Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I-LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong giáo dục vấn đề đổi mới, cải cách nhằm nâng cao chất lượng
dạy và học là một vấn đề được rất nhiều người quan tâm. Bản thân tôi là
một giáo viên dạy bộ môn toán Trung học phổ thông. Qua những năm công
tác trực tiếp giảng dạy và đặc biệt trong những năm học vừa qua tôi được
phân công dạy luyện thi đại học, chương trình đào tạo và bồi dưỡng học
sinh giỏi, tôi luôn suy nghĩ làm thế nào để học sinh và giáo viên vừa học
vừa nghiên cứu thuận lợi nhất, để cải tiến phương pháp giảng dạy sao cho
học sinh tiếp thu bài học nhanh nhất và đạt hiệu quả cao nhất.
Với đặc thù của bộ môn, tôi nhận thấy rằng việc học tập và nghiên
cứu theo các chuyên đề tạo điều kiện rất thuận lợi cho học sinh tiếp thu
kiến thức sâu sắc, nắm vấn đề logic và phân dạng bài tập. Tuy nhiên, việc
sử dụng các chuyên đề hiện nay còn gặp rất nhiều khó khăn như: Các
chuyên đề còn thiếu nhiều, chất lượng các chuyên đề chưa đáp ứng được
yêu cầu thực tế, tỉ lệ học sinh tiếp thu kiến thức theo chuyên đề rất ít.
Trong quá trình thực hiện còn có nhiều khó khăn cũng như thuận lợi
vậy tôi mạnh dạn đưa ra ý kiến để đồng nghiệp tham khảo và góp ý.
II-MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Giúp hình thành cho học sinh kỹ năng ứng dụng giải bài tập về “phương
trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên” trong
các bài tập ôn thi học sinh giỏi và ôn thi quốc gia dành cho bậc Trung học
phổ thông.
- Giáo viên tham gia dạy luyện thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi làm
căn cứ nghiên cứu.
III-ĐỐI TƯỢNG VÀ KHÁCH THỂ NGHIÊN CỨU
- Đối tượng: “phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông
không chuyên” và các đề tài liên quan.
- Khách thể: Học sinh Trung học phổ thông không chuyên toán.

1. Thực trạng chung:
Học sinh Trung học phổ thông không chuyên khi tiếp cận kiến thức
chuyên nội dung kiến thức khá trừu tượng nên việc tiếp thu kiến thức
còn nhiều khó khăn. Bên cạnh đó thời gian dành cho ôn luyện khá ít,
việc học tập nghiên cứu ở nhà còn hạn chế. Vì vậy, để các em học tập,
ôn luyện có hiệu quả thì bên cạnh sách giáo khoa mà các em có sẵn thì
hệ thống các chuyên đề mà giáo viên chuẩn bị là rất cần thiết.
2. Chuẩn bị thực hiện đề tài:
- Thông qua thực tiễn giảng dạy.
- Sưu tầm tài liệu, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp.
II-

CƠ SƠ LÝ LUẬN

1. Khái niệm:
Lí thuyết “phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ
thông không chuyên” là một phần lí thuyết được giảng dạy trong
trường phổ thông thuộc chương trình cơ bản, chương trình nâng cao và
chuyên ban của môn toán.
2. Ý nghĩa của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng dành cho học
sinh Trung học phổ thông:
Chuyên đề này và một số chuyên đề khác như: "phương trình hàm",
"lí thuyết đồng dư trong số học", "bất đẳng thức", "giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất", "hệ phương trình", “phương pháp tọa độ trong mặt
phẳng”… của cùng tác giả là trợ thủ đắc lực cho việc ôn luyện thi đại
học và luyện thi học sinh giỏi bộ môn toán Trung học phổ thông dành
cho học sinh không học theo chương trình chuyên ban.
Việc sử dụng các chuyên đề nói chung, chuyên đề “phương trình vô
tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên” nói riêng
Người thực hiện: Ths. NguyÔn TÊn Hßa



Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên

III-NỘI DUNG VÀ CÁCH THỰC HIỆN
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
1. PHƯƠNG PHÁP BIỂN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Dạng 1 : Phương trình

 x ∈ D (*)
A = B ⇔ A= B≥0⇔ 
A = B

Lưu ý: Điều kiện (*) được chọn tuỳ thuôc vào độ phức tạp của A ≥ 0 hay
B≥0

Dạng 2: Phương trình

B ≥ 0
A=B⇔
2
A = B

Dạng 3: Phương trình
A ≥ 0

A + B = C ⇔ B ≥ 0
(chuyển về dạng 2)

 A + B + 2 AB = C

Ví dụ 2: Giải phương trình sau :
x3 + 1
+ x + 1 = x2 − x + 1 + x + 3
x+3

Giải:
Điều kiện : x ≥ −1
Bình phương 2 vế phương trình?
Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào?
Ta có nhận xét :

x3 + 1
. x + 3 = x 2 − x + 1. x + 1 , từ nhận xét này ta có lời
x+3

giải như sau :
(2) ⇔

x3 + 1
− x + 3 = x2 − x + 1 − x + 1
x+3

Người thực hiện: Ths. NguyÔn TÊn Hßa
5


Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên

x = 1− 3
x3 + 1

phương trình luôn đưa về được dạng tích ( x − x0 ) A ( x ) = 0 ta có thể giải
phương trình A ( x ) = 0 hoặc chứng minh A ( x ) = 0 vô nghiệm , chú ý điều
kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía A ( x ) = 0 vô
nghiệm
b) Ví dụ
Ví dụ 1: Giải phương trình sau :

3 x 2 − 5 x + 1 − x 2 − 2 = 3 ( x 2 − x − 1) − x 2 − 3 x + 4

Giải:
2
2
Ta nhận thấy : ( 3x − 5 x + 1) − ( 3x − 3x − 3) = −2 ( x − 2 ) v

(x

2

− 2 ) − ( x 2 − 3x + 4 ) = 3 ( x − 2 )

Ta có thể trục căn thức 2 vế :
−2 x + 4

3 x 2 − 5 x + 1 + 3 ( x 2 − x + 1)

=

3x − 6
x − 2 + x 2 − 3x + 4
2



x+2
x +1
⇔ ( x − 2) 
−
− 3÷= 0 ⇔ x = 2
2
x2 + 5 + 3 
 x + 12 + 4
x+2
x+2
5
−
− 3 < 0, ∀x >
Dễ dàng chứng minh được :
3
x 2 + 12 + 4
x2 + 5 + 3

Ví dụ 3. Giải phương trình : 3 x 2 − 1 + x = x3 − 2
Giải :Đk x ≥ 3 2
Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình
3

=



x − 1 − 2 + x − 3 = x − 2 − 5 ⇔ ( x − 3) 1 +

(
) + 2 3 x2 − 1 + 4 
x+3

= 1+

2

(

x+3
3

)

2

x −1 +1 + 3
2


a
π 
với t ∈ [ 0; π ] \  
cos t
2

-Nếu bài toán có chứa

π
π
≤ t ≤ hoặc
2
2

a
 π π
với t ∈  − ;  \ { 0} hoặc
sin t
 2 2

 π π
x 2 + a 2 ta có thể đặt x = a .tan t với t ∈  − ; ÷
 2 2

Người thực hiện: Ths. NguyÔn TÊn Hßa
8


Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên


b)

3
1+ 1− x  ( 1− x) −


c)

1 − x − 2x 1 − x2 − 2 x2 + 1 = 0

2

x

e) x +

( 1 + x )  = 2 + 1 − x 2


x2 − 1

3

=

35
12

f) ( x − 3) ( x + 1) + 4 ( x − 3 )



)(

)

(

)(

)

x +1 −1

x +1 − x + 2 = 0 ,

2x + 3 − x + 2 = 0

Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm
thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương
trình tích mà ta xuất phát.
Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp
giải được thể hiện qua các ví dụ sau .

(

)

2
2
2

(

)(

)

Từ một phương trình đơn giản : 1 − x − 2 1 + x 1 − x − 2 + 1 + x = 0 ,
khai triển ra ta sẽ được pt sau
Bài 3. Giải phương trình sau : 4 x + 1 − 1 = 3 x + 2 1 − x + 1 − x 2
Giải:
Nhận xét : đặt t = 1 − x , pttt: 4 1 + x = 3 x + 2t + t 1 + x (1)

(

)

(

)

2
Ta rt x = 1 − t 2 thay vo thì được pt: 3t − 2 + 1 + x t + 4 1 + x − 1 = 0
Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t

(

∆ = 2 + 1+ x

)


4 ( 2 x + 4 ) + 16 2 ( 4 − x 2 ) + 16 ( 2 − x ) = 9 x 2 + 16

Ta đặt : t = 2 ( 4 − x 2 ) ≥ 0 . Ta được: 9 x 2 − 16t − 32 + 8 x = 0

2
2
2
Ta phải tách 9 x = α 2 ( 4 − x ) + ( 9 + 2α ) x − 8α làm sao cho ∆ t có dạng
chình phương .
Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt
được mục đích.
Bài tập: Giải các phương trình sau:
a) (4 x − 1) x 3 + 1 = 2 x 3 + 2 x + 1
b) x 2 − 1 = 2 x x 2 − 2 x

c) x 2 − 1 = 2 x x 2 + 2 x
d) x 2 + 4 x = ( x + 2) x 2 − 2 x + 4
3.3. Phương pháp đặt ẩn phụ chuyển về hệ.
a) Dạng thông thường: Đặt u = α ( x ) , v = β ( x ) và tìm mối quan hệ giữa
α ( x ) và β ( x ) từ đó tìm được hệ theo u,v. Chẳng hạn đối với phương
Người thực hiện: Ths. NguyÔn TÊn Hßa
10


Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên

u = m a − f ( x )

trình: a − f ( x ) + b + f ( x ) = c ta có thể đặt: 
từ đó suy ra

2

2
 y + 1 = 2 x
 x − y = −2( x − y )
  x + xy + y + 2 = 0(vn)

−1 − 5
  x 3 + 1 = 2 y


 x = y =
2

Vậy phương trình có 3 nghiệm
Bài tập: Giải các phương trình sau:
a) 3 2 − x = 1 − x − 1
b) 3 9 − x = 2 − x − 1
c) x − x − 1 − ( x − 1) x + x 2 − x = 0
b) Dạng phương trình chứa căn bậc hai và lũy thừa bậc hai:
d = ac + α
ax + b = c(dx + e) 2 + α x + β với 
e = bc + β
Cách giải: Đặt: dy + e = ax + b khi đó phương trình được chuyển thành
hệ:
2
dy + e = ax + b
( dy + e ) = ax + b
⇔
->giải

ax + b = c ( dx + e ) + α x + β với 
e = bc + β
Cách giải: Đặt dy + e = 3 ax + b khi đó phương trình được chuyển thành
hệ:
Người thực hiện: Ths. NguyÔn TÊn Hßa
11


Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên
3
 dy + e = 3 ax + b
( dy + e ) = ax + b
⇔

3
3
dy
+
e
=
c
dx
+
e
+
α
x
+
β
(

15
30 x 2 − 4 x ) = 2004 30060 x + 1 + 1
(
2
3
f) 3x − 5 = 8 x3 − 36 x 2 + 53 − 25

e)

)

(

3
3
3
3
h) x 35 − x x + 35 − x = 30

3

k)
l)

3

81x − 8 = x3 − 2 x 2 +

4
x−2


)

2
2
Ví dụ 1: Giải phương trình : ( 2 x + 1) 2 + 4 x + 4 x + 4 + 3 x 2 + 9 x + 3 = 0

(

⇔ ( 2 x + 1) 2 +

( 2 x + 1)

2

)

(

+ 3 = ( −3 x ) 2 +

( −3 x )

Người thực hiện: Ths. NguyÔn TÊn Hßa
12

2

)


2
2
2
2
(2 x − 1) ( x + x + 1) = (2 x + 1) ( x − x + 1)

Hàm số đồng biến
lim y = lim

x →−∞

x →−∞

2x
x + x + 1 − x2 − x + 1
2

= −1

lim y = 1.

x →+∞

+ BBT
x
y’
y

-∞


Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm:
Người thực hiện: Ths. NguyÔn TÊn Hßa
13

1
5


Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên
x2 − 4x + 5 = m + 4x − x2 .

Giải
2
- Đặt t = f ( x ) = x − 4 x + 5; f '( x ) =

BBT:
x
f’(x)
f(x)

0
-

x −2
x2 − 4x + 5

; f '( x ) = 0 ⇔ x = 2 .

2
0

Giải
- Điều kiện -1≤x≤1. Đặt t = 1 + x 2 − 1 − x 2 .
- Ta có
1 + x 2 ≥ 1 − x 2 ⇒ t ≥ 0; t = 0 ⇔ x = 0
t 2 = 2 − 2 1 − x 4 ≤ 2 ⇒ t ≤ 2; t = 2 ⇔ x = ±1
- Tập giá trị của t là  0; 2  (t liên tục trên [-1;1]). Phương trình đã cho trở

thành:
Người thực hiện: Ths. NguyÔn TÊn Hßa
14


Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên
m(t + 2) = −t 2 + t + 2 ⇔

−t 2 + t + 2
= m(*)
t+2

−t 2 + t + 2
;0 ≤ t ≤ 2. Ta có f(t) liên tục trên  0; 2  . Phương trình
t+2
f (t ) ≤ m ≤ max f (t )
đã cho có nghiệm khi (*) có nghiệm t thuộc  0; 2  ⇔ min
 0; 2 
0; 2 



- Xét f (t ) =

+

3/2
0

-

3 2

3

6
║
|

6− x − 3+ x
2 (6 − x )(3 + x )

+∞

3

t2 − 9
t2
9
= m ⇔ − +t+ = m
Vậy t ∈ [3;3 2] . Phương trình (1) trở thành t −
2
2
2


Ví dụ 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x 4 + x 2 + x = m( x 2 + 1)2 (1).
Giải:
Người thực hiện: Ths. NguyÔn TÊn Hßa
15


Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên

Phương trình đã cho tương đương
4( x 3 + x 2 + x )
4 x ( x 2 + 1) + 4 x 2
2x
2x 2
=m⇔
= 4 m ⇔ 2.
+(
) = 4m
2 2
2 2
2
(1 + x )
(1 + x )
1+ x
1 + x2
2x
Đặt t=
; t ∈ [-1;1].
1 + x2


Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên

C. KẾT LUẬN
1. Ý nghĩa
Bất cứ một vấn đề khoa học nào, khi đưa ra cũng cần có thời gian
kiểm nghiệm. Nhưng với việc sử dụng chuyên đề “phương trình vô tỷ
dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên” vào ôn luyện
thi đại học và luyện thi học sinh giỏi toán Trung học phổ thông là hết
sức cần thiết. Tuy nhiên tôi vẫn đưa vấn đề này ra trao đổi cùng mọi
người để trong thời gian tới việc ôn luyện thi đại học và luyện thi học
sinh giỏi toán được tốt hơn.
2. Hiệu quả
Qua thực tế giảng dạy và ôn tập cho học sinh thi đại học các năm như sau:
Năm 2013 có áp dụng các chuyên đề
Số học sinh tham
gia ôn thi
69

Điểm dưới 5,0

Điểm từ 5,0 đến
7,0
(27)39,1%

(31)44,9,%

Điểm trên 7,0
(11)16,0%

Năm 2014 có áp dụng các chuyên đề


Điểm trên 7,0
(11)16,0%


Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên

Để nâng cao chất lượng và hiệu quả trong luyện thi quốc gia, luyện
thi học sinh giỏi tôi xin kiến nghị như sau:
- Đối với học sinh học theo chương trình cơ bản cần tăng cường số
tiết tự chọn.
- Cần có kế hoạch lâu dài về việc ôn luyện.
Trên đây là ý kiến của tôi với kinh nghiệm thực tế, có tham khảo ý kiến
của nhiều đồng nghiệp có kinh nghiệm và tham khảo một số tài liệu
chuyên môn. Tuy nhiên, trong quá trình thực hiện không thể tránh được
những sai sót. Rất mong ý kiến đóng góp của đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Người thực hiện: Ths. NguyÔn TÊn Hßa
18


Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1- Bộ sách giáo khoa 10, 12 ( nhà xuất bản giáo dục ).
2- Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi bậc Trung học phổ thông môn
Toán (Vụ Trung học phổ thông Bộ Giáo Dục Và Đào Tạo).
3- Bộ đề ôn thi đại học (Nhà xuất bản giáo dục)
4- Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Trung học phổ thông


I. Thực trạng về trình độ và điều kiện học tập của học sinh

3

II. Cơ sở lý luận

3

3.

III. Nội dung và phương pháp thực hiện

5

4.

C. Kết luận

16

Tài liệu tham khảo

18

Người thực hiện: Ths. NguyÔn TÊn Hßa
20