Nguyên lí Dirichlet trong giải toán hình học
GV: Nguyễn Thò Thanh Bình Trang 1
LỜI NÓI ĐẦU
Hiện nay các nguyên lí toán học, như nguyên lí
Dirichlet, nguyên lí biên đã được ứng dụng vào giải các
bài tập đại số và số học một cách hiệu quả và sâu sắc.
Riêng đối với việc đặt ra và giải các lớp bài toán hình
học theo nguyên lí này còn tản mạn.
Trong tiểu luận nhỏ này hy vọng bước đầu hệ
thống hóa một số dạng bài tập và đưa ra một số cách
giải.
Tuy nhiên đây chỉ là một tiểu luận nhỏ nên không
thể đề cập được hết các dạng bài tập và không tránh
khỏi sai xót . Rất mong được sự góp ý của các thầy, cô
các anh chò đi trước và các bạn đồng nghiệp .
Xin chân thành cảm ơn !
LỜI NÓI ĐẦU
Hiện nay các nguyên lí toán học, như nguyên lí
Dirichlet, nguyên lí biên đã được ứng dụng vào giải các
bài tập đại số và số học một cách hiệu quả và sâu sắc.
Riêng đối với việc đặt ra và giải các lớp bài toán hình
học theo nguyên lí này còn tản mạn.
Trong tiểu luận nhỏ này hy vọng bước đầu hệ
thống hóa một số dạng bài tập và đưa ra một số cách
giải.
Tuy nhiên đây chỉ là một tiểu luận nhỏ nên không
thể đề cập được hết các dạng bài tập và không tránh
khỏi sai xót . Rất mong được sự góp ý của các thầy, cô
các anh chò đi trước và các bạn đồng nghiệp .
Xin chân thành cảm ơn !
Nguyên lí Dirichlet trong giải toán hình học

Nguyên lý Dirichlet hiển nhiên là đơn giản, tuy vậy nhiều bài toán rất
khó, nguyên lý cho ta một cách giải hiệu quả. Cái khó là phải biết chọn đối
tượng làm “thỏ” và xây dựng các “lồng” như thế nào.
Sau đây sẽ trình bày một số ví dụ minh hoạ ứng dụng của nguyên lý trên
vào việc giải một số bài toán.
1.2 Ứng dụng.
Bài toán 1. Trong một tam giác đều có cạnh bằng 2 lấy 5 điểm bất kỳ. Chứng
minh rằng tồn tại 2 điểm cách nhau một khoảng không vượt quá 1.
Giải
Ta coi 5 điểm là 5 phần tử ( 5 thỏ ).
Bây giờ ta chia tam giác đều đã cho thành 1
4 tam giác đều nhỏ, có cạnh bằng 1.
(xem hình vẽ 1) và coi 4 tam giác là Hình 1
4 tập hợp (4 lồng)

Rõ ràng 4 tam giác chứa 5 điểm đã cho. Theo (MĐ1) sẽ có 1 tam giác nhỏ
chứa 2 điểm. Vì cạnh của tam giác đều nhỏ bằng 1 nên khoảng cách giữa 2
điểm đó không vượt quá 1. ( bằng 1 khi 2 điểm đó là các đỉnh của tam giác
nhỏ). Ta được đpcm.
Bài toán 2. Trong một hình chữ nhật kích thước 3x4, ta đánh dấu 12 điểm.
Chứng minh rằng tồn tại 3 điểm mà khoảng cách giữa chúng đôi một không
vït quá
5
.
Giải
Ta chia hình chữ nhật thành 5 hình đa
giác lồi (xem hình 2), 2 trong chúng
là hình thang vuông, số còn lại là ngũ giác.
Dễ thấy khoảng cách lớn nhất giữa hai
GV: Nguyễn Thò Thanh Bình Trang 3

hình vuông nhỏ có diện tích
25
Svà
cạnh
là
5
5

(hình
3).
Khi đó 25 hình vuông nhỏ chứa n điểm
được đánh dấu, mà
n = 25 k + 1 > k . 25
Theo (MĐ2) có 1 hình vuông nhỏ chứa ít nhất k+1 điểm được đánh dấu.
Vẽ hình tròn ngoại tiếp hình vuông nhỏ ấy. Dễ thấy rằng diện tích hình tròn
ngoại tiếp hình vuông nhỏ bằng
50
S
π
(đpcm).

GV: Nguyễn Thò Thanh Bình Trang 4
Hình 3
Nguyên lí Dirichlet trong giải toán hình học
Nhận xét :
Dựa vào bài toán trên ta có thể chọn S, n là những số cụ thể thoả mãn
các điều kiện đặt ra, ta sẽ được hưởng những bài toán cụ thể, hoặc có thể thay

rằng tại một hình tròn bán kính 1 chứa ít nhất n + 2 điểm đó.
Giải
Lấy điểm A bất kỳ trong 2n+3 điểm đã
cho. Xét hình tròn tâm A bán kính 1. Có
2 khả năng xảy ra.
1. Nếu 2n+2 điểm còn lại nằm trong
hình tròn tâm A thì bài toán hiển nhiên
đúng.
2. Ngược lại, tức là không phải tất cả 2n+2 điểm nằm trong hình tròn tâm A.
Khi đó trong 2n+2 điểm còn lại sẽ có 1 điểm B nào đó mà AB ≥ 1. Ta xét 2
hình tròn tâm A, tâm B bán kính bằng 1. Với C là 1 điểm bất kỳ trong 2n+1
điểm còn lại, ta xét bộ 3 điểm (A, B, C).
GV: Nguyễn Thò Thanh Bình Trang 5

A
B
n
π
Hình 5