ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———————-

ĐẶNG VĂN HIẾU

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP GIẢI
BÀI TOÁN CHẤP NHẬN LỒI SUY RỘNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———————-

ĐẶNG VĂN HIẾU

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP GIẢI
BÀI TOÁN CHẤP NHẬN LỒI SUY RỘNG
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 62460112

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH. Phạm Kỳ Anh

Hà Nội - 2016

sâu sắc tới PGS. TS Nguyễn Hữu Điển. Thầy đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong việc
sử dụng các công cụ phần mềm trong toán học. Trong suốt thời gian làm nghiên
cứu sinh, Thầy đã tạo cho tôi môi trường làm việc hết sức thuận lợi, cũng như
cho phép tôi tiếp cận các phương tiện, máy móc để thực hiện đề tài của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy và anh chị em trong Bộ môn Toán học tính
toán và Toán ứng dụng nói riêng và Khoa Toán Cơ Tin học, ĐHKHTN nói chung.
Những ý kiến quý báu của các thầy và các bạn ở các kỳ Xêmina bộ môn cũng
như sự tạo điều kiện của Khoa, của bộ môn đã giúp tôi rất nhiều trong việc hoàn
thành luận án này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy, các anh chị và các bạn trong nhóm
Xêmina liên cơ quan ĐHKHTN, ĐHBK, Viện nghiên cứu cao cấp về Toán. Nhóm
đã tạo cho tôi nhiều cảm hứng trong nghiên cứu khoa học và sự gắn bó với môi
trường nghiên cứu.
Tôi cũng rất biết ơn Trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội. Công tác quản lý đào
tạo và môi trường nghiên cứu của Trường đã góp phần không nhỏ để cho luận
án này được hoàn thành đúng dự định.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô và các anh chị em trong Bộ Môn Toán
3


Tin nói riêng và Khoa Cơ Bản, Trường Sĩ Quan Không Quân nói chung. Đơn vị
đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi yên tâm học tập, nghiên cứu và công tác.
Sự quan tâm và những lời động viên, khích lệ của các thầy cô, các anh chị em và
các bạn đã giúp tôi rất nhiều trong việc hoàn thành luận án của mình.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS. TSKH Vũ Hoàng Linh. Thầy đã
dạy dỗ chỉ bảo tận tình cho tôi về cách học tập và nghiên cứu các chuyên đề cao
học và nghiên cứu sinh. Thầy có nhiều góp ý rất quan trọng trong các kỳ Xêmina,
giúp tôi có nhiều ý tưởng và động lực để phát triển và hoàn thành luận án của
mình.
Từ tận đáy lòng tôi xin gửi lời cảm ơn tới GS. TSKH Lê Dũng Mưu. Thầy đã


MỤC LỤC
Trang
Lời cam đoan

2

Lời cảm ơn

3

Mục lục

6

Bảng kí hiệu

8

Bảng các chữ viết tắt

9

Mở đầu

.

10

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

24
24
24
25
27
30
30
31
32
33
35
35
38
42
42
43
44
44


.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

50
50
61
62
67

Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án

141

Tài liệu tham khảo

142

7


BẢNG KÍ HIỆU

Tích vô hướng (hoặc tích đối ngẫu)

., .
H

Không gian Hilbert

X

Không gian Banach

X∗

Không gian đối ngẫu của X

J


Fix (S)
F˜ (S)

Tập điểm bất động của ánh xạ S
Tập điểm bất động tiệm cận của ánh xạ S

V I ( A, C )

Tập nghiệm của VIP cho toán tử A trên C

EP( f , C )

Tập nghiệm của EP cho song hàm f trên C

PC (ΠC )

Phép chiếu metric (tổng quát) trên tập C

φ(., .)

Phiếm hàm Lyapunov

(

+\

+)
∗

Tập hợp các số thực (không âm\ dương)

SEGM

Phương pháp dưới đạo hàm-đạo hàm tăng cường

GM

Phương pháp đạo hàm

GLM

Phương pháp kiểu đạo hàm

CFP (GCFP)

Bài toán chấp nhận lồi (suy rộng)

SFP

Bài toán chấp nhận tách

SOP

Bài toán tối ưu tách

SOE

Hệ phương trình toán tử

FPP (CFPP)


9


MỞ ĐẦU

Nhiều bài toán trong khoa học và kĩ thuật như bài toán khôi phục ảnh, bài
toán xử lý tín hiệu, bài toán tối ưu, bài toán cân bằng v.v. [19, 39, 40] dẫn tới giải
bài toán chấp nhận lồi sau đây.
Bài toán 0.1 (CFP - Convex Feasibility Problem). Cho Ci , i = 1, . . . , N là các tập
lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H hoặc Banach X. Bài toán CFP được phát
biểu như sau:
∗

∗

N

Tìm điểm x sao cho x ∈ C :=

Ci .

(0.1)

i =1

Bài toán CFP được Cauchy đề cập từ giữa thế kỉ 19. Dạng đơn giản nhất của
bài toán CFP là tìm điểm chung của các tập lồi cho trước (dạng hiển), tuy nhiên
trong thực tế hầu hết các tập Ci được cho dưới dạng ẩn, tức chúng là nghiệm của
các bài toán nào đó. Một ví dụ điển hình trong xử lý ảnh, chúng ta cần khôi phục
hình ảnh ban đầu x từ các quan sát f i (chẳng hạn, hình chiếu hoặc các đại lượng

x

k +1

k

=x +

b[ k ] − a [ k ] , x k

|| a[k] ||2

a[k] ,

(0.3)

trong đó [k ] = (k mod m) + 1 nhận giá trị trong tập {1, 2, . . . , m}. Rõ ràng,
các phương trình trong hệ (0.2) được lặp luân phiên xoay vòng qua các hàng
của ma trận A. Ý tưởng của phương pháp lặp Kaczmarz cũng được áp dụng
giải hệ phương trình toán tử. Trong những năm gần đây, nhiều tác giả đã đề
xuất các phương pháp lặp như phương pháp Landweber-Kaczmarz, phương
pháp Newton-Kaczmarz, phương pháp đường dốc nhất Kaczmarz [26, 48] và
các phương pháp lai ghép xoay vòng tìm điểm bất động chung của một họ các
toán tử, tìm nghiệm chung của các bất đẳng thức biến phân và các bài toán cân
bằng [33, 70, 71, 75, 76].
Cùng thời gian phương pháp Kaczmarz ra đời, năm 1938, G. Cimmino đề xuất
phương pháp lặp đồng thời giải hệ phương trình quá xác định Ax = b. Phương
pháp được mô tả như sau.

b − a ,x k

tập lồi bất kì. Cùng thời gian này, Auslender [3] cũng khái quát phương pháp lặp
đồng thời kiểu Cimmino cho các tập lồi.
Bài toán CFP được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như khôi phục ảnh
(image reconstruction), xử lý tín hiệu (signal processing), kĩ thuật y sinh (biomedical engineering), lý thuyết xấp xỉ (approximation theory) và lý thuyết tối ưu (optimization theory), chẳng hạn xem [39] và các tài liệu trích dẫn trong đó. Đây
cũng chính là lý do bài toán CFP được quan tâm và nghiên cứu rộng rãi trong hai
thập niên gần đây cả về lý thuyết và thuật toán. Một số tác giả tiêu biểu về hướng
nghiên cứu này là Bauschke và Borwein [19], Butnariu, Censor và Reich [27].
Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu bài toán chấp nhận lồi suy rộng
(GCFP - Generalized Convex Feasibility Problem). Bài toán GCFP được phát biểu
như sau:
Bài toán 0.2 (GCFP - Generalized Convex Feasibility Problem). Cho N bài toán

P1 , P2 , . . . , P N trong không gian Hilbert H hoặc Banach X với tập nghiệm Sol (Pi ) của
mỗi bài toán Pi là lồi đóng và khác rỗng (i = 1, . . . , N). Tập Ci trong Bài toán CFP (0.1)
cho dưới dạng ẩn là tập nghiệm của bài toán Pi (i = 1, . . . , N). Bài toán GCFP cho N
bài toán này là:
Tìm điểm x ∗ là nghiệm chung của các bài toán P1 , P2 , . . . , P N ,

(0.5)

hay tìm x ∗ ∈ ∩iN=1 Sol (Pi ).
Trong luận án này, chúng tôi giả thiết bài toán GCFP là tương thích, nghĩa là,
bài toán luôn có nghiệm. Sau đây, chúng tôi trình bày một số dạng cơ bản của bài
toán GCFP được nghiên cứu trong luận án này.
1. Giải hệ phương trình toán tử (SOE):
Ai ( x ) := Fi ( x ) − f i = 0, x ∈ X, i = 1, 2 . . . , N,

(0.6)

trong đó Fi : X → Y là toán tử, f i ∈ Y và X, Y là các không gian Hilbert hoặc

Bài toán CSVIP là một dạng bài toán GCFP với Ci = V I ( Ai , C ) là tập nghiệm của
bất đẳng thức biến phân cho toán tử Ai trên tập C.
4. Tìm nghiệm chung của các bài toán cân bằng (CSEP): Cho f i : C × C →

,i=

1, . . . , N là các song hàm. Bài toán CSEP cho họ các song hàm f i , i = 1, . . . , N trên
C là tìm x ∗ ∈ C sao cho:
f i ( x ∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C, i = 1, . . . , N.

(0.9)

Bài toán CSEP cũng là một dạng của bài toán GCFP với Ci = EP( f i , C ) là tập
nghiệm của bài toán cân bằng cho song hàm f i trên tập C.
Ngoài các bài toán tìm nghiệm chung nêu trên, trong thực tế còn có nhiều
bài toán dạng GCFP khác như: Bài toán tìm nghiệm chung hỗn hợp (tức là tìm
nghiệm chung của nhiều họ bài toán với nhau) hoặc các bài toán tổng quát hơn,
gọi là các bài toán tách, bao gồm bài toán chấp nhận tách, bài toán bất đẳng thức
biến phân tách và bài toán cân bằng tách.
Trong hai thập niên gần đây, các bài toán dạng GCFP (0.6) − (0.9) được quan
tâm và nghiên cứu rộng rãi bởi nhiều nhà toán học. Phần lớn các thuật toán giải
chúng là tuần tự (xoay vòng). Ý tưởng chung là sử dụng một thuật toán đã biết
để xấp xỉ nghiệm tại mỗi bước cho một bài toán con và việc này được lặp một
13


cách luân phiên xoay vòng qua các bài toán thành phần của hệ ban đầu. Đối với
hệ phương trình toán tử SOE (0.6), nếu không đặt điều kiện gì thêm lên toán tử
Fi thì bài toán giải hệ phương trình Ai ( x ) := Fi ( x ) − f i = 0, i = 1, . . . , N là đặt
không chỉnh theo nghĩa nó không có lời giải duy nhất với mọi vế phải f i ∈ X (X ∗ )



J - đơn điệu trong không gian Banach. Một trong các kết quả đầu tiên đáng chú
ý là, nếu A là toán tử Lipschitz địa phương (locally Lipschitz) và J - đơn điệu thì
A là m - J - đơn điệu, tức là R( A + αI ) = X với mọi α > 0, trong đó I là toán tử
đơn vị trong X. Năm 1970, Martinet [5] khái quát kết quả này cho lớp các toán tử
J - đơn điệu liên tục.
Một số phương pháp giải phương trình toán tử J - đơn điệu trong không gian
Banach có thể tìm trong [11] và các tài liệu trích dẫn trong đó. Như đã đề cập ở
trên, do tính không ổn định của bài toán đặt không chỉnh nên ta cần chiến lược
hiệu chỉnh bài toán. Ý tưởng của phương pháp hiệu chỉnh là thay bài toán ban
đầu bằng một họ các bài toán đặt chỉnh mà nghiệm của chúng hội tụ về nghiệm
của bài toán ban đầu khi tham số hiệu chỉnh dần tới 0. Sau đây, chúng tôi trình
bày hai phương pháp hiệu chỉnh phổ biến được sử dụng cho các bài toán đặt
không chỉnh.
Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov: Đây là phương pháp hiệu chỉnh được
đề xuất bởi nhà toán học người Nga A. N. Tikhonov năm 1963, trong phương
pháp hiệu chỉnh này thay vì phương trình F ( x ) = f , ta giải một họ các bài toán
cực tiểu phiếm hàm
Rα(h,δ) ( x ) := || F h ( x ) − f δ ||2 + αΩ( x ) → min,
x

trong đó α = α(h, δ) là tham số hiệu chỉnh, Ω( x ) là phiếm hàm ổn định hóa và
F h , f δ lần lượt là các đại lượng xấp xỉ của F, f . Phiếm hàm ổn định hóa thường
được sử dụng trong tính toán là Ω( x ) = || x − x0 ||2 , trong đó x0 ∈ X là điểm được
gợi ý ban đầu.
Phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev: Năm 1966, M. M. Lavrentiev [59] đề
xuất phương pháp hiệu chỉnh mang tên ông khi F là toán tử tuyến tính xác định
không âm trong không gian Hilbert. Ý tưởng này được sử dụng một cách tự
nhiên cho toán tử J - đơn điệu trong không gian Banach, tức là, thay vì phương

Hệ phương trình SOE (0.6) có thể được thiết lập một cách tương đương với bài
toán CFPP (0.7) cho họ hữu hạn các ánh xạ Ti , i = 1, . . . , N với Ti = x − Ai ( x ).
Hai phương pháp lặp phổ biến cho bài toán FPP (Fixed Point Problem) được
sử dụng trong luận án này là phương pháp lặp Mann [63] và phương pháp lặp
Halpern [47]. Dựa trên hai phương pháp cơ bản này, chúng ta có thể thiết kế các
thuật toán khác nhau cho bài toán CFPP (0.7), chẳng hạn, để giải bài toán CFPP
(0.7) cho một họ các ánh xạ không giãn tương đối Ti : C → C, i = 1, . . . , N
16


trong không gian Banach, Liu [60] sử dụng thuật toán lặp Halpern [47] và đề
xuất phương pháp lai ghép tuần tự như sau:


x0 ∈ C,





−1


 yn = J (αn Jx0 + (1 − αn ) JTn(mod) N xn ),

Cn = {v ∈ C : φ(v, yn ) ≤ αn φ(v, x0 ) + (1 − αn )φ(v, xn )} ,





 xn+1 = PC ( xn − λA(yn )),

(0.12)

trong đó A : H → H là một toán tử, PC là phép chiếu metric lên C và λ > 0 là
tham số. Sự hội tụ của phương pháp EGM chỉ đòi hỏi tính liên tục Lipschitz và
tính đơn điệu (hoặc giả đơn điệu) của toán tử A. Nếu tập ràng buộc C có cấu trúc
đơn giản (chẳng hạn như hình cầu, nửa không gian, hoặc siêu phẳng) thì phép
chiếu PC có thể thực hiện dễ dàng. Tuy nhiên, nếu C là tập lồi đóng bất kì thì phép
chiếu PC , nói chung, là khó thực hiện. Điều này có thể ảnh hưởng đến tính hiệu
quả của phương pháp EGM. Gần đây, nhóm các nhà toán học người Israel gồm
17


Censor, Gibali và Reich đã đề xuất phương pháp dưới đạo hàm - đạo hàm tăng
cường (SEGM - Subgradient Extragradient Method) giải các bài toán VIP trong
không gian Hilbert H. Ý tưởng của phương pháp này là thay phép chiếu thứ hai
của phương pháp EGM (0.12) bởi phép chiếu lên nửa không gian có cấu trúc đặc
biệt, cụ thể


 y = P ( x − λA( x )),
n
n
C n
 xn+1 = PT ( xn − λA(yn )),

(0.13)

n

Nếu f đơn điệu thì giải thức Tr là đơn điệu mạnh, không giãn và đơn trị. Nếu f
f

là song hàm thuộc lớp đơn điệu tổng quát hơn, chẳng hạn, giả đơn điệu thì Tr ,
nói chung, là không đơn trị, không đơn điệu mạnh. Do đó, phương pháp PPM
không thể áp dụng trong trường hợp này. Năm 2008, Quoc [72] và các cộng sự đã
mở rộng phương pháp EGM [58] cho các bài toán EP. Phương pháp EGM cho bài
toán EP bao gồm việc giải hai bài toán tối ưu sau đây

 y = arg min{λ f ( x , y) + 1 || x − y||2 : y ∈ C },
n
n
n
2
 xn+1 = arg min{λ f (yn , y) + 1 || xn − y||2 : y ∈ C },

(0.15)

2

trong đó λ > 0 là tham số phù hợp. Ưu điểm của của phương pháp EGM là có thể
sử dụng cho lớp các song hàm giả đơn điệu và hai bài toán tối ưu trên mỗi bước
lặp có thể được giải dễ dàng hơn phương pháp PPM trong nhiều trường hợp.
Trong những năm gần đây, phương pháp này được nghiên cứu sâu rộng bởi các
nhà toán học trong và ngoài nước cả về lý thuyết và thuật toán, xem [17,51,52,68]
và các tài liệu trích dẫn trong đó.
18


Cùng với các bài toán tìm nghiệm chung, bài toán tìm nghiệm chung hỗn hợp

r
M,n
1,n n






vn = PC ( I − λ N,n A N ) . . . PC ( I − λ1,n A1 )un ,





yn = (1 − αn ) xn + αn Wn vn ,

(0.16)



Cn = {v ∈ H : v − yn ≤ v − xn } ,







Q n = { v ∈ H : x0 − x n , x n − v ≥ 0} ,

toán VIP có ràng buộc, tức là tìm x∗ ∈ K ∩ ∆, sao cho
A(x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x = ( x1 , x2 , . . . , x N ) ∈ K,

(0.17)

trong đó
N

K :=

∏ Ci ,

i =1

∆ :=





x∈

nN

: x = ( a, a, . . . , a), a ∈




N lần

các cộng sự đã mở rộng phương pháp EGM [58] và phương pháp tìm kiếm theo
tia Armijo (Linesearch Method) cho bài toán EP. Trong [53], các tác giả cũng mở
rộng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán EP giả đơn điệu và thu
được một số kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán và ứng dụng cho các bài
toán VIP. Trong các bài báo [23, 25], GS. Nguyễn Bường và các cộng sự đã chuyển
bài toán giải hệ phương trình về giải hiệu chỉnh một phương trình tổng cho các
toán tử Fi là đơn điệu mạnh ngược trong không gian Hilbert. Ngoài ra, các tác giả
cũng đề xuất nguyên lý tựa giảm dư (quasi-residual principle) cho phương pháp
hiệu chỉnh giải hệ phương trình toán tử J - đơn điệu trong không gian Banach.
Hầu hết các phương pháp đề xuất được thực hiện một cách tuần tự.
Cùng với các phương pháp tuần tự, các phương pháp song song cũng được
nhóm các nhà khoa học của giáo sư Phạm Kỳ Anh nghiên cứu và đề xuất trong
20


không gian Hilbert. Trong [12, 16], GS. Phạm Kỳ Anh và các cộng sự đề xuất
phương pháp chỉnh lặp song song ẩn và hiện giải hệ phương trình toán tử đơn
điệu và hệ tuyến tính quá xác định với kích thước lớn. Ý tưởng của phương pháp
là kết hợp phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev và kĩ thuật phân rã song song với
các tham số hiệu chỉnh và tham số phân rã song song phụ thuộc lẫn nhau trong
một quá trình lặp thống nhất và các tác giả đã chứng minh sự hội tụ mạnh của
thuật toán thu được. Trong các công bố [13, 14], các tác giả đề xuất các phương
pháp chỉnh lặp Newton và Gauss-Newton giải hệ phương trình toán tử đặt không
chỉnh. Ngoài chứng minh sự hội tụ, các tác giả cũng đánh giá được tốc độ hội tụ
với các điều kiện nguồn thành phần đặt lên từng toán tử. Rất gần đây, C. V. Chung
và P. K. Anh [15] đã đề xuất phương pháp lai ghép song song bằng cách kết hợp
kĩ thuật lặp Mann và phương pháp CQ giải bài toán CFPP cho một họ các ánh xạ
không giãn tương đối trong không gian Banach.
Luận án này nghiên cứu và đề xuất một số phương pháp kết hợp giải các bài
toán dạng GCFP trong không gian Hilbert và Banach. Ngoài phần mở đầu, kết

(phương pháp chiếu co). Sử dụng phương pháp lai ghép đơn điệu ta dễ dàng
chứng minh sự hội tụ của phương pháp đề xuất mà không cần tính bán đóng của
toán tử, điều kiện Opial và tính chất Kadec-Klee của không gian Banach. Hơn
nữa, phương pháp này có thể sử dụng giải hệ phương trình toán tử đơn điệu
trong không Banach.
Chương 3 đề cập tới các bài toán tìm nghiệm chung hỗn hợp, tức là tìm
nghiệm chung của ít nhất hai họ bài toán dạng GCFP trong không gian Hilbert
và Banach. Trong chương này, chúng ta tập trung vào ba bài toán: Bài toán CFPP,
bài toán CSVIP và bài toán CSEP. Đối với bài toán VIP, kĩ thuật chính được sử
dụng là phép chiếu gradient. Đối với bài toán FPP, ngoài hai kĩ thuật lặp Mann
và Halpern chúng tôi đưa thêm phương pháp lặp song song tìm tổ hợp lồi của các
xấp xỉ thành phần. Trong khi đó, bốn phương pháp PPM, EGM, GLM (GradientLike Method) và phương pháp tìm kiếm theo tia Armijo được sử dụng cho bài
toán EP. Các kĩ thuật cho từng bài toán trên được kết hợp lại theo một trình tự
nhất định để thu được thuật toán. Khi đó, dãy lặp sinh bởi thuật toán đề xuất hội
tụ mạnh tới nghiệm chung gần điểm xuất phát x0 nhất.
Chương 4 đề cập tới bài toán tìm nghiệm chung của các bài toán EP tổng quát
hơn, được gọi là bài toán cân bằng tách (SEP - Split Equilibrium Problem). Bài
toán SEP là tìm một nghiệm của bài toán EP trong không gian này, có ảnh qua
một ánh xạ tuyến tính bị chặn, là nghiệm của bài toán EP trong không gian khác.
Sử dụng các kĩ thuật trong Chương 3, chúng tôi thiết kế hai thuật toán hội tụ yếu
và mạnh tới nghiệm của bài toán SEP. Một ứng dụng cho bài toán bất đẳng thức
22


biến phân tách (SVIP - Split Variational Inequality Problem) cũng được trình bày
trong chương này.
Cuối mỗi chương, chúng tôi minh họa một số kết quả thử nghiệm cho các
phương pháp đề xuất và so sánh với các phương pháp đã biết khác. Chú ý rằng,
các phương pháp lai ghép, nói chung, là không có đánh giá tốc độ hội tụ. Do
đó, chúng ta không có tiêu chuẩn dừng hiệu quả. Để minh họa ưu điểm của

thuyết phương trình toán tử trong không gian Banach và các kĩ thuật hiệu chỉnh
bài toán đặt không chỉnh. Phần cuối chương giới thiệu về bài toán FPP, bài toán
VIP, bài toán EP và mối liên hệ giữa chúng. Các khái niệm và kết quả được trình
bày trong chương này chủ yếu được tham khảo trong các tài liệu [1, 2, 11, 41].

1.1
1.1.1

Hình học không gian Banach
Không gian Banach lồi, trơn, lồi đều, trơn đều

Cho X là không gian Banach và X ∗ là không gian đối ngẫu của X. Trong luận án
này, để đơn giản, ta dùng chung một kí hiệu ||.|| cho chuẩn trong cả hai không
gian X và X ∗ . Với mỗi x ∗ ∈ X ∗ và x ∈ X, ta viết x ∗ ( x ) bởi x ∗ , x hoặc x, x ∗ (tích
đối ngẫu). Nếu X = H là không gian Hilbert thì tích đối ngẫu chính là tích vô
hướng ., . và cảm sinh chuẩn tương ứng ||.||. Cho { xn } là một dãy trong X, khi
đó dãy { xn } được gọi là hội tụ (hội tụ mạnh hoặc hội tụ theo chuẩn) đến x ∈ X
nếu || xn − x || → 0 khi n → ∞ và được viết là xn → x. Dãy { xn } được gọi là hội tụ
yếu tới x, kí hiệu xn

x nếu x ∗ , xn − x → 0 khi n → ∞ với mọi x ∗ ∈ X ∗ . Mọi

dãy hội tụ mạnh thì hội tụ yếu, điều ngược lại nói chung không đúng. Mọi dãy
hội tụ yếu đều bị chặn. Không gian Banach X được gọi là phản xạ nếu X ∗∗ = X.
Định nghĩa 1.1. Không gian Banach X được gọi là
24