Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ dạy cho học sinh ở cấp THCS
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
DẠY CHO HỌC SINH CẤP THCS
A – ĐẶT VẤN ĐỀ:
Qua dự giờ các đồng nghiệp, qua thực tiễn giảng dạy môn Toán ở THCS đặc biệt là
thời gian tôi được phân công giảng dạy và ôn tập môn Toán ở hai lớp 9I, 9H tôi nhận thấy
học sinh rất lúng túng trước các bài toán liên quan đến phương trình vô tỉ, các em không
biết bắt đầu từ đâu và giải quyết như thế nào. Vì vậy khi gặp các bài toán về phương trình
vô tỉ thì các em cho đó là bài toán khó, bên cạnh đó có một số học sinh khá khi gặp bài
toán về phương trình vô tỉ mà không giải được bằng phương pháp dùng định nghĩa căn
bậc hai số học hoặc dùng hằng đẳng thức
2
A A=
là cảm thấy bế tắc.
Trước sự lúng túng, khó khăn của học sinh như vậy đã thúc đẩy và tạo động lực
cho tôi tìm tòi nghiên cứu các tài liệu và ghi chép lại các vấn đề liên quan đến phương
trình vô tỉ và cuối cùng tổng hợp lại tôi đã tích lũy được “Một số phương pháp giải
phương trình vô tỉ dạy cho học sinh ở cấp THCS”
Để áp dụng kinh nghiệm này, giáo viên cần phải dạy cho học sinh cách giải phương
trình vô tỉ từ đơn giản đến phức tạp để học sinh thấy được phương trình vô tỉ không phải
là khó và đặc biệt để cho học sinh làm quen từ từ, tạo động cơ để học sinh tiếp thu và vận
dụng tốt hơn.
Sau đây tôi xin được trình bày một số phương pháp giải phương trình vô tỉ và kèm
theo các bài tập cùng dạng để học sinh rèn luyện thêm.
B – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
I. Phương pháp nâng lên lũy thừa:
1) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
3 2 3x+ −
(1)
Giải: Điều kiện: 2x - 3

– 6x + 9

⇔
x
2
– 8x + 12 = 0

⇔
(x – 2)(x – 6) = 0

⇔
x
1
= 2; x
2
= 6
Giá trị x
1
= 2 (loại) vì không thỏa mãn (**)
Giá trị x
1
= 6 thỏa mãn (*) và (**) là nghiệm của phương trình (1)
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 6.
Nhận xét: Nếu không đặt điều kiện (**) thì ta sẽ sai lầm khi nhận x = 2 là nghiệm của
phương trình (1). Chú ý rằng từ phương trình (2) suy ra phương trình (3) nhưng từ phương
trình (3) suy ra phương trình (2) phải có điều kiện x
≥
3. Do đó khi ghiair loại phương
trình này cần chú ý cho học sinh đặt điều kiện để sao cho 2 vế của phương trình đều không
âm rồi mới bình phương hai vế. Sau khi giải xong cần đối chiếu điều kiện để kết luận

(6)

⇔
3
(2 1)x x x
+ = −

⇔
3
(2 1)x x x+ = −

⇔
2
(2 1 ) 0x x x+ + =

⇔
2
( 1) 0x x + =
⇔
x
1
= 0; x
2
= -1
Thử lại: thay x
1
= 0 vào phương trình (4) ta thấy thỏa mãn
thay x
2
= -1 vào phương trình (4) không thỏa mãn

(1)
⇔
1 2 1 1 1 2 1 1 2x x x x
− + − + + − − − + =

⇔

1 1 1 1 2x x− + + − − =

⇔
1 1 1 1x x− + − − =
(2)
* Nếu x > 2 thì (2)
⇔
1 1 1 1x x− + − − =

⇔

1 1x − =

⇒
x = 2 không thuộc
khoảng đang xét.
* Nếu
1 2x
≤ ≤
thì (2)
⇔

1 1 1 1x x− + − − =

2
A A=
để giải.
2) Bài tập tự luyện thêm:
a)
2 2
4 4 6 9 1x x x x− + + − + =
b)
4 4 9 6 1x x x x+ − + + − =
c)
6 4 2 11 6 1x x x x+ − + + + − =
III.Phương pháp đặt ẩn phụ.
1) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2 2
3 21 18 2 7 7 2x x x x+ + + + + =
(1)
Giải: Điều kiện:
2
7 7 0x x+ + ≥
Đặt
2
7 7 0x x y+ + = ≥
thì
2 2
7 7x x y+ + =
. Khi đó:
(1)
⇔
3y

( 1)( 6) 0 1; 6x x x x+ + = ⇔ = − = −
Các giá trị x
1
= -1; x
2
= - 6 thỏa mãn
2
7 7 0x x+ + ≥
.
Vậy nghiệm của phương trình (1) là: x
1
= -1; x
2
= - 6.
Nhận xét: Đối với cách giải này giáo viên cần chú ý cho học sinh cách đặt ẩn phụ thích
hợp, điều kiện của ẩn phụ để có thể đưa phương trình về phương trình đơn giản hơn hoặc
phương trình không chứa căn thức.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
3 3
25 3 4x x+ + − =
(2)
Giải: Đặt
3
25 x a+ =
;
3
3 x b− =
. Ta có a + b = 4
⇒
b = 4 – a

( 1)( 3) 0 1; 3a a a a− − = ⇔ = =
4
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ dạy cho học sinh ở cấp THCS
*Với a
1
= 1 khi đó
3
1
25 1 25 1 24x x x
+ = ⇔ + = ⇔ = −
*Với a
2
= 3 khi đó
3
2
25 3 25 27 2x x x
+ = ⇔ + = ⇔ =
Nhận xét: Giáo viên cần lưu ý cho học sinh có thể chọn hai ẩn phụ trong một bài toán
miễn rằng đưa về được biểu thức đơn giản hơn hoặc không chứa căn thức nữa.
2) Bài tập luyện thêm:
Giải các phương trình:
a)
2 2
2 5 2 1x x x x
− + = − −
b)
3
2 1 1x x− + − =
c)
3 3

2 3
3
3
0
y z
z y
z
+ =


− =


≥

Rút z từ phương trình (2) ta có z = 3 – y. Thay vào phương trình (3) ta có:
3 2 2
6 6 0 ( 1)( 6) 0y y y y y− + − = ⇔ − + =
1 2y z⇔ = ⇒ =
thỏa mãn (4).
Từ đó x = 3 thỏa mãn (*). Vậy phương trình (1) có nghiệm là x = 3.
Nhận xét: Khi giải phương trình dạng này giáo viên cần lưu ý cho học sinh hội tụ các
điều kiện của bài toán lập thành một hệ, chúng ta phải giải và tìm các yếu tố thỏa mãn hệ
phương trình đó rồi kết luận nghiệm của phương trình.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2
1 1
2
2
x

x y

+ =


+ =


(I)
Đặt S = x + y; P = x.y hệ phương trình (1) trở thành hệ:
2
2 2
2
S P
S P

− =

=

(II)
Dễ dàng tìm được hệ phương trình (II) có nghiệm P = 1; S = 2 và P =
1
2
−
; S = -1
*Với P = 1; S = 2 thì x; y là nghiệm của phương trình: x
2
– 2x + 1 = 0


thỏa mãn.
Vậy nghiệm của phương trình (2) là: x = 1; x =
1 3
2
− −
.
2) Bài tập rèn luyện thêm:
Giải các phương trình sau:
a)
3
3
2 2 1 1x x− = +
b)
3 3 3
1 2 3 0x x x+ + + + + =
V. Phương pháp bất đẳng thức:
Đối với phương pháp bất đẳng thức có thể sử dụng để giải nhiều dạng phương trình vô
tỉ. Ta xét một số dạng sau:
Dạng 1: Giải phương trình vô tỉ bằng cách đánh giái hai vế.
Xét phương trình
( ) ( )
f x g x=
xác định trên miền D
6
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ dạy cho học sinh ở cấp THCS
Nếu
( ) ( )
( ) ( )
f x m x
g x m x

3( 1) 4 5( 1) 9 4 9 5x x= + + + + + ≥ + =
;
VP = 4 – 2x – x
2
= 5 – (x + 1)
2

≤
5
Do đó để
2 2 2
3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x
+ + + + + = − −
thì cả hai vế phải đều bằng 5, xảy
ra khi x = -1
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = -1
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2 2 2 2
1
3 1 1 (7 4)
2 2
x x x x x x x− + − − + = − +
(2)
Giải: Điều kiện:
1x ≥
hoặc
1
3
x ≤ −
Ta biến đổi vế trái: Áp dụng BĐT Bunhiacovski cho hai bộ số (1; 1; -x) và (

2 2
(5 ).2( 2)x x x
− +
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = -1 và x =
4
3
Vậy nghiệm của phương trình (2) là x = -1.
7
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ dạy cho học sinh ở cấp THCS
Nhận xét: Khi giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá hai vế ta có thể sử
dụng các BĐT như Côsi, Bunhiacovski để đánh giá từng vế, đặc biệt là dựa vào điều kiện
xẩy ra dấu “=” của chúng.
2) Bài tập rèn luyện thêm:
Giải các phương trình sau:
a)
1 5 1 3 2x x x
− − − = −
b)
4 1
2
4 1
x x
x
x
−
+ =
−
c)
2
4

4
3 4x x
+ >
− −
Do đó phương trình (3) không có nghiệm trong khoảng (2; 3)
*Với x < 2; ta có:
4
2
3 x
<
−
và
8
2
4 x
<
−
nên
4 8
4
3 4x x
+ <
− −
Do đó phương trình (3) không có nghiệm trong khoảng (-
∞
;2)
Vậy phương trình (3) có nghiệm duy nhất là x = 2.
Nhận xét: Để giải phương trình vô tỉ bằng cách này điều quan trọng nhất mà giáo viên
cần lưu ý cho học sinh là phải đoán được nghiệm của nó. Để đoán được nghiệm ta cần
chia khoảng chứa nghiệm và xét trường hợp đặc biệt để tìm ra nghiệm của phương trình.

;0)
Vậy phương trình (4) có nghiệm duy nhất là x = 0.
2) Bài tập rèn luyện thêm:
Giải các phương trình sau:
a)
2 2
3 (2 9 3) (4 2)(1 1 ) 0x x x x x+ + + + + + + =
b)
3 3
3 6 1x x+ − − =
c)
3 3 3
1 2 3 0x x x+ + + + + =
VI. Phương pháp dung biểu thức liên hợp
Ta biết rằng
( )( )a b a b a b+ − = −
với a
≥
0, b
≥
0 trong đó
a b+
và
a b−

là hai biểu thức liên hợp của nhau mà xuất hiện nhân tử chung với một biểu thức khác của
phương trình thì sau khi đặt nhân tử chung ta chuyển về phương trình đơn giản hơn.
1) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
3

x x x
+
+ = + + −
⇔
( 3)( 4 1 3 2 5) 0x x x+ + + − − =

⇒
4 1 3 2 5x x+ + − =
(do x + 3 > 0) (2)
Ta có thể giải phương trình (2) theo phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
Ta nhận thấy x = 2 là nghiệm của phương trình (2). Thật vậy:
*Với x > 2 thì
4 1 3x + >
và
3 2 2x − >
nên
4 1 3 2 5x x+ + − >
Do đó phương trình (2) không có nghiệm trong khoảng (2;+
∞
)
9
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ dạy cho học sinh ở cấp THCS
*Với
2
2
3
x≤ <
thì
4 1 3x + <
và

+ ≥

Nhân cả hai vế của phương trình (3) với biểu thức lien hợp của vế trái ( biểu thức này
luôn dương) ta được phương trình:
8 1( 12 13 4 13)x x x x= + + + +
Từ (3) ta có phương trình:
1 1( 12 13 4 13)x x x x+ = + + − +
Trừ từng vế của hai phương trình trên ta có phương trình:
7 1 2 ( 1)(4 13)x x x− = + +
(4)
Dùng phương pháp nâng lên lũy thừa đưa phương trình (4) về phương trình bậc hai rồi
giải ta tìm được nghiệm là:
1 2
17
3;
33
x x
−
= =
.
Thử lại thấy
2
17
33
x
−
=
không thỏa mãn (3). Vậy pt (3) có nghiệm duy nhất là x = 3
2) Bài tập rèn luyện thêm:
Giải các phương trình sau: