Header Page 1 of 123.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

NGUYỄN THỊ QUỲNH ANH

BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015

Footer Page 1 of 123.


Header Page 2 of 123.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

NGUYỄN THỊ QUỲNH ANH

BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 62 46 01 02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC


t t
t ỡ ữớ ữớ t ổ q
t ú ù t t t s ũ õ
ự ừ tr sốt q tr ồ t ứ q t ụ
ữủ tọ ỏ t ỡ tợ t P ỳ
ổ P P
P P P r Pữỡ ỗ
t t ỳ ỵ õ õ qỵ
ữủ tọ sỹ ỡ ừ
ồ ỡ trữớ ồ ổ ổ t r tổ t
ồ t ủ t t ừ ụ
t ỡ ố ồ ồ
Pỏ ồ ừ ở ổ
trữớ ồ ữ ồ ồ
ồ t ỡ s t ú ù t tr sốt q
tr ồ t ự t
t ỡ ỗ ự
s ổ ú ù ở t tr sốt q tr ồ t
ự

Footer Page 4 of 123.


Header Page 5 of 123.

✐✐✐
❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❣û✐ t➦♥❣ ❜è ♠➭ ✈➔ ❣✐❛ ✤➻♥❤ t❤➙♥ ②➯✉ ❝õ❛ ♠➻♥❤ ♥✐➲♠ ✈✐♥❤ ❞ü t♦
❧î♥ ♥➔②✳

❚→❝ ❣✐↔

ổ tổổ t t


õ tr


õ

tr
tử ừ tr
ỗ ừ tr
ởt số ỵ t ở

ữỡ ĩ





t t



t q



ỹ tỗ t ừ t tỹ tờ qt



✸✳✷

❙ü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✺
✸✳✷✳✶✳

❇➔✐ t♦→♥ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ tü❛ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ P❛r❡t♦ ❤é♥ ❤ñ♣
tr➯♥✲tr➯♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✺

✸✳✷✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ tü❛ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ P❛r❡t♦ ❤é♥ ❤ñ♣ tr➯♥
✲ ❞÷î✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✵
✸✳✷✳✸✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ tü❛ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ P❛r❡t♦ ❤é♥ ❤ñ♣ ❞÷î✐
✲ tr➯♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✶
✸✳✷✳✹✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ tü❛ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ P❛r❡t♦ ❤é♥ ❤ñ♣ ❞÷î✐
✲ ❞÷î✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✷
✸✳✸

▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✹
✸✳✸✳✶✳ ❍➺ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ tü❛ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ P❛r❡t♦✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✹
✸✳✸✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ tü❛ ❝➙♥ ❜➡♥❣ P❛r❡t♦ ❤é♥ ❤ñ♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✼

❈❤÷ì♥❣ ✹✳ P❍×❒◆● P❍⑩P ▲➄P ❚➐▼ ◆●❍■➏▼ ❇⑨■ ❚❖⑩◆
❇❻❚ ✣➃◆● ❚❍Ù❈ ❇■➌◆ P❍❹◆
✾✷
✹✳✶

●✐î✐ t❤✐➺✉ ❜➔✐ t♦→♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✷

✹✳✷

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ➞♥ tr➯♥ t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ❤å ❤ú✉


t ủ số tỹ ổ ữỡ

Rn

ổ tỡ n

Rn+

t ủ tỡ õ t ổ
ừ ổ Rn
t ủ tỡ õ t ổ ữỡ

Rn

ừ ổ Rn

X

ổ ố tổổ ừ ổ tổổ t t X

2X

t t ừ t ủ X
t ủ tr ừ T L(X, Y ) t x K X

T, K
i = 1, n

i = 1, 2, ..., n


Footer Page 8 of 123.


Header Page 9 of 123.

✈✐✐

C+

♥â♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤➦t ❝õ❛ ♥â♥ C

C−

♥â♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ②➳✉ ❝õ❛ ♥â♥ C

A ⊆ B A ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ B
A ⊆ B A ❦❤æ♥❣ ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ B
A∪B

❤ñ♣ ❝õ❛ ❤❛✐ t➟♣ ❤ñ♣ A ✈➔ B

A∩B

❣✐❛♦ ❝õ❛ ❤❛✐ t➟♣ ❤ñ♣ A ✈➔ B

A\B

❤✐➺✉ ❝õ❛ ❤❛✐ t➟♣ ❤ñ♣ A ✈➔ B


tố ữ ừ r tr tố ữ Prt
ừ r ỵ tt tố ữ tỡ ợ tr t ởt ỵ tt
ợ ừ t ồ ợ ự ử tr tỹ t ỵ tt tố ữ
tỡ ữủ ự t tố tr ố s ừ
ử õ trỏ q trồ tr ỵ tt tố ữ t
t ỹ t ừ f tr t D x
D s

f (
x) f (x), ợ ồ x D,



ợ D ởt t rộ tr ổ X f : D R ởt
tỹ t ụ ữủ t ồ ự rở
tr tr ổ tỡ ú tổ q t ợ
t tỹ tờ qt sỹ tỗ t ừ ú tờ qt
õ t ữ t t tr ỵ tt
tố ữ ởt tố t q ừ ú õ q t
ợ t t tố ữ t rở ữớ
t tữớ ỹ ỳ tt t t tứ t ử t
tũ tở trữ ừ ộ ởt tr ữỡ õ ỹ
ở tử t ừ sỹ tỗ t
ừ t ởt tr ỳ q trồ ự
t tr ỵ tt tố ữ t q ữủ ữ r trữợ ữ
tỹ sỹ tờ qt t tỗ t ỏ q t

Footer Page 10 of 123.



Pữỡ ự
r ởt số ỵ t ở ữủ ũ ự
t q ỵ t ở ỵ rr ởt
số tữỡ ữỡ r ữỡ ổ ữợ õ t
tr ổ tỡ ụ ữủ sỷ ử ởt q

ị ồ tỹ t
Footer Page 11 of 123.


Header Page 12 of 123.


t tỹ tự tỹ ữủ
t ồ tr t ợ q t ự r ữợ õ t
t ữ P ố P ỳ ữợ õ
ử ổ tr ự ồ
ữủ r ớ ú õ ự ử tr qt ỳ ổ
t ỵ tt trỏ ỡ ồ

ờ q trú
õ trỏ tr t t tố ữ õ ố q t tt
t tr ỵ tt tố ữ t t
tự t t ở t s tr ổ
t
t ữ r t t tự
t ừ t tự õ t ữủ t
từ ữ s D t tr ổ ỳ
Rn , G : D Rn ỡ tr x
D s

Header Page 13 of 123.


ũ ợ t tr t ỏ õ t t ở T : D X
ỡ tr x
D s

x = T (
x).



T ởt tử G := I T ợ I ỗ t
tr D t t t ở tữỡ ữỡ ợ t t
tự
tt t ự sỹ tỗ t
ừ t D t ừ ổ tổổ
t t ỗ ữỡ sr X, : D ì D R. x
D s

(t, x) 0 ợ ồ t D.



t ự t t ỹ
t ũ t t ở ữ ỳ trữớ ủ
t
rr t ự
sỹ tỗ t ừ t tỹ tố ữ tờ qt ỏ ồ t
tỹ tố ữ ử tở t số X, Z ổ tổổ t

t ữủ t trữớ ủ tỡ X, Y
ổ tổổ t t ỗ ữỡ D t tr X C õ

Footer Page 13 of 123.


Header Page 14 of 123.


tr Y õ C s r q tự tỹ tứ tr Y : x

y

x y C. ứ q tự tỹ ữớ t t ỳ
ỵ tữ tỹ sỹ Prt ừ t A Y,
M in(A/C) t ỳ ừ t A ố ợ õ C, ỵ
tữ tỹ sỹ Prt t x
D s

F (
x) Min(F (D)/C),



tr õ F : D Y ữủ ồ t tỹ tố ữ tỡ x
ữủ ồ
F (
x) ữủ ồ tr tố ữ ừ
rở t trữớ ủ
tr trữớ ủ r ở D t ờ tr S. ự

x, y),

2)

F (
y , x, t) F (
y , x, x) + C ợ ồ t S(
x, y),
F (
y , x, t) F (
y , x, x) + C = ợ ồ t S(
x, y) .

Footer Page 14 of 123.




Header Page 15 of 123.


t ữủ ồ t tự tỹ Prt tr ữợ
(
x, y) D ì K s

1)

x S(
x, y), y T (
x, y),

ữủ ồ t tự tỹ ỵ tữ tr ữợ
t tự tỹ Prt tr ữợ ữủ t
ữ s x
D s x P1 (
x)

F (y, x, t) F (y, x, x) (C \ {0}) ợ ồ t P2 (
x), y Q(
x, t),
F (y, x, x) F (y, x, t) + (C \ {0} ợ ồ t P2 (
x), y Q(
x, t) .

ữỡ tỹ t õ t tự tỹ tỹ sỹ tr
ữợ ỵ sỹ tỗ t ừ t tự tỹ
Prt ữủ ũ ũ
t tr ởt số ữủ ỷ ứ t q t
s r t q t t tỹ
Prt tỹ tố ữ Prt
s t q ự ừ rữỡ ũ ữỡ
t tỹ tờ qt ú tổ t
t tỹ tờ qt x
D s x P1 (
x)

0 F (y, x, t) ợ ồ t P2 (
x) y Q(
x, t).
t tỹ tờ qt ự t
tự tỹ tỹ t q

tờ qt ợ tt t ữợ ởt t t ữ
ữủ õ õ
ử ừ t ự sỹ tỗ t ừ
t tỹ tờ qt t ố q tợ t tr
ỵ tt tố ữ tỡ tr t t tỹ Prt tỹ
tự tỹ Prt ộ ủ ợ ỳ
tt ỡ ố ũ ú tổ ỹ ởt ữỡ
t t tự tr t t ở ừ ởt ồ ỳ
ổ tr ổ rt t trữớ
ủ t ừ t tỹ tờ qt t tự tỹ
Prt ộ ủ
ữỡ ợ t ởt số tự ỡ ừ t tr ữủ sỷ ử
tr ữỡ ừ
ữỡ t tỹ tờ qt ỵ
t tỹ tờ qt q t tỹ ổ
ữợ q t tỹ q q
t tự tỹ ỵ tữ q
t tỹ ỵ tữ t t r ởt số t
q sỹ tỗ t t tỹ Prt tr ữợ
q tợ ỡ ỵ
ữỡ ữủ t ỹ tr t q ừ
tr ử ổ tr ổ ố ừ t q


Footer Page 16 of 123.


Header Page 17 of 123.



r ử t t ợ ổ trứ tữủ ổ tổổ õ
ợ t õ t õ r ổ õ
trú tổổ P ợ tự tr ử ữủ t tứ ố
s tỹ t ừ ử

ổ tổổ
X ởt t ủ
ởt ồ G ỳ t ừ X ữủ ồ ởt tổổ tr X
t , X tở ồ G
G ố ợ ỳ tự ừ ởt số ỳ t
tở ồ G t ụ tở ồ G;
G ố ợ ủ t tự ủ ừ ởt số ỳ ổ
t tở ồ G t ụ tở ồ G.
X ũ ợ tổổ G tr X ữủ ồ ổ tổổ (X, G)
ổ tổổ X

Footer Page 18 of 123.


Header Page 19 of 123.


t tở ồ G ữủ ồ t
õ tổổ G, G tr X, G G t õ tổổ G ỡ tổ ỡ
tổổ G tổổ G ỡ ỡ tổổ G. rữớ ủ ổ õ
q õ t õ tổổ ổ s s ữủ
r ổ tr (X, d), ồ t tr X ụ ởt tổổ
tr X, t ồ õ tổổ tr d, õ õ ồ ổ tr
ỗ ổ rt ổ tổổ
r ởt ổ tổổ t t õ t ữủ



Header Page 20 of 123.

✶✶
✷✮ ❍å ❝♦♥ V ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ G ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❝ì sð ❝õ❛ tæ♣æ G tr➯♥ X ♥➳✉
♠å✐ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ G ✤➲✉ ❧➔ ❤ñ♣ ❝õ❛ ♠ët sè ♣❤➛♥ tû t❤✉ë❝ V.
✸✮ ❍å ❝♦♥ M ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ G ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët t✐➲♥ ❝ì sð ❝õ❛ tæ♣æ G tr➯♥

X ♥➳✉ ❤å ❝→❝ ❣✐❛♦ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝â t❤➸ ❝â ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ t❤✉ë❝ M ❧➔ ♠ët ❝ì sð
❝õ❛ tæ♣æ G.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✺✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ (X, G) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍❛✉s❞♦r❢❢
♥➳✉ ✤è✐ ✈î✐ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ tò② þ x, y ∈ X ❧✉æ♥ tç♥ t↕✐ ❝→❝ ❧➙♥ ❝➟♥ U ❝õ❛

x, V ❝õ❛ y s❛♦ ❝❤♦ U ∩ V = ∅.
▼ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝tì ❤❛② ❝á♥ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝â t❤➸ ❝á♥ ✤÷ñ❝
tr❛♥❣ ❜à ♠ët ❝➜✉ tró❝ tæ♣æ✳ ❚❛ ❝â ❦❤→✐ ♥✐➺♠✿ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ t✉②➳♥ t➼♥❤✳

✶✳✶✳✷✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ t✉②➳♥ t➼♥❤
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✻✳ ❈❤♦ X ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝tì tr➯♥ tr÷í♥❣ K.
✶✮ ▼ët tæ♣æ τ tr➯♥ X ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t÷ì♥❣ t❤➼❝❤ ✈î✐ ❝➜✉ tró❝ ✤↕✐ sè ❝õ❛ X ♥➳✉ ❝→❝
(+) : X × X → X,
(.) : K × X → X,
→♥❤ ①↕
✈➔
✤➲✉ ❧➔ ❝→❝ →♥❤ ①↕
(x, y) → x + y;
(λ, x) → λx,
❧✐➯♥ tö❝✳


x

2

x, y X.

+ 2 y, x + y ,

ợ t [0, 1] (1 t)x + ty

2

= (1 t) x

2

+t y

2

(1 t)t x

y 2 , ợ ồ x, y X.
ợ ộ ổ T tr X, F : X X Lst
tử ỡ t T t = T x tàF (T x), x H, t [0, 1] t õ



T t x T t y (1 t ) x y , ợ ồ x, y X,



Header Page 22 of 123.


Y ổ tổổ t t C õ tr Y t clC, intC,

convC ữủt õ tr ỗ ừ õ C.

X, Y

ổ t t tr C :

X 2Y ữủ ồ õ C(x) õ tr Y ợ ồ x X domC
tữớ q t tợ õ s
õ C õ ỗ õ õ t C t ỗ t õ
l(C) = C (C) tr t t ừ õ C õ C
ữủ ồ õ ồ l(C) = {0}
ợ õ C trữợ t õ t q tự tỹ tr Y ữ s
x, y Y, x

C

y x y C, õ t t x

x, y Y, x

y x y C\l(C)

x, y Y, x

ỳ ỵ tữ ừ A ố ợ õ C IMin(A|C)

Footer Page 22 of 123.


Header Page 23 of 123.


x A ữủ ồ ỳ Prt ỹ t Prt ừ t A
ố ợ õ C ổ tỗ t y A, y = x x y C \ l(C).
ỳ Prt ừ A ố ợ õ C PMin(A|C)
ỡ ỡ Min(A|C).
x A ữủ ồ ỳ ừ t A ố ợ õ C tr
trữớ ủ intC = C = Y ) x Min(A| (intC {0}) ự x
ỳ Prt ừ t A ố ợ õ (intC {0}) .
ỳ ừ A ố ợ õ C WMin(A|C)

WMin(A).
x A ữủ ồ ỳ tỹ sỹ ừ t A ố ợ õ C
tỗ t õ ỗ C t ổ ự C \ l(C) tr


tr ừ õ s x PMin(A|C)
ỳ tỹ sỹ ừ A ố ợ õ C PrMin(A|C)
ứ tr t õ IMin(A|C) PrMin(A|C) Min(A|C) WMin(A|C).

tr
t ủ X, Y, D X t

F : D Y

❚ø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t❛ t❤➜②✱
✐✮ G ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤â♥❣ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ✈î✐ ♠å✐ ❞➣② s✉② rë♥❣ {xα } ⊆ D, {yα } ⊆

Y, xα → x, yα ∈ G(xα )✱ t❛ ❝â y ∈ G(x)✳
✐✐✮ ❑❤✐ X, Y ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ →♥❤ ①↕ F : X → 2Y ❝â ↔♥❤
♥❣÷ñ❝ t↕✐ ♠é✐ ✤✐➸♠ ❧➔ t➟♣ ♠ð tr♦♥❣ X t❤➻ →♥❤ ①↕ ❜❛♦ ❧ç✐ coF : X → 2Y
❝õ❛ ♥â✱ (❝♦F )(x) = ❝♦F (x), ❝ô♥❣ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ♥❤÷ ✈➟② ✭①❡♠ ❬✺✵❪✮✳

✶✳✷✳✸✳ ❚➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà
❈❤♦ X, Y ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ✱ D ⊆ X ✳ ❚❛ ❜✐➳t r➡♥❣✱ →♥❤ ①↕ ✤ì♥ trà f tø

D ✈➔♦ Y ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ t↕✐ ✤✐➸♠ x ∈ X ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ t➟♣ ♠ð V ❝❤ù❛ f (x)
✤➲✉ tç♥ t↕✐ t➟♣ ♠ð U ❝❤ù❛ x s❛♦ ❝❤♦ f (x ) ∈ V ✈î✐ ♠å✐ x ∈ U ∩ D. ✣è✐ ✈î✐ →♥❤
①↕ ✤❛ trà✱ f (x) ∈ V t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ❤❛✐ ❦❤↔ ♥➠♥❣✿ F (x) ⊆ V ❤♦➦❝ F (x) ∩ V = ∅.
❚ø ✤â ❝â t❤➸ ♠ð rë♥❣ tø ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❧✐➯♥ tö❝ ✤è✐ ✈î✐ →♥❤ ①↕ ✤ì♥ trà s❛♥❣ →♥❤
①↕ ✤❛ trà t❤❡♦ ❤❛✐ ❝→❝❤ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✈➔ t❛ ❝â ❤❛✐ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✿
→♥❤ ①↕ ✤❛ trà ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✈➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ ❞÷î✐✳ ❍❛✐ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♥➔② ✤÷ñ❝
✤÷❛ r❛ ✤➛✉ t✐➯♥ ♥➠♠ ✶✾✸✷ ❜ð✐ ❇✳❇♦✉❧✐❣❛♥❞ ✈➔ ❑✳❑✉r❛t♦✇s❦✐ ✭t❤❡♦ ❆✉❜✐♥ ✈➔
❋r❛♥❦♦✇s❦❛ ✭✶✾✾✵✮✮✳ ❙❛✉ ✤â✱ ❇❡r❣❡ ✭❬✼❪✮ ✤➣ ❦❤↔♦ s→t ❦❤→ ❦➽ ✈➲ ✈➜♥ ✤➲ ♥➔②✳ ❚❛
♥❤➢❝ ❧↕✐ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ ❇❡r❣❡✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✼✳ ❈❤♦ t➟♣ ❝♦♥ D ⊆ X, →♥❤ ①↕ ✤❛ trà F : D → 2Y ✳
✶✮ F ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✭❞÷î✐✮ ✭✈✐➳t ❣å♥ ❧➔ ✉✳s✳❝ ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ ❧✳s✳❝✮✮
t↕✐ x
¯ ∈ D ♥➳✉ ♠é✐ t➟♣ ♠ð V ❝❤ù❛ F (¯
x) ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ F (¯
x) ∩ V = ∅)✱ tç♥
t↕✐ ❧➙♥ ❝➟♥ ♠ð U ❝õ❛ x
¯ s❛♦ ❝❤♦ F (x) ⊆ V ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ F (x) ∩ V = ∅) ✈î✐
♠å✐ x ∈ U ∩ D.

✭❝❤ó♥❣ ❝❤ù❛ 0✮✳
✷✮ F ❦❤æ♥❣ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ t↕✐ x = 0.
❚❤➟t ✈➟②✱ ❧➜② t➟♣ ♠ð V = − a2 , a2 , F (0) = {0} ⊂ V. ▼å✐ ❧➙♥ ❝➟♥ U ❝õ❛ 0,
❧➜② ❜➜t ❦➻ x ∈ U, x = 0 t❤➻ F (x ) = [−a, a] ⊆ V.

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✷✳ ❚÷ì♥❣ tü t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ r➡♥❣ →♥❤ ①↕
H : D → 2R , H(x) =


 [ − a, a],

♥➳✉ x = 0,

{0},

♥➳✉ x = 0,



♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ♥❤÷♥❣ ❦❤æ♥❣ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ ❞÷î✐ t↕✐ x = 0.
❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ❝❤♦ X ✈➔ Y ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ tæ♣æ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧ç✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❍❛✉s❞♦r❢❢✱

D ⊆ X, K ⊆ Y ✳ ❈→❝ ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉ ♥➯✉ ❧➯♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥✱ ✤õ ✤➸ →♥❤ ①↕ ✤❛
trà ❧➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥✱ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ ❞÷î✐✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✶✳ ✭❬✹✼❪✮ ●✐↔ t❤✐➳t F : D → 2Y ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà ✈î✐ ❣✐→ trà ❝♦♠♣➢❝✳
❑❤✐ ✤â F ❧➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ ❞÷î✐ t↕✐ x ∈ D ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ y ∈ F (x) ✈➔
✈î✐ ♠å✐ ❞➣② {xα } tr♦♥❣ D ❤ë✐ tö tî✐ x✱ tç♥ t↕✐ ❞➣② {yα }, yα ∈ F (xα ) ✈î✐ ♠å✐ α
✈➔ yα → y.