ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ KIM ĐỖ

PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN CHO MỘT LỚP BẤT ĐẲNG
THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ KIM ĐỖ

PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN CHO MỘT LỚP BẤT ĐẲNG
THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Nguyễn Bường

Thái Nguyên - 2015


7

1.1.3

Ánh xạ j -đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh
xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.1

Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 14

1.2.2

Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach 16

2 Phương pháp lặp hiện cho một lớp bất đẳng thức biến
phân trong không gian Banach

18

2.1

Một số phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân .

23

Tài liệu tham khảo

31

ii


Danh mục các ký hiệu,
các chữ viết tắt
E

không gian Banach

E∗

không gian liên hợp của E

D(A)

miền xác định của toán tử A

R(A)

miền giá trị của toán tử A

H

không gian Hilbert

đẳng thức biến phân được quan tâm nghiên cứu rộng rãi và trở thành
một công cụ hữu hiệu trong việc xây dựng các kỹ thuật để giải số các
bài toán cân bằng trong kinh tế tài chính, bài toán vận tải, lý thuyết trò
chơi và nhiều bài toán thuộc lĩnh vực vật lý và kỹ thuật. Nhiều bài toán
trong toán học được phát triển dưới dạng bất đẳng thức biến phân như
bài toán bù phi tuyến, bài toán cân bằng, bài toán tối ưu, bài toán điểm
bất động....Do vậy việc nghiên cứu bất đẳng thức biến phân và phương
pháp giải bài toán này luôn là đề tài thời sự, được nhiều nhà toán học
quan tâm nghiên cứu.
Một trong những phương pháp giải bất đẳng thức biến phân là dựa
trên cách tiếp cận thông qua điểm bất động. Nội dung của phương pháp
này là đưa bất đẳng thức biến phân về bài toán tìm điểm bất động của
một ánh xạ nghiệm thích hợp. Phương pháp chiếu gradient là một kết
quả theo hướng tiếp cận này bằng cách sử dụng phép chiếu mêtric PC
để xây dựng một dãy lặp hội tụ mạnh đến nghiệm của bất đẳng thức
biến phân. Phương pháp này có ưu điểm là dễ lập trình và tốc độ hội tụ
nhanh. Tuy nhiên với phương pháp này thì việc tính toán ánh xạ chiếu
mêtric PC không đơn giản vì sự phức tạp của tập con lồi đóng bất kỳ C .
Để khắc phục khó khăn này, Yamada đã đề xuất phương pháp lai đường

1


dốc nhất vào năm 2001 để giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên
tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Từ
đó đến nay đã có nhiều công trình nhằm mở rộng hướng nghiên cứu của
Yamada để giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của
ánh xạ không giãn.
Mục đích của đề tài luận văn là nghiên cứu kết quả mới đây trong


và công tác của bản thân. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến
các thầy cô.
Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo
đơn vị công tác và đồng nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điều
kiện tốt nhất cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và làm
luận văn.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2015
Học viên
Nguyễn Thị Kim Đỗ

3


Chương 1

Một số khái niệm cơ
bản
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả
về ánh xạ j -đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, ánh xạ không giãn và
bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một họ
vô hạn các ánh xạ không giãn. Nội dung của chương này được viết dựa
trên các tài liệu [1]-[2] và một số tài liệu trích dẫn trong đó.

1.1
1.1.1

Không gian Banach
Không gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn

Định nghĩa 1.1. Nếu không gian tuyến tính định chuẩn E là một không

= 1 suy ra x = y hoặc với mọi x, y ∈ SE và x = y ta có
mãn
2
tx + (1 − t) y < 1 với mọi t ∈ (0, 1).
Định nghĩa 1.3. Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi
ε > 0, tồn tại δ (ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ E , x = 1, y = 1,

x − y ≥ ε ta luôn có
x+y
≤ 1 − δ (ε) .
2

5


Dễ thấy rằng nếu E là một không gian Banach lồi đều thì nó là
không gian Banach lồi chặt và phản xạ. Tuy nhiên điều ngược lại không
đúng.
Để đo tính lồi của không gian Banach E , người ta đưa vào khái niệm
sau: Môđun lồi của không gian Banach E là hàm số

δE (ε) = inf 1 −

x+y
:
2

x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε .

Nhận xét 1.1. Môđun lồi của không gian Banach E là hàm số xác

6


a) Nếu E ∗ là không gian lồi chặt thì E là không gian trơn.
b) Nếu E ∗ là không gian trơn thì E là không gian lồi chặt.
Định nghĩa 1.7. Mô đun trơn của không gian Banach E là hàm số xác
định bởi

ρE (τ ) = sup 2−1 ( x + y + x − y ) − 1 :

x = 1, y = τ .

Nhận xét 1.2. Môđun trơn của không gian Banach E là hàm số xác
định, liên tục và tăng trên khoảng [0; +∞) .
Định nghĩa 1.8. Không gian Banach E được gọi là trơn đều nếu

ρE (τ )
= 0.
τ →0
τ
lim

Định nghĩa 1.9. Không gian Banach E được gọi là trơn đều cấp q nếu
tồn tại hằng số c > 0 sao cho ρE (t) ≤ ctq , với mọi t > 0.
Từ định nghĩa 1.9 ta có định lý dưới đây:
Định lý 1.2. Cho q là một số thực với 1 < q ≤ 2 và E là một không
gian Banach. Khi đó E trơn đều cấp q nếu và chỉ nếu tồn tại một hằng
số k ≥ 1 thỏa mãn

1

Nhận xét 1.3. Trong không gian tuyến tính định chuẩn bất kì E , ta
luôn có J (x) = ∅ với mọi x ∈ E , điều này suy ra trực tiếp từ hệ quả
của Định lý Hahn - Banach.
Mệnh đề dưới đây đề cập đến một số tính chất đơn giản của ánh xạ
đối ngẫu chuẩn tắc J của không gian tuyến tính định chuẩn E .
Mệnh đề 1.2. Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn và J là
ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của nó. Khi đó,
(i) J là một ánh xạ lẻ, tức là J (−x) = −J (x) , ∀x ∈ E;
(ii) J là thuần nhất dương, tức là J (λx) = λJ (x) , ∀λ > 0, ∀x ∈ E;
(iii) J bị chặn, tức là nếu D là một tập con bị chặn của E thì J (D) là
một tập hợp bị chặn trong E ∗ ;
(iv) Nếu E ∗ là lồi chặt thì J là đơn trị;
(v) J là đơn trị và liên tục đều trên mỗi tập con bị chặn của E khi và
chỉ khi E là không gian Banach trơn đều.
Trong trường hợp ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là đơn trị thì ta kí hiệu
nó bởi j .
1.1.3

Ánh xạ j -đơn điệu

Định nghĩa 1.11. Ánh xạ A : E → E được gọi là
(i) j -đơn điệu (accretive) nếu tồn tại j (x − y) ∈ J (x − y) sao cho

A (x) − A (y) , j (x − y) ≥ 0,
8

∀x, y ∈ D (A) ;


(ii) j -đơn điệu ngặt nếu dấu bằng ở bất đẳng thức trên chỉ đạt được khi

x, y ∈ D (T ) ta có
T (x) − T (y) ≤ L x − y .
Nếu 0 ≤ L < 1 thì ta có định nghĩa ánh xạ co, nếu L = 1 thì ta có
định nghĩa ánh xạ không giãn.
Định nghĩa 1.13. Ánh xạ A được gọi là giả co nếu

A (x) − A (y)

2

≤ x−y

2

+ (I − A) (x) − (I − A) (y) 2 ,

với mọi x, y ∈ D (A) , trong đó I là ánh xạ đồng nhất.

9

(1.2)


Dễ thấy, mọi ánh xạ giả co đều là ánh xạ không giãn.
Định nghĩa 1.14. Ánh xạ A : E → E được gọi là ánh xạ λ-giả co chặt
nếu với mỗi x, y ∈ D (A), tồn tại j (x − y) ∈ J (x − y) sao cho

Ax − Ay, j (x − y) ≤ x − y

2

10

∀x, y ∈ D (A) .


Bổ đề 1.2. Cho E là một không gian Banach trơn thực và A : E → E
là một ánh xạ.
(i) Nếu A là ánh xạ λ-giả co chặt thì A là ánh xạ liên tục Lipschitz
1
.
với hằng số 1 +
λ
(ii) Nếu A là ánh xạ δ -j -đơn điệu mạnh và λ-giả co chặt với δ + λ > 1
1−δ
thì I − A là ánh xạ co với hằng số
.
λ
(iii) Nếu A là ánh xạ δ -j -đơn điệu mạnh và λ-giả co chặt với δ + λ > 1
thì với số cố định bất kỳ τ ∈ (0, 1), I − τ A là ánh xạ co với hằng
1−δ
số I − τ I −
.
λ
Chứng minh. i) Từ (1.4) ta nhận được

λ (I − A) (x) − (I − A) (y)

2

≤ (I − A) (x) − (I − A) (y) , J (x − y)

≤ x − y 2 − A (x) − A (y) , J (x − y)
≤ (1 − δ) x − y 2 .
11


Vì δ + λ > 1 ⇔

1−δ
∈ (0, 1) , nên
λ

(I − A) (x) − (I − A) (y) ≤

1−δ
λ

và vì vậy I − A là ánh xạ co với hằng số co

iii) Vì I − A là ánh xạ co với hằng số co

x−y ,

1−δ
.
λ
1−δ
, nên với mỗi số cố
λ

định τ ∈ (0, 1) ta có


b) co rút không giãn nếu QC là co rút và là một ánh xạ không giãn,
tức là

QC (x) − QC (y) ≤ x − y ,

12

∀x, y ∈ E;


c) co rút không giãn theo tia nếu QC là một co rút không giãn và
thỏa mãn tính chất

QC (QC (x) + t (x − QC (x))) = QC (x) ,

∀x ∈ E, t ∈ (0; 1) .

Định nghĩa 1.17. Một tập con lồi đóng C của không gian Banach E
được gọi là:
a) co rút của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút từ E lên C ;
b) co rút không giãn của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút không
giãn từ E lên C ;
c) co rút không giãn theo tia của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút
không giãn theo tia từ E lên C .
Mệnh đề 1.3. Cho E là một không gian Banach lồi đều. Khi đó, mọi
tập con lồi đóng khác rỗng C của E đều là tập co rút của E .
Ánh xạ co rút từ E lên C trong Mệnh đề 1.3 chính là phép chiếu
mêtric PC : E → C được xác định bởi


x − QC (x) , j (ξ − QC (x)) ≤ 0,

∀x ∈ E, ∀ξ ∈ C.

Nhận xét 1.4. Từ Mệnh đề 1.7 suy ra, nếu E là một không gian Banach
trơn và C là tập con co rút không giãn theo tia của E , thì ánh xạ co
rút không giãn theo tia QC : E → C là duy nhất.
Cuối cùng trong mục này, chúng tôi đề cập đến khái niệm α-đồng
bức.
Định nghĩa 1.18. Cho C là một tập con đóng, lồi, khác rỗng của không
gian Banach E . Với α > 0, một ánh xạ A : C → E được gọi là α-đồng
bức nếu với mọi x, y ∈ C , ta có

Ax − Ay, J (x − y) ≥ α Ax − Ay 2 .

1.2

Bất đẳng thức biến phân trên tập
điểm bất động của ánh xạ không giãn

1.2.1

Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert

Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng ., . và
chuẩn . , C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H , và F : H → H

14



n

λn = ∞,

(L2 )
n

(λn − λn+1 )
= 0.
n→∞
λ2n+1

(L3 ) lim

15


Xuất phát từ một điểm ban đầu u0 ∈ H tùy ý, xác định dãy lặp {un }
bởi thuật toán:

un+1 := T un − λn+1 µF (T un ) ,

(1.6)

Yamada đã chứng minh rằng dãy {un } xác định bởi (1.6) hội tụ mạnh
tới nghiệm duy nhất của bài toán V I (F, C). Một ví dụ về dãy {λn }
thỏa mãn các điều kiện (L1 ) − (L3 ) là

λn =
1.2.2

không điểm của toán tử j -đơn điệu, bài toán điểm bất động . . . .
Định lý 1.3. Cho E là một không gian Banach lồi đều, trơn đều cấp 2
và C là một tập con đóng, lồi, khác rỗng của E . Cho QC là một ánh xạ

16


co rút không giãn theo tia từ E vào C , cho α > 0 và A là một ánh xạ

j -đơn điệu với α−đồng bức của C với S (C, A) = ∅. Giả sử x1 = x ∈ C
và dãy (xn ) xác định bởi
xn+1 = αn xn + (1 − αn ) QC (xn − λn Axn ) ,
với mọi n = 1, 2, · · · , ở đây (λn ) là một dãy số thực dương và (αn ) là
một dãy trong [0, 1]. Nếu (λn ) và (αn ) được chọn sao cho λn ∈ a, α k 2
với một số a > 0 và αn ∈ [b, c] cho một số b, c với 0 < b < c < 1. Khi
đó {xn } hội tụ yếu đến phần tử z của S (C, A), ở đây k là hằng số trơn
cấp 2 của E .

17


Chương 2

Phương pháp lặp hiện
cho một lớp bất đẳng
thức biến phân trong
không gian Banach
Chương này nghiên cứu một số phương pháp lặp hiện giải bất đẳng
thức biến phân trên tập điểm bất động của một họ vô hạn các ánh xạ
không giãn trong không gian Banach. Các kiến thức của chương này

Trong các phương pháp này, ta xét một ánh xạ Vk được xác định
như sau

Vk = Vk1 , Vki = T i T i+1 · · · T k , T i = (1 − αi ) I + αi Ti ,
với mỗi i ≤ k , và {αi }∞
i=1 thỏa mãn những điều kiện:
∞

αi ∈ (0, 1) và

αi < ∞.
i=1

Khi E ≡ H là một không gian Hilbert, và C = ∩N
i=1 F ix (Ti ) là họ
hữu hạn những ánh xạ không giãn Ti trên H , Bường và Dương đã đề
xuất thuật toán hội tụ mạnh sau:

xk+1 = 1 − βk0 xk + βk0 T0k Vk xk , x1 ∈ E, Vk = TNk TNk −1 · · · T1k , (2.3)
19


ở đây T0k = I − µλk F, số µ cố định và λk ∈ (0, 1) thỏa mãn những điều
kiện sau đây:

(L1)
(L2)

lim λk = 0;


k=1 xác định bởi
xk+1 = (1 − γk ) Fk (xk ) + γk Wk Fk (xk ) ,

(2.4)

hội tụ mạnh đến nghiệm p∗ của bài toán (2.1)-(2.2) với điều kiện C = ∅
và Fk = I − λk F.

20