2BC. Gọi E là trung điểm AD và O là giao điểm của AC và BE. I
là điểm di động trên cạnh AC khác với A và C. Qua I, ta vẽ mặt phẳng (α) song
song với (SBE). Tìm thiết diện tạo bởi (α) và hình chóp S.ABCD.


2)

,

3)

1
un = sin n +
n

n

un =

,

4)

sin n
n +1

,

5)

n

Có thể sử dụng các câu lệnh sau:
[> with(plots):

2 −1 +

)

2 +1

x

−2 2 =0

3)
pt:=(sqrt(2)-1)^x+(sqrt(2)+1)^x-2*sqrt(2)=0;
solve(pt,x);
2x - 1 + x2 - 3x + 1 = 0

4)
pt:=sqrt(2*x-1)+x^2-3*x+1=0;
solve(pt,x);
23 3x - 2 + 3 6- 5x - 8 = 0

5)
pt:=2*(3*x-2)^(1/3)+3*sqrt(6-5*x)-8=0;
solve(pt,x);
3x + 1 -

6 - x + 3x2 - 14x - 8 = 0

6)
.
pt:=sqrt(3*x+1)-sqrt(6-x)+3*x^2-14*x-8=0;

2 x2 - 16
x- 3

+ x- 3>

7- x
x- 3

3)
.
bpt:=sqrt(2*(x^2-16))/sqrt(x-3)+sqrt(x-3)>(7-x)/sqrt(x-3);
solve(bpt,{x});
4. Sử dụng phần mềm đại số để giải các hệ phương trình sau:
ìï
ïï x - 1 = y - 1
ïí
x
y
ïï
3
ïïî 2y = x + 1

1)
pt1:=x-1/x=y-1/y;
pt2:=2*y=x^3+1;
solve( {pt1,pt2}, {x,y} );
ìï x ( x + y + 1) - 3 = 0
ïï
í
2

í
ïï x 2y - y x - 1 = 2x - 2y
ïî

5)
pt1:=x*y+x+y=x^2-2*y^2;


pt2:=x*sqrt(2*y)-y*sqrt(x-1)=2*x-2*y;
solve( {pt1,pt2}, {x,y} );
ìï xy + x + 1 = 7y
ï
í 2 2
ïï x y + xy + 1 = 13y2
î

6)
pt1:=x*y+x+1=7*y;
pt2:=x^2*y^2+x*y+1=13*y^2;
solve( {pt1,pt2}, {x,y} );
ìï x4 + 2x3y + x2y2 = 2x + 9
ï
í 2
ïï x + 2xy = 6x + 6
ïî

7)
pt1:=x^4+2*x^3*y+x^2*y^2=2*x+9;
pt2:=x^2+2*x*y=6*x+6;
solve( {pt1,pt2}, {x,y} );

solve( {pt1,pt2}, {x,y} );
5. Sử dụng phần mềm đại số để tính các tích phân sau:
3

ò ln( x

2

)

- x dx

2

1)
int( ln(x^2-x), x=2..3 );
e

ò
2)

1

1+ 3ln x ln x
dx
x


int( (sqrt(1+3*lnx)*lnx)/x, x=1..e );
2


dx

òx

x2 + 4

5

5)
int( 1/(x*sqrt(x^2+4)), x=sqrt5..2*sqrt3 );
p
2

sin2x cosx
ò 1+ cosx dx
0

6)
int( (sin2x*cosx)/(1+cosx), x=0..pi/2 );
p
2

ò( e

sin x

7)

)


0

9)
int( (x-2)*e^2*x, x=0..1 );
e

òx

3

ln2 xdx

1

10)
int( x^3*lnx^2, x=0..e );
2

ò
11)

1

lnx
dx
x3


int( lnx/x^3, x=1..2 );

dx
x
- 1

òe
1

14)
int( 1/(e^x-1), x=1..3 );
1

x2 + ex + 2x2ex
ò 1+ 2ex dx
0

15)
int( (x^2+e^x+2*x^2*e^x)/(1+2*e^x), x=0..1 );
e

ò
1

ln x
x ( 2 + ln x)

2

dx

16)

maximize(x+sqrt(4-x^2), x);
y = - x2 + 4x + 21 -

- x2 + 3x + 10

2)
minimize(sqrt(-x^2+4*x+21)-sqrt(-x^2+3*x+10), {x});


maximize(sqrt(-x^2+4*x+21)-sqrt(-x^2+3*x+10), {x});
x +1

y=

x2 + 1

 −1; 2 



3)
trên đoạn
minimize((x+1)/sqrt(x^2+1),{x}, {x=-1..2});
maximize((x+1)/sqrt(x^2+1),{x}, {x=-1..2});
y = 5- 4x

4)
trên đoạn [-1; 1]
minimize(sqrt(5-4*x),{x}, {x=-1..1});
maximize(sqrt(5-4*x),{x}, {x=-1..1});


1
k=0 k !

å

2)
F=sum('1/k!', 'k'=0..infinity);
F=product( 1/k!, k=0..infinity );
∞



k=1



1 
2 ÷


∏ 1 − 4k

3)
Product( 1-1/(4*k^2), k=1..infinity ) = product( 1-1/(4*k^2), k=1..infinity );
8. Sử dụng phần mềm đại số để tính đạo hàm cấp 1, đạo hàm cấp 2 của các hàm số
sau:


(

4)

y = xx

dhb1:=diff(x^(x^2),x);
dhb2:=diff(x^(x^2),x$2);
x

5)

y = x + xx + xx

dhb1:=diff(x+x^x+x^(x^x),x);
dhb2:=diff(x+x^x+x^(x^x),x$2);
y=x x

6)
dhb1:=diff(x*abs(x),x);
dhb2:=diff(x*abs(x),x$2);
9. Sử dụng phần mềm đại số để tính giới hạn của các hàm số sau:
a)

3.2n - (1)n
y=
2n

limit((3.2^n-1^n)/2^n, x=infinity);
3n+2

b)


Fn = 2 2 + 1

An = p1 p2 ... pn − 2

b) Với mọi số nguyên dương n, ta luôn có
là một số nguyên tố.
2) Kiểm tra vị trí tương đối của hai đường thẳng trong mặt phẳng.
3) Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
11. Sử dụng phần mềm Maple viết chương trình khảo sát hàm số
a) y = ax3 + bx2 + cx + d, với a, b, c, d nhập từ bàn phím.
restart: with(student):
> a:=1;b:=-2;c:=1/4;d:=-5;
> print(`khao sat ham so y=a*x^3+b*x^2+c*x+d`);
> Y:= a*x^3+b*x^2+c*x+d;
> print(`tap xac dinh cua ham so la R;`);
> dy/dx=factor(simplify(diff(Y,x)));
> print(`giai phuong trinhY'=0`);
> solve(diff(Y,x)=0,{x});
> print(`ham so dong bien tren khoang`);
> solve(diff(Y,x)>0);
> print(`ham so nghich bien tren khoang`);
> solve(diff(Y,x) print(`tim cac gia tri cuc tri dia phuong`);
> Ymin_max:=extrema(Y,{},x);
> print(`tinh dao ham bac hai cua ham so`);
> z:=(simplify(diff(Y,x$2)));
> print(`diem uon cua do thi ham so`);
> solve({z=0,Y=y},{x,y});
> print(`tim giao diem voi truc tung`);

> A:=limit(Y/x,x=infinity);
> B:=limit(Y-A*x,x=infinity);
> ms:=solve(denom(Y)=0,x);
> if A=0 then print(`do thi ham so co duong tiem can ngang la Y=`,B);
> else if Ainfinity or A-infinity then print(`do thi ham so co duong tiem can
xien la Y=`,A*x+B);fi;fi;
> print(`do thi ham so co duong tiem can dung la X=`,ms);
> print(`tim dao ham cap 2 cua ham so:`);
> z:=simplify(diff(Y,x$2));
> print(`tim diem uon cua do thi ham so:`);
> solve({z=0,Y=y},{x,y});
> print(`do thi ham so giao voi truc tung tai:`);
> student[intercept](Y=y,x=0,{x,y});
> print(`do thi ham so giao voi truc hoanh tai:`);


> student[intercept](Y=y,y=0,{x,y});
> print(`do thi ham so co dang:`);
> plot(Y,x=-10..10,color=red);
y=

ax2 + bx + c
dx + e

d)
, với a, b, c, d, e nhập từ bàn phím.
Trong đó cần biết các câu lệnh: tính đạo hàm; giải phương trình, bất phương
trình; tìm các điểm cực trị; tìm tiệm cận; xác định các khoảng đồng biến, nghịch
biến; xác định các khoảng lồi, lõm; vẽ đồ thị hàm số; tìm giao điểm của đồ thị với
trục tung, trục hoành.