IV . Phơng trình
IV.1- Phơng trình bậc nhất một ẩn Giải và biện luận:
1. Kiến thức cơ bản
- Phơng trình bậc nhất 1 ẩn có dạng: ax + b = 0 (a

0) với a, b là 2 số đã cho.
- Giải và biện luận phơng trình bậc nhất 1 ẩn:
Xét phơng trình ax + b = 0 <=> ax = - b
+ Nếu a = 0; b = 0 -> Phơng trình có vô số nghiệm
+ Nếu a = 0; b

0 -> Phơng trình vô nghiệm
+ Nếu a

0, Phơng trình có 1 nghiệm là x =
a
b

2. Bài tập ví dụ
Ví dụ: Giải và biện luận phơng trình sau với m là tham số
m
2
(x 1) = x 2m + 1 (1)
Giải: Phơng trình (1) <=> m
2
x m
2
= x 2m + 1
<=> m
2
x x = m

2
3x 4x + 4 = 0
<=> (3x 4) (x 1) = 0 <=>




=
=




=
=
1
3
4
01
043
x
x
x
x
Vậy phơng trình có 2 nghiệm: x
1
=
3
4
; x

2
4x + 3) + 2(x 1) = 0 (1)
a) Giải phơng trình với m = -
2
1
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
c) Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có nghiệm nguyên.
Giải: Phơng trình (1) <=> mx
2
2x (2m 1) + 3m 2 = 0
a) Với m = -
2
1
, phơng trình (1) là: x
2
8x + 7 = 0. Phơng trình có 2 nghiệm
x
1
= 1; x
2
= 7
b) Với m = 0, phơng trình (1) là: 2x 2 = 0 ; PT có nghiệm x = 1
Với m

0,

= 4m
2
4m + 1 3m
2

x
m
m
m
mm
x
x
2


Z => để phơng trình luôn có nghiệm nguyên thì
2;12
2
3
23
=

mmZ
m
Z
m
m

Vậy với m = 0;
2;1

thì phơng trình (1) luôn có nghiệm nguyên.
Ví dụ 3: Giải phơng trình: x
4
+ x

0) ta đợc phơng trình:
2t
2
(3x
2
+ 2x) t + x
4
+ x
3
= 0 (3)

= (3x
2
+ 2x)
2
8 (x
4
+ x
3
)
x
4
+ 4x
3
+ 4x
2
= (x
2
+ 2x)
2

2
1
x
t
=
ta có: a
2
=
2
2
x
<=> x
2
= 2a
2
- Nếu a = 0 => x
1
= x
2
= 0
- Nếu a
0

=> x
3, 4
=
2a

* Với t
2

=
++
=
Vậy nếu a = 0, phơng trình có 2 nghiệm là: x
1

= 0; x
2
= -1
Nếu a
0

, phơng trình có 4 nghiệm là:
x
1;2
=
2a

; x
3;4
=
2
411
2
a
+
* Quan hệ giữa các nghiệm của 2 phơng trình bậc 2:
Ví dụ: Tìm các giá trị của m để 2 phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung.
x
2

= 2; x
2
= 3
Phơng trình (2) là: x
2
+x 6 = 0 <=> (x 2) (x + 3) = 0
=> x
1
= 2; x
2
= -3
Khi đó nghiệm chung của 2 phơng trình là x = 2
Vậy với m = 3 thì 2 phơng trình có nghiệm chung là x = 2
2. Hệ thức Viét áp dụng cho phơng trình bậc hai.
a) Hệ thức Viét:
+ Nếu x
1
, x
2
là các nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a
0

) thì:






trình: X
2
SX + P = 0
b) Một số áp dụng:
Hệ thức Viét thờng đợc ứng dụng để giải một số dạng bài tập sau:
b
1
) Tính nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai:
Cho phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 ( a
0

)
- Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có 2 nghiệm: x
1
= 1; x
2
=
a
c
- Nếu a b + c = 0 thì x
1
= -1; x
2
= -
a
c
Ví dụ: Tính nhẩm nghiệm của các phơng trình sau:
a)

= 0
=> Phơng trình có 2 nghiệm: x
1
= 1; x
2
=
a
c
=
( )
2
423
2
12
2

=

b) + Với m = 0, phơng trình là: -x 1 = 0 <=> x = -1
+ Với m
0

, phơng trình (2) là phơng trình bậc hai có
a b + c = m + 1 m 1 = 0
Phơng trình có 2 nghiệm: x
1
= -1; x
2
= -
a

> 0)
- Có 2 nghiệm cùng dấu



>

0
0
P
- Có 2 nghiệm cùng dơng:





>
>

0
0
0
S
P
- Có 2 nghiệm cùng âm









>
>+
+
0)2(2
012
0)12(2
2
m
m
mm
( )







<
<
+
< = >






3
) Tính giá trị của 1 hệ thức giữa các nghiệm của phơng trình.
Trớc hết, kiểm tra điều kiện có nghiệm của phơng trình. Sau đó tính S = x
1
+ x
2
; P =
x
1
.x
2
và biến đổi hệ thức cần tính theo S và P.
Ví dụ: Cho phơng trình x
2
5x + 3 = 0 (1)
Gọi x
1
; x
2
là 2 nghiệm của phơng trình. Không giải phơng trình, hãy tính:
a) x
1
2
+ x
2
2
b) x
1
2
x

2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
2x
1
x
2
= 5
2
2.3 = 19
b) (x
1
x
2
)
2
= (x
1
+ x
2
)
2
4 x
1
x

1
11
xx
+
=
3 3 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
3 3 3 3 3
2 1 2 1
( )( )
5(19 3)
3
x x x x x x x x
x x x x
+ + +

= = =
27
80
3
80
3
=
b
4
) Xác định hệ số của phơng trình, biết hệ thức giữa các nghiệm
Ví dụ: Cho phơng trình: x
2
3x + (k 1) = 0 (1)
Xác định hệ số k để phơng trình có 2 nghiệm x


0 <=> 13 4k

0 <=> k
4
13

(2)
Gọi 2 nghiệm của phơng trình (1) là x
1
; x
2
áp dụng hệ thức Viét ta có:
x
1
+ x
2
= 3
x
1
.x
2
= k 1 (3)
a) Giải hệ phơng trình:



=
=+
852

2
21
2
21
21
x
x
xx
x
xx
xx
Khi đó, thay vào (3) ta có: 1.2 = k 1 => k = 3 (TMĐK (2))
b) Giải hệ phơng trình:



=
=
< = >



=
=+
< = >



=+
=+

xx
xx
xx
Thay vào (3) ta có: 4. (-1) = k 1 <=> k = -3 (TMĐK)
c) Giải hệ phơng trình:





=
=+
=+
1.
3
3
21
2
2
2
1
21
kxx
xx
xx
Ta có: x
1
2
+ x
2

Giải: Vì phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai nên m

2
'

=[-(m+2)]
2
2(m 2) (m 1) = -m
2
+ 10m
Phơng trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi:
'


0 <=> m
2
10m

0 <=> m ( m 10)

0 <=> 0

m

10
Gọi x
1
; x
2
là các nghiệm của phơng trình (1). Theo hệ thức Viét ta có:

+ x
2
=
)3(
8
2)(
2
1
2
8
2
2
842
21
+
=

=>

+=

+
xx
mmm
m
Từ (2): x
1
.x
2
=

6)(.4
2
2.
8
2
2121
2121
=+=>

=
+
xxxx
xxxx
Vậy hệ thức cần tìm là: 4x
1
x
2
(x
1
+ x
2
) = 6
b
6
) Lập phơng trình bậc hai biết 2 nghiệm của nó
Ví dụ: Gọi m, n là các nghiệm của phơng trình:
x
2
(1 +
2

1
1
;
21
1
2
1
21

=

=
+
=
+
=
n
x
m
x
x
1
+ x
2
=
2
21
1
21
1

2
+ 5x 3)
b)
2002
43
2003
33
2004
23
2005
13
+
+
+
=
+
+
+
xxxx
c)
931
1075
936
1070
941
1065
946
1060
951
1055

( )
99
49
99
148
1.
99.97
1
...
7.5
1
5.3
1
3.1
1
=+






++++
xxx
g)
7
37
4
25
3

2
2
=

+
+
+

+

+
a
ax
a
ax
a
ax
d)
cba
x
a
xcb
b
xca
c
xba
++
=
+
+

2
1
2
=
+
+

x
xxx
Bài 4: Chứng minh rằng phơng trình sau có nghiệm với mọi m.
(m 2) x
2
(5m
2
+ 4m 1)x m + 2 = 0
Bài 5: Tìm các số nguyên n để các nghiệm của phơng trình sau là các số nguyên.
x
2
2(2n + 1)x + 4 (n 2) = 0
Bài 6: Gọi x
1
; x
2
là các nghiệm của phơng trình: x
2
x 1 = 0
a) Tính x
1
2
+ x

Bài 9: Cho phơng trình: x
2
2( m+ 1) x + m
2
+ 3m + 2 = 0
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
2
+ x
2
2
= 12
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc m?
Bài 10: Cho phơng trình: x
2
2(m + 1)x + 2m 15 = 0
Gọi các nghiệm của phơng trình là x
1;
x
2
a) Tìm m sao cho x
1

+ x
1
x
2
Bài 12: Cho phơng trình bậc hai:
x
2
2( m + 1) x + 2m + 10 = 0 (1) (m là tham số)
a) Tìm m để (1) có nghiệm.
b) Cho biểu thức A = 6x
1
x
2
+ x
1
2
+ x
2
2
(x
1
; x
2
là nghiệm của (1). Tìm m sao cho A đạt
giá trị nhỏ nhất. Hãy tìm giá trị ấy.
Bài 13: Cho biểu thức: P =





x
x
3
14
3
5
:
9
4
3
3
3
3
Biết với x 0, x

9, x

1 thì P có nghĩa.
a) Rút gọn P.
b) Gọi x
0
là nghiệm của phơng trình: x
2
11x + 18 = 0 Tính giá trị của P tại x
0
Bài 14: Cho phơng trình: (m 1) x
2
2mx+ m + 2 = 0 (với m là tham số)
a) Tìm m để phơng trình trên có 2 nghiệm phân biệt x
1

a) Giải phơng trình với m = -1
b) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2
với mọi giá trị
của tham số m.
Bài 16: Cho phơng trình: x m
2
= 3 -
2
- mx
2
(1)
a) Tìm tham số m để phơng trình có nghiệm duy nhất.
Tính nghiệm đó với m =
2
+ 1.
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) nhận x = 5
2
- 6 là nghiệm.
c) Gọi m
1
; m
2
là hai nghiệm của phơng trình (1) ẩn m. tìm x để m
1
; m
2
là số đo 2 cạnh góc

- 2
2
x
2
x + 2 -
2
= 0
Hớng dẫn giải bài tập tự luyện
1. Giải và biện luận phơng trình bậc nhất.
Bài 1: Giải các phơng trình sau:
a,
2 2
(2 1) (2 2)(2 2) (2 1) (2 5 3)x x x x x x x + = +

2 2 2 2
4 4 1 (4 4) 2 2 5 3
4 5 3 6 0
2 2 0 2 2 1
x x x x x x x
x x
x x x
+ = +
+ + =
+ = = =
Vậy phơng trình có nghiệm x = -1.
b,
3 1 3 2 3 3 3 4
2005 2004 2003 2002
x x x x+ + + +
+ = +

Vậy phơng trình có nghiệm
2006
3
x =
c,
1050 1055 1060 1065 1070 1075
956 951 946 941 936 931
x x x x x x
+ + = + +
1050 1055 1060
( 1) ( 1) ( 1)
956 951 946
1065 1070 1075
( 1) ( 1) ( 1)
941 936 931
x x x
x x x

+ + =

+ +
2006 2006 2006 2006 2006 2006
956 951 946 941 936 931
1 1 1 1 1 1
( 2006)( ) 0
956 951 946 941 936 931
x x x x x x
x

+ + = + +

+ + +
+ + =
+ + + =
+ = =
Vậy phơng trình có nghiệm x = - 204.
e,
1 1 1 1 148 49
( ... )( 1)
1.3 3.5 5.7 97.99 99 99
x
x x+ + + + + =

1 2 2 2 2 148 99 49
( ... )( 1)
2 1.3 3.5 5.7 97.99 99 99
1 1 1 1 1 1 1 1 49 49
(1 ... )( 1)
2 3 3 5 5 7 97 99 99 99
1 1 49 1 1 49
(1 )( 1) ( 1) ( 1)( ) 0
2 99 99 2 2.99 99
1 0 1.
x x
x
x
x
x x x
x x

+ + + + =

2 2 2
4 ( 1) 4 1 4 4 1 4m x x m m x m x m− = − + ⇔ − − = −

2 2 2
(4 1) 4 4 1 (2 1)(2 1) (2 1)x m m m x m m m⇔ − = − + ⇔ − + = −
* NÕu
(2 1)(2 1) 0
1
2
1
2
m m
m
m


− + = ⇒



=
=−
Víi
1 1
2. 1 0
2 2
m = → − = →
ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm
1 1
2( ) 1 0

ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
1 1
;
2 2
m m≠ − ≠ →
ph¬ng tr×nh cã nghiÖm:
2 1
2 1
m
x
m
−
=
+
b,
( 1)
2
2 3
m x m x− +
− =

3 ( 1) 2( ) 12
3 3 2 2 12
(3 2) 12 5
m x m x
mx m m x
x m m
⇒ − − + =
⇒ − − − =
⇒ − = +

ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
2
3
m ≠ →
ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
12 5
.
3 2
m
x
m
+
=
−
c,
2
2 2
0
1 1 1
x a x a x a
a a a
+ − − +
+ + =
− + −
(®k:
(1 )(1 ) 0
1
1
a a
a

a a a− = ⇒ = → + = + ≠ →
ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
2 1 0
1
2
1
a
a
a


− ≠ ⇒ →



≠
≠±
ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
2( 1)
2 1
a
x
a
+
=
−
KÕt luËn:
1
2
1

+
=
−
d,
4
1
a b x a c x b c x x
c b a a b c
+ − + − + −
+ + = −
+ +
®k:
0; 0; 0a b c≠ ≠ ≠
4
1 1 1 4
4
1 1 1 4
( )( ) 0
0
1 1 1 4
0
a b x a c x b c x x
c b a a b c
a b x c a c x b b c x a a b c x
c b a a b c
a b c x
c a b a b c
a b c x x a b c
a b c a b c
+ − + − + −

;
4 3 4 3
x x
+ − + +
= =
b,
2
2 (2 2 3) 2 3 0x x+ − + − =

2
(2 2 3) 4 2( 2 3) 4.2 9 12 2 8 12 2
9 0
∆ = − − − = + − − +
= >
→
ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm
1
2
(2 2 3) 3
1
2 2
(2 2 3) 3 3 2
2 2 2
x
x
− − −
= = −
− − + −
= =
VËy ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm:

∆ = + = >
→
ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm:
1 2
5 40 5 40
; .
5 5
x x
− +
= =
Bµi 4
+Víi
2 0 2m m
− = ⇒ =
Khi ®ã ph¬ng tr×nh
(5.4 4.4 1) 2 2 0 0x x⇔ + − − + = ⇒ =
+ Víi 2 0m − ≠
2 2 2
(5 4 1) 4( 2) 0m m m m∆ = + − + − ≥ ∀
VËy víi
m
∀
ph¬ng tr×nh cã nghiÖm.
Bµi 5:
2 2
(2 1) 4( 2) 4 9 0n n n
′
∆ = + − − = + >
Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm
2

,k n Z∈
nªn ta cã:
- Nếu
2 1 5
2 9 2
k n k
k n n

= =



+ = =


- Nếu
2 1 5
2 9 2
k n k
k n n

= =



+ = =


- Nếu
2 3 3

là các nghiệm của phơng trình
2
1 0x x =
a, 1 1 2 = + = phơng trình có 2 nghiệm x
1
; x
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2x x x x x x+ = +
áp dụng Viet:
1 2
1 2
1
1
x x
x x
+ =


=

Khi đó:
2 2 2
1 2
1 2 3x x+ = + =
.
b,
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2

Thay vào (1) ta có:
2 2
2
2 2
2 2
3
3
7
2 7
2
m
x m x
m
x m x

= =





= =


*
2
2 2 2 2
7
2 9( 7) 7 63 9 3
3 2

3
0 0
0
m
m m
m
P m
m
S m
m



>



> >


<


> >


>




2
thì
0


2 2
2 2
( 1) ( 3 2) 0
2 1 3 2 0
1 0 1
m m m
m m m m
m m
+ + +
+ +

áp dụng hệ thức Viet ta có:
1 2
2
1 2
2( 1) (3)
. 3 2 (4)
x x m
x x m m
+ = +


= + +

a, Ta có:


Vì m < -1 phơng trình có 2 nghiệm nên chỉ có m = -3 thoả mãn.
Vậy với m = -3 phơng trình có nghiẹm x
1
; x
2
thoả mãn:
2 2
1 2
12x x+ =
b, Từ (3):
1 2
2 2x x m+ = +
1 2
2
(*)
2
x x
m
+
=
Từ (4) ta có:
1 2
. ( 1)( 2)x x m m= + +
Kết hợp với (3) và (*) ta đợc:
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
2

2
2
( 1) (2 15) 0
17 0
m m
m m
+
+
áp dụng hệ thức Viet ta có:
1 2
1 2
2( 1)
. 2 15
x x m
x x m
+ = +


=

Giải hệ phơng trình:
1 2
1 2
1 2
2( 1) (*)
5 4 (**)
. 2 15 (***)
x x m
x x
x x m

Thay vào (***) ta đợc:
1 3 5
. 2 15
2 2
m m
m
+
=
2
2
3 2 5 8 60
5 6 63 0
3
21
5
m m m
m m
m
m
+ =
+ =
=





=

Vậy với

+ Với
2 15 1 2 16 8m m m
= = =
+ Với
2 15 1 2 14 7m m m
= = =
+ Với 2 15 17 2 32 16m m m = = =
+ Với
2 15 17 2 2 1m m m = = =
Vậy với m = -1; m = 7; m = 8; m = 16 thì
1 2
1 1
F
x x
= +
là số nguyên.
Bài 11:
a, Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt thì
2
0 3 0 3
( 1) ( 1)( 2) 0
1 0 1 1
1
m m
m m m
m m m
m

> + > <
+ >

m


+ =

+




= =
+ +


+ + =
=
Với
6m
=
thì
2 2
6 2 4
2
6 1 5
x x

= =
+
Vậy với 6m = thì phơng trình có 1 nghiệm bằng 2 và nghiệm kia bằng
4


+
= =
Vậy với 6m = phơng trình có nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn:
1 2
1 1 7
4x x
+ =
d, Tìm GTNN của biểu thức:
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2 2( ) 3
4( 1) 2 5 13 14
2. 3.
( 1) 1 ( 1)
( 1) 5 13 14
2 5 13 14
( 5) (2 13) 14 0
A x x x x x x x x
m m m m
m m m
A m m m

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là
131
132
.
Bài 12:
a, Để phơng trình (1) có nghiệm thì
0


2
2
( 1) (2 10) 0
3
9 0
3
m m
m
m
m
+ +






Vậy với
(
] [
)

x x x x
P
x
x x x x x
+ +
= +

+ + +
a, Rút gọn
2 2
2 2
(3 ) (3 ) 4 5 4 1
: ( )
9
3 (3 )
(3 ) (3 ) 4 5 4 1
:
9
(3 )
12 4 1
:
9
(3 )
x x x x
P
x
x x x
x x x x x
x
x x

4.2 8
2 1 2 1
P

= =

Bài 14:
a, Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
1 2
;x x
thì:
2
1 0 1 1
0 ( 1)( 2) 0 2
m m m
m m m m








> + > <




Vậy với


= = =





Từ
1 2
2
1
m
x x
m
+
=


1 2
( 1) 2m x x m = +
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
2
2
( 1) 2
1
mx x x x m
x x

3( ) 2 4
x x x x
x x
x x
x x
x x x x
x x x x
+ =
+



+ =
+ = +
b, Ta có:
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 1 1 2 1 2
( ) 2
6 0 6 0 6 0
x x x x x x x x
x x x x x x
+ +
+ + = + = + =
2
2
2
4 2
2
4 4( 2)( 1)





+
=


Đối chiếu với điều kiện phơng trình có 2 nghiệm thì
1 17
4
m

=
thoả mãn.
Vậy với
1 17
4
m

=
cần tìm.
Bài 15:
§Æt
2
( 1)x t+ =
( 0)t ≥
ph¬ng tr×nh trë thµnh:
2 2
( 1) ( 1) 0t m t m m− − − − + =


+ = − = −


2
1 1 0
1 ( 1) 1
1 1 2
x x
t x
x x
VËy víi m = - 1 ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x =0; x = -2.
b, Ta cã;
 
= − − + = − − + <
 
 
2 2
1 3
( 1) ( ) 0
2 4
c
m m m
a
⇒
ph¬ng tr×nh (*) lu«n cã 2 nghiÖm:
< < →
1 2
0t t
ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm:

5 2 6x = −
lµ nghiÖm th× ta cã:
2
2
2
2 2
(5 2 6)(1 2) 3 2
5 2 6 10 6 2 3 2
2 (3 2 5) 9 6 2 0
(3 2 5) (9 6 2) 34 24 2 (3 2 4)
m m
m m m
m m
− + = − +
⇔ − + − = − +
⇔ + − + − =
′
∆ = − − − = − = −
ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm:
1
5 3 2 3 2 4 1m = − + − = (TM)
2
5 3 2 3 2 4 9 6 2m = − − + = − (TM)
VËy víi 1m = ;
9 6 2m
= −
th× ph¬ng tr×nh (1) nhËn
5 2 6x
= −
lµ nghiÖm.

2
3 2
m m x
m m x

+ =


=


Theo bài ra ta có:
2 2 2
1 2
2
1 2 1 2
2
2
2
1 2
( 4 2 2)
( ) 2 4 2 2
2 2(3 2 ) 4 2 2
(2 2) 0
1 8 4 2 (1 2 2)
1 1 2 2 1 1 2 2
1 2; 2
2 2
m m
m m m m

m
Vậy phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm
1 2
;x x
với
m

.
c, áp dụng hệ thức Viet ta có:
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2( 1) 2 2
3 2 2 6
2 6 2 2 4
x x m x x m
x x m x x m
x x x x x x x x
+ = + =



= =

+ = + + = +
d, Để phơng trình có 2 nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau thì cần điều kiện:
1 2
0 2( 1) 0 1x x m m
+ = = =
Vậy với m = 1 thì phơng trình có 2 nghiệm thoả mãn điều kiện.

Nếu
6 0 6a a
+ = =
phơng trình (3) có nghiệm kép:
1 2
2x x= =
Nếu
6 0 6a a
+ > >
phơng trình (3) có 2 nghiệm phân biệt
1 2
2 6; 2 6x a x a= + = + +
phơng trình (4)
2
6 0x x a =
có 9 a

= +
Nếu 9 0 9a a+ < < phơng trình (4) vô nghiệm.
Nếu
9 0 9a a
+ = =
phơng trình (4) có nghiệm kép
3 4
3x x= =
.
Nếu
9 0 9a a
+ > >
phơng trình (4) có 2 nghiệm phân biệt:

2
1
2
(2 1) (2 1)
*
2
1 0
x x
a
x x a
+ + +
=
+ + =

thay
2a =
, ta có:
2
1,2
1 2 0
1 4(1 2) 4 2 3
1 4 2 3
2
x x
x
+ + − =
∆ = − − = −
− ± −
=
2

1 4 2 3
2
x
− ± −
=
;
3,4
1 1 4 2
2
x
± +
=