Chơng 1
Các hệ thống dữ liệu lấy mẫu và phép biến đổi z Các hệ thống dữ liệu lấy mẫu hay còn gọi là các hệ thống điều khiển số làm việc với
các tín hiệu rời rạc theo thời gian. Các hệ thống điều khiển này khác với các hệ thống điều
khiển tơng tự trong đó các tín hiệu là liên tục theo thời gian. Một máy tính số có thể đợc sử
dụng nh một bộ điều khiển số. Khái niệm máy tính số đợc bao hàm các thiết bị tính toán
đợc xây dựng từ các vi điều khiển công nghiệp hay máy tính các nhân (PC).

Một bộ chuyển đổi từ số sang tơng tự (A/D converter) thờng đợc dùng để kết nối
đầu ra của máy tính phục vụ cho quá trình điều khiển các thiết bị chấp hành vì tín hiệu điều
khiển các thiết bị chấp hành này là tín hiệu tơng tự. Một bộ chuyển đổi tơng tự sang số
(A/D converter) đợc sử dụng để đọc các tín hiệu vào máy tính số. Các thời điểm tín hiệu
đợc đọc vào đợc gọi là các thời điểm lấy mẫu.

Sơ đồ khối một hệ thống điều khiển số có phản hồi đợc trình bày trên hình 1.1. Máy
tính số là trung tâm của hệ thống điều khiển chứa chơng trình điều khiển. Bộ biến đổi A/D
chuyển tín hiệu sai lệch tơng tự thành tín hiệu số thuận tiện cho việc xử lý bằng máy tính số.
Tại đầu ra của máy tính số, bộ biến đổi D/A chuyển tín hiệu số thành tín hiệu tơng tơng tự
để điều khiển thiết bị chấp hành. Hình 1.1. Sơ đồ khối hệ thống điều khiển số

1.1. Quy trình lấy mẫu và giữ mẫu
Trớc tiên ta định nghĩa bộ lấy mẫu. Một bộ lấy mẫu về cơ bản có thể xem nh là một
công tắc đợc đóng sau mỗi chu kỳ là T giây nh trình bày trên hình 1.2. Khi tín hiệu liên tục
ký hiệu là
( )
r t đợc lấy mẫu tại các khoảng thời gian T , tín hiệu rời rạc đầu ra đợc ký hiệu

H×nh 1.3. TÝn hiÖu
( )
r t sau khi lÊy mÉu
H×nh 1.4. Chuçi xung delta

Xung delta ®−îc biÓu diÔn nh− sau:

( ) ( )
n
P t t nT
δ
∞
=−∞
= −
∑
(1.2)

Do ®ã ta cã

( ) ( ) ( )
*
n
r t r t t nT
δ
∞
=−∞
= −


BiÕn ®æi Laplace ph−¬ng tr×nh (1.5) ta cã:

2T 3T 4T
5T
6T
T
0
t
( )
P t
T
2T 3T 4T
5T
6T
2T 3T 4T
5T
6T
T
0
0
t
t
( )
r t
( )
*
r t
( ) ( )
*


( ) ( ) ( )
G t H t H t T= (1.7)

ở đây
( )
H t là hàm bớc nhảy và nếu biến đổi Laplace phơng trình (1.7) ta có

( )
1 1
Tp Tp
e e
G p
p p p


= = (1.8) Hình 1.6. Phản ứng xung của giữ bậc không

Một bộ lấy mẫu và giữ bậc không có thể bám hay thể hiện gần trung thực tín hiệu tơng
tự đầu vào nếu thời lấy mẫu T đủ nhỏ so với sự biến thiên quá độ của tín hiệu. Đáp ứng của
một bộ lấy mẫu và giữ bậc không đối với một đầu vào tín hiệu dốc (ramp) đợc trình bày nh
trên hình 1.7.

Giữ bậc
không (ZOH)
( )
r t

( )
r t ký hiệu là
( ) ( )
Z r t R z

=

nên ta có

( ) ( )
0
n
n
R z r nT z


=
=

(1.10)

Chú ý rằng biến đổi z của
( )
r t bao gồm một chuỗi vô hạn của các biến z có dạng nh
sau

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
0 2 3 ...R z r r T z r T z r T z


1 2 3
0 0
1 ...
n n
n n
R z r nT z z z z z


= =
= = = + + + +
( )
1
z
R z
z
=

, đối với 1z >

1.2.2. Hàm ramp
Hàm ramp hay còn gọi là hàm dốc đợc định nghĩa nh sau
T 2T
3T
4T
5T 6T
t
T


1 2
3 9 6z z

+

1 2
7 6z z
1 2 3
7 21 14z z z

+

2 3
15 14z z
2 3 4
15 45 30z z z

+
...

Ta có hệ số của chuỗi lũy thừa nh sau:

( )


Nhợc điểm của phơng pháp chuỗi lũy thừa là phơng pháp này không đa đến dạng
chính xác của kết quả cần tìm. Khi cần tìm dạng chính xác của hàm thời gian, chúng ta cần
sử dụng các phơng pháp khác.

1. Phơng pháp 2: Khai triển thành các phân số riêng
Tơng tự nh kỹ thuật biến đổi Laplace ngợc, một hàm
( )
Y z có thể đợc khai triển
thành các phân số riêng. Sau đó chúng ta dùng bảng của các biến đổi z của các hàm thông
dụng để tìm ra biến đổi z ngợc của các phân số này. Nếu nhìn vào bảng biến đổi z, chúng
ta thấy chỉ có thành phần z ở tử số. Do đó sẽ thuận tiện hơn nếu chúng ta tìm biến đổi z của
các phân số riêng của hàm
( )
/y z z và sau đó nhân các phân số riêng này với z để xác định
đợc
( )
y z .

Ví dụ 1.6:
Tìm biến đổi z ngợc của hàm sau:

( )
( )( )
1 2
z
y z
z z
=



Cho nên

( )
( )
( )
2
1 1 1 1
2 2
1
j T j T
j T j T
j T j T
z e e
R z
j z e z e j
z z e e




= =
r nT
n T n

<

=


Trớc tiên ta có

cos( )
2
jx jx
e e
x

+
=

Cho nên

( )
2 2 2
jn T jn T jn T jn T
e e e e
r nT


= + hay

( )
( )
( )
( )
2
cos
2 cos 1
z z T
R z
z z T



=
+1.2.7. Hàm xung rời rạc
Hàm xung rời rạc đợc định nghĩa nh sau

( )
1 0

1 0
0
n k
n k
n k

= >

=


( ) ( )
0 0
n n n
n n
R z r nT z z z


= =
= = =
1.2.9. Bảng biến đổi z
Bảng biến đổi z của các hàm thông dụng đợc trình bày nh trên bảng 1.1. Khi biết
dạng biến đổi z, chúng ta quan tâm đến đáp ứng đầu ra
( )

( )
G z bằng cách tra bảng với các biến đổi Laplace và biến đổi z
tơng đơng.

-Phơng pháp 3: Giả thiết chúng ta có biến đổi Laplace của một hàm là
( )
G p . Mặt
khác ta có thể biểu diễn
( ) ( ) ( )
/G p N p D p= và sử dụng công thức sau đây để xác định
biến đổi z:

( )
( )
( )
'
1
1
1
1
n
q
n
x T
n
n
N x
G z
D x
e z

( )
t a


( )
k a T


pt
e


a
z


1
1
( )
kT
1
p

1
z
z


2 1
T z z
z
+


at
e


akT
e


1
p a+

aT
z
z e



at
te


akT
kTe


( )
( )
1
1
aT
aT
z e
z z e


( )
sin akT
( )
sin akT
2 2
a
p a+

( )
( )
2
sin
2 cos 1
z aT
z z aT +

( )
Xác định biến đổi z tơng đơng của hàm trên.

Lời giải:
-Phơng pháp 1: Sử dụng biến đổi Laplace ngợc
Chúng ta có thể biểu diễn
( )
G p là một tổng của các phân số nh sau:

( )
( )( )
1 1 1
3 2 2 3
G p
p p p p
= = +
+ + + + Biến đổi Laplace ngợc của
( )
G p là:

( ) ( )
1 2 3t t
g t L G p e e


= =

T T
T T
T T
z e e
z z
G z
z e z e
z e z e

= =

-Phơng pháp 2: Sử dụng bảng biến đổi z
Từ bảng biến đổi z của một số hàm thông dụng (bảng 1.1) ta có biến đổi z của
( )
1 / p a+ là
( )
/
aT
z z e

. Do đó biến đổi z của hàm
( )
G p là


f nT là
( )
F z và biến đổi z của
( )
g nT là
( )
G z . Khi đó ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Z f nT g nT Z f nT Z g nT F z G z

= =

(1.13)

( ) ( ) ( )
Z af nT aZ f nT aF z

= =

(1.14)

ở đây a là một đại lợng vô hớng

2. Tính chất dịch trái
Giả sử biến đổi z của
( )
f nT là
( )
F z và

Giả sử biến đổi z của
( )
f nT là
( )
F z và
( ) ( )
y nT f nT mT= . Khi đó

( ) ( ) ( )
1
0
m
m i
i
Y z z F z f iT mT z


=
=

(1.17)

Nếu
( )
0f nT = đối với 0k < khi đó ta có

( ) ( )
m
Z f nT mT z F z


5. Tính chất giá trị đầu
Giả sử biến đổi z của
( )
f nT là
( )
F z . Khi đó giá trị đầu của đáp ứng theo thời gian
đợc xác định nh sau:

( ) ( )
lim lim
n z
f nT F z

= (1.20) 6. Tính chất giá trị cuối
Giả sử biến đổi z của
( )
f nT là
( )
F z . Khi đó giá trị cuối của đáp ứng theo thời gian
đợc xác định nh sau:

( )
( )
( )
1
1
lim lim 1


Tìm biến đổi z của hàm
( )
5r nT .

Lời giải:
Sử dụng tính chất tuyến tính ta dễ dàng suy ra

( ) ( )
( )
2
5
5 5
1
Tz
Z r nT Z r nT
z

= =

Ví dụ 1.3:
Cho biểu thức của biến đổi z nh sau:

( )
( )
( )
2



=
+

2
1
0,792 0,792
lim 1
0, 416 0,208 1 0, 416 0,208
z
z z

= = =
+ +1.2.12. Biến đối z ngợc
Biến đổi z ngợc tơng tự nh biến đổi Laplace ngợc. Nói một cách tổng quát, biến
đổi z là tỷ số của các đa thức đối với biến z với bậc của đa thức tử số không đợc lớn hơn
bậc của đa thức mẫu số. Bằng phép biến đổi z ngợc, chúng ta có thể tìm đợc chuỗi kết
hợp với các đa thức biến đổi z đã cho. Khi xác định đợc biến đổi z ngợc, chúng ta quan
tâm đến đáp ứng thời gian của hệ thống có nghĩa là chúng ta zác định đợc hàm thời gian
( )
y t từ hàm
( )
Y z . Chúng ta có thể sử dụng một trong các phơng pháp sau đây để tìm biến
đổi z ngợc:

-Phơng pháp 1: Phơng pháp chuỗi lũy thừa (chia dài)

Phơng pháp này đợc thực hiện bằng cách chia mẫu số của
( )
Y z cho tử số để thu
đợc một chuỗi lũy thừa có dạng nh sau:

( )
1 2 3
0 1 2 3
...Y z y y z y z y z

= + + + +

Ví dụ 1.4:
Tìm biến đổi z ngợc của đa thức sau:

( )
2
2
3 4
z z
Y z
z z
+
=
+ Lời giải:
Chia mẫu số của hàm cho tử số ta có


+

1 2
8 32z z
1 2 3
8 24 32z z z

+
...

Ta có hệ số của chuỗi lũy thừa nh sau:

( )
( )
( )
( )
0 1
4
2 8
3 8
...
y
y T
y T
y T
=
=

Y z
z z
=
+ Lời giải:
Chia mẫu số của hàm cho tử số ta có
1
4
8
0
T
2T
3T
t
( )
y t