Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải
phơng trình vô tỷ
Đề tài
:
Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9
Giải phơng trình vô tỷ
A. Nhận thức cũ- Giải pháp cũ:
Phơng trình vô tỷ là phơng trình chứa ẩn trong dấu căn .Trong chơng trình
đại số 9 ,phơng trình vô tỷ là một dạng toán khó. Khi gặp các phơng trình có chứa
căn tơng đối phức tạp, học sinh rất lúng túng không tìm ra cách giải và hay mắc
sai lầm khi giải Có những phơng trình không thể giải bằng các phơng pháp quen
thuộc. Khi gặp phơng trình vô tỷ , học sinh thờng chỉ quen một phơng pháp là
nâng luỹ thừa 2 vế để làm mất dấu căn. Nhng trong quá trình giải sẽ thờng mắc
phải một số sai lầm trong phép biến đổi tơng đơng phơng trình ,vì vậy dẫn đến
thừa hoặc thiếu nghiệm. Có một số phơng trình sau khi làm mất dấu căn sẽ dẫn
đến phơng trình bậc cao, mà việc nhẩm nghiệm để đa về phơng trình bậc nhất,
bậc 2 để giải lại rất là khó khăn . Vì vậy học sinh sẽ rất lúng túng và không tìm ra
lời giải .
B. Nhận thức mới giải pháp mới
I. Nhận thức mới:
Để khắc phục những tồn tại trên khi dạy cho học sinh giải phơng trình vô tỷ ,
giáo viên cần trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa và
kiến thức mở rộng, hình thành các phơng pháp giải một cách kịp thời. Với mỗi
phơng trình cần để cho học sinh nhận dạng phát hiện ra cách giải và tìm ra cách
giải phù hợp nhất , nhanh nhất. Qua mỗi dạng tổng quát cách giải và hớng dẫn
học sinh đặt đề toán tơng tự, từ đó khắc sâu cách làm cho học sinh. Nếu biết phân
dạng , chọn các ví dụ tiêu biểu , hình thành đờng lối t duy cho học sinh thì sẽ tạo
nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu và nâng cao hiệu quả
giáo dục .
Giỏo viờn: on Kớnh- Trng THCS Qu Xuõn
1

B
A
*



=

=
BA
A
BA
0
*
00 ===+ BABA
B. Cung cấp cho học sinh các phơng pháp thờng dùng để giải phơng ttrình vô
tỷ .
Ph ơng pháp 1. Nâng lên luỹ thừa để làm mất căn ở 2 vế của phơng
trình( thờng dùng khi 2 vế có luỹ thừa cùng bậc).
Ví dụ: Giải phơng trình

23151 = xxx
(1)
+ ở phơng trình (1) hai vế đều có căn bậc hai, học sinh có thể mắc sai lầm để
nguyên hai vế nh vậy và bình phơng hai vế để làm mất căn . Vì vậy giáo viên cần
phân tích kỹ sai lầm mà học sinh có thể mắc phải tức cần khắc sâu cho học sinh
tính chất của luỹ thừa bậc 2:
a = b

a

+= xxx
(*)
Ta lại gặp phơng trình có một vế chứa căn , học sinh có thể mắc sai lầm là bình
phơng tiếp 2 vế để vế phải mất căn mà không để ý hai vế đã cùng dấu hay cha.



)21315(449144
22
+=+ xxxx
042411
2
=+ xx

0)2)(211( = xx




=
=

2
11
2
x
x
Và trả lời phơng trình (*) có 2 nghiệm :
2;
11

C
1
: Sau khi tìm đợc
11
2
=x
và
2=x
thử lại (1) không nghiệm đúng Vậy (1) vô
nghiệm.
( cách thử lại này làm khi việc tìm TXĐ của phơng trình đã cho là tơng đối phức
tạp )













2
3
1
5
1

: Có thể dựa vào điều kiện của ẩn để xét nghiệm của phơng trình .
Điều kiện của (1) :
1x
do đó
1511515 <<< xxxxxx
Vế trái <0. VP

0 nên phơng trình (1) vô nghiệm .
Sau đó tôi ra một số bài tập tơng tự cho học sinh trình bày lời giải.
Bài tập t ơng tự : Giải phơng trình
a)
24314 =++ xxx
b)
31212 +=+ xxxx
Ví dụ 2: Giải phơng trình :

271
33
=++ xx
(2)
ở phơng trình (2) học sinh cũng nhận xét có chứa căn bậc 3 nên nghĩ đến việc
lập phơng hai vế :
Chú ý: + ở căn bậc lẻ:
12 +n
A
có nghĩa với
A
nên không cần đặt điều kiện
Giỏo viờn: on Kớnh- Trng THCS Qu Xuõn
4

Đến đây có thể học sinh rất lúng túng vì sau khi lập phơng hai vế, vế trái nhìn rất
phức tạp, giáo viên hớng dẫn học sinh nghĩ đến hằng đẳng thức:
( a+b)
3
=a
3
+b
3
+3a
2
b+3ab
2
=a
3
+b
3
+3ab(a+b)
Vậy (**) có thể viết :

( )
871.)7)(1(371
33
3
=++++++ xxxxxx
(I)
(đến đây thay
271
33
=++ xx
vào phơng trình) ta đợc:

33
=++ xx
c)
333
101212 xxx =++
( Đề thi vào toán tin -2000)
Giỏo viờn: on Kớnh- Trng THCS Qu Xuõn
5
Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải
phơng trình vô tỷ
Ph ơng pháp 2 : Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị
tuỵêt đối.
Phơng pháp này là: Khi gặp phơng trình mà biểu thức trong căn có thể viết đ-
ợc dới dạng bình phơng của một biểu thức thì sử dụng hằng đẳng thức :

AA =
2
để làm mất dấu căn đa về phơng trình đơn giản
Ví dụ: Giải phơng trình :

532813232222 =++++ xxxx
(3)
Nhận xét: + ở phơng trình (3) học sinh có thể nhận xét vế trái có cùng căn bậc
hai nên có thể bình phơng hai vế. Nhng ở phơng trình này sau khi bình phơng (lần
1) vẫn còn chứa căn nên rất phức tạp.
+ biểu thức trong căn có thể viết đợc dới dạng bình phơng của một biểu thức .
Giải : ĐK:
2
3
032 xx

x
Thì
43283225432132 ===++ xxxx
Giỏo viờn: on Kớnh- Trng THCS Qu Xuõn
6
( ) ( )
*)*(*;5432132
5432132
5164.322)32(1322)32(
22
=++
=++
=++++
xx
xx
xxxx
Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải
phơng trình vô tỷ
Giải ra
2
9
=x
(Không thoả mãn điều kiện)
+ Nếu
2
19
2
3
432 < xx
Thì

5324132 =++ xx
Khi
( )( )
0324132 + xx








2
3
0324
x
x
Giải ra:
2
19
2
3
x
Bài tập t ơng tự: Giải phơng trình
a)
1267242 =+++ xxxx
b)
21212 =++ xxxx
(Nhân 2 vế với
2

+6x+12=2(x
2
+3x+2)+8
H ớng giải :+ Đặt ẩn phụ là y=
23
2
++ xx
+ Chú ý: Đối với ĐK: x
2
+3x+2
0

có thể giải đợc nhng với những bài
toán mà biểu thức trong căn phức tạp thì có thể tìm giá trị của x rồi thử lại xem có
thoả mãn ĐK hay không
Giải: ĐK: x
2
+3x + 2
0

(
x+1) (x+2)
0









x
2
+3x+2=1/4
Giải ra:x
1
=
2
23 +
; x
2
=
2
23

Giỏo viờn: on Kớnh- Trng THCS Qu Xuõn
8
Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải
phơng trình vô tỷ
Đối chiếu với ĐK: x=
2
23 +
thoả mãn là nghiệm của PT (4)
VD2: Giải phơng trình:
071262
22
=++ xxxx
( Đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 10 năm 2003-2004)
H ớng dẫn : ĐK :
xxx + ;07126

)1(2)12()1()1(2)12)(1()5(
1
)20(
1
222
2
++=+
=

=+
uuuuuu
ux
u
ux



=++
=

0)1(212
01
2
uu
u
+ Nếu :
(101 == uu

=u
loại);
25
24
1
5
1
5
1
2
2
=






== xu
thoả mãn điều kiện
Vậy
25
24
;0 == xx
là nghiệm của (5)
c2:ở bài này có thể đặt :
bxax =+= 1;1
;
Đa về hệ phơng trình:


02
02
2
x
x

Đặt:
2
22 yxxy ==
;Ta có hệ:





=
=
xy
yx
2
2
2
2
Đây là hệ phơng trình đối xứng



=
=



== xx
VD
4
: Giải phơng trình:

20062006
2
=++ xx
Cách 1: Đặt
yx =+ 2006
ta có hệ phơng trình





=+
=+
2006
2006
2
2
yx
yx
giải ra









+=






+
+++=++
2006
2
1
2
1
2
1
2006
2
1
2
1
2006
2
1
4
1

3
3
b)
14122
2
+=++ xxx
; HD : Đặt ẩn phụ
xxy +=
2
c)
15932764
22
=+++++ xxxx
Giỏo viờn: on Kớnh- Trng THCS Qu Xuõn
11
Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải
phơng trình vô tỷ
B) Đặt 2 ẩn phụ:
ở dạng này ta đặt 2 ẩn phụ đa về hệ phơng trình 2 ẩn phụ, giải hệ tìm giá trị của
ẩn phụ, từ đó từ mối quan hệ giữa ẩn chính và ẩn phụ đặt lúc đầu đa về phơng trình
đơn giản.
VD
1
: Giải phơng trình:
112
3
=+ xx
(7)
Nhận xét: ở vế trái có căn bậc 2 và căn bậc 3 nên việc nâng luỹ thừa 2 vế để làm mất
dấu căn là rất khó.

=== xxx
( thoả mãn điều kiện)
Vậy phơng trình (7) có 3 nghiệm:
10;2;1
321
=== xxx
VD2: Giải phơng trình:
312
3
=++ xx
( Đề thi vào Phan Bội Châu 2005)
HD: Đặt
bxax =+= 1;2
3
; Ta có hệ:



=
=+
3
3
23
ba
ba
Giải ra:a=1; b=1 ; từ đó giải ra tìm x=3
Tổng quát: Đối với phơng trình có dạng:

cxfbxfa
mn

: Giải phơng trình:

( ) ( )
( )
0191313
3
2
3
2
3
2
=+++ xxx
(9)
Nhận xét: Nếu lập phơng hai vế thì cũng rất phức tạp vì không đa đợc về dạng a.b=0
nh ở phơng trình (2)

)13)(13(19
2
+= xxx
. Nên có thể đặt 2 ẩn phụ
Giải: Đặt
3
13 += xu

3
13 = xv
(9) trở thành:







=
=+
x
x
x
Vậy (9) có nghiệm x=0
Bài tập tơng tự: Giải phơng trình :
a)
1
2
1
2
1
3
=++ xx
b)
1
33
=++ bxax
Ngoài cách trên có một số bài khi đặt 2 ẩn phụ nhng không đa đợc về hệ PT thì ta
có thể tìm quan hệ của 2 ẩn phụ , thay vào hệ thức đã đặt lúc đầu để đa về phơng
trình đơn giản. Nh các VD sau:
VD
4
: Giải phơng trình:

15)2(2

+=+= xxbxa
và tìm mối quan hệ a, b từ đó
tìm x
Giải:
ĐK :
1x
)1)(1(5)1(2
22
++=+ xxxx
Đặt
1;1
2
+=+= xxbxa
Ta có: a
2
=x+1 ; b
2
= x
2
-x+1 ; x
2
+2=a
2
+b
2
Phơng trình đã cho trở thành:

0)2)(2(
5)(2
22

=
2
375
2
375
035
2
1
2
x
x
xx
( Thoả mãn điều kiện)
+ Với b=2a Ta có:
121
2
+=+ xxx
. Từ đó giải ra tìm x
( ở dạng này việc tìm mối quan hệ giữa các biểu thức ở hai vế là rất quan trọng .
Vì vậy trớc khi giải phải quan sát nhận xét để tìm ra phơng pháp giải phù hợp).
VD5:Giải phơng trình:

30239)53(2
22
++=++ xxxx
( Đề thi vào Phan Bội Châu 2004-2005)
HD : Hãy biểu diễn để thấy mối quan hệ các biểu thức:
Giỏo viờn: on Kớnh- Trng THCS Qu Xuõn
14
Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải


+=+
=+

932
3
1
9
2
2
xx
x
; Giải ra: x=0
VD5: Giải phơng trình:
);8(21625
23
+=+ xx
( Đề thi vào Phan Bội Châu 2005)
HD: Biến đổi
)8(2)42)(2(25
22
+=++ xxxx
Mối liên hệ:
)42()42(8
22
+++=+ xxxx
;
Đặt:
bxxax =+=+ 42;)2(2
2

=++++=+ vuvuuvvuvu
Đặt: u+v=t. Ta có phơng trình: t
2
-t-20=0
Giải ra:



=
=
)(4
5
loait
t
Do đó:
5132 =+++ xx
Đến đây dùng phơng pháp 1 để giải: x=3
C) Đặt nhiều ẩn phụ:
Giỏo viờn: on Kớnh- Trng THCS Qu Xuõn
15
Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải
phơng trình vô tỷ
VD1: Giải ph ơng trình :
23222312
2222
++++=+ xxxxxxx
Nhận xét: + Phơng trình này nhìn rất phức tạp , nếu nghĩ đến phơng pháp bình phơng
2 vế thì sẽ đa về một phơng trình phức tạp .
+ Việc đặt điều kiện để các căn thức có nghĩa có thể phức tạp , nên ta giải phơng
trình tìm x rồi thử lại.

+ B
2
= 0 hoặc A.B=0
ở phơng pháp này ta sử dụng A
2
+ B
2
= 0 <=> A = B = 0 ; A.B =0
Khi A=0 hoặc B=0
Ví dụ: Giải phơng trình:
32254
2
+=++ xxx
Nhận xét: + Sử dụng các phơng pháp 1, 2, 3 đều khó giải
+ Biến đổi đa về dạng A
2
+ B
2
= 0
Giải:Điều kiện:
2
3
x
Giỏo viờn: on Kớnh- Trng THCS Qu Xuõn
16
Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải
phơng trình vô tỷ









+=
+=
yyx
xxy
2
2
Từ đó suy ra:



=
=
yx
yx
2
rồi giải tìm x
+ Ta cũng có thể nhân 2 vế của phơng trình với 2 rồi đa về dạng:

0)114(4
22
=++ xx
giải ra x=0 ( cách giải này đơn giản hơn)
Bài tập tơng tự: Giải phơng trình
a)
126266

22
22
baba
ba
; Từ đó giải ra tìm a;b và tìm đợc x
Giỏo viờn: on Kớnh- Trng THCS Qu Xuõn
17
Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải
phơng trình vô tỷ
Bài tập tơng tự : Giải phơng trình
5
3
2314
+
=+
x
xx
HD: Nhận xét
22
)23()14(3 +=+ xxx
Từ đó biến đổi đa về dạng :A.B =0
Ph ơng pháp 5 : Dùng bất đẳng thức
Sử dụng điều kiện xảy ra dấu = ở bất đẳng thức không chặt.
VD
1
: Giải phơng trình:
2
14
14
=

x
Do đó (11)
14 = xx
Giải ra:
32 =x
thoả mãn điều kiện
Vậy (11) có hai nghiệm
32 =x
VD
2
: Giải phơng trình:

222
2414105763 xxxxxx =+++++
(12)
Nhận xét:+ở phơng trình này ta không nên bình phơng hai vế
+ Xét các biểu thức trong căn và ngoài căn.
3x
2
+6x+7 = 3(x+1)
2
+4; 5x
2
+10x + 14 = 5(x+1)
2
+ 9; 4-2x-x
2
=-(x+1)
2
+5 từ đó có

+
+
xx
xx
xx
VD
3:
Giải phơng trình:

271064
2
+=+ xxxx
Nhận xét: Nếu bình phơng 2 vế sẽ đa về phơng trình bậc 4, khó giải
H ớng dẫn : Sử dụng BĐT so sánh 2 vế
Giải: ĐK:
64 x
Ta thấy:
22)5(2710
22
+=+ xxx
Mặt khác áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

( )
( )
( )
264
42.264116.14.1
22
2
+

1
4
1
22
2
2
Đa về dạng:
(
)
4
11
22
2
2
=








+++
x
x
xx
rồi áp dụng BĐT Bunhiacopxki
Tổng quát cách giải:
+ Biến đổi pt về dạng f(x)=g(x) mà

1235
123
25
123
45
3
46
4
6
4
6
<





>
<






>
<
xx
x
x

35
+=++ xxx
Giải: Nhận thấy x=0 là một nghiệm của phơng trình
+Nếu x<0 thì
11;28;11
3
35
>+<+< xxx
Vậy VP <1; VT>1 nên phơng trình vô nghiệm .
+ Nếu x>0 thì VP<1; VT>1 nên phơnhg trình vô nghiệm.
Vậy x=0 là nghiệm duy nhất của phơng trình
BT tơng tự: Giải phơng trình
92123228
3
2
3
2
+=+++++ xxxx
Giỏo viờn: on Kớnh- Trng THCS Qu Xuõn
20
Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải
phơng trình vô tỷ
H ớng dẫn : TXĐ: x

1
Nhận thấy x=2 là nghiệm
Chứng tỏ: 1

x<2 thì phơng trình vô nghiệm
x>2 phơng trình vô nghiệm