BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Dương Thị Trang

PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Dương Thị Trang

PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Hình học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH. Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội – Năm 2016


Lời cam đoan

Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trình học tập, nghiên cứu
của em dưới sự chỉ bảo, dìu dắt của các thầy cô giáo, đặc biệt là sự
hướng dẫn nhiệt tình của thầy Nguyễn Năng Tâm.
Vì vậy, khóa luận tốt nghiệp với đề tài:”PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ
ỨNG DỤNG” không có sự trùng lặp với các khóa luận khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2015
Sinh viên
Dương Thị Trang

ii


Mục lục

Lời Mở Đầu

1

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

4

1.1

Không gian Ơclit E n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



2.3

7

Không gian bảo giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.1.1

Phép nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Các tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2.1

Tính chất 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2.2

Tính chất 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.3.1

Định lí 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.3.2

Định lí 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.3.3

Định lí 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.3.4

Định lí 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.3.5

Định lí 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14



3.2

3.3

3.4

Phép nghịch đảo trong bài toán chứng minh. . . . . . .

21

3.1.1

Bài toán chứng minh. . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.1.2

Phương pháp chung. . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.1.3

Các ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Phép nghịch đảo trong bài toán dựng hình. . . . . . . .


3.3.2

Phương pháp chung. . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.3.3

Các ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Phép nghịch đảo trong bài toán tính toán. . . . . . . .

42

iv


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Trang

3.4.1

Bài toán tính toán. . . . . . . . . . . . . . . . .

42


Việc giải các bài tập, tìm ra nhiều cách giải trong đó có nhiều cách
giải hay, độc đáo sẽ phát huy tính sáng tạo, niềm say mê đối với môn
hình học. Với mỗi bài tập có thể có nhiều phương pháp giải: phương
pháp tổng hợp, phương pháp vectơ, phép biến hình.
Trong chương trình toán phổ thông học sinh được học các phép
biến hình: đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự. Trong
nhiều trường hợp phép biến hình là công cụ hữu hiệu để giải hợp lí và
ngắn gọn các bài toán của hình học phẳng như bài toán chứng minh,
bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình, bài toán tính toán.
Phép nghịch đảo là một trong các phép biến hình không được dạy
trong chương trình phổ thông mà chỉ được đề cập cho học sinh các
lớp chuyên. Do phép nghịch đảo có một số tính chất đặc biệt như khả
năng biến đường tròn thành đường thẳng và ngược lại nên nó có nhiều
ứng dụng trong việc giải một số lớp bài toán hình học. Sử dụng phép
nghịch đảo có thể giúp chúng ta tìm được lời giải hay, ngắn gọn của
bài toán hình học.
Yêu thích hình học, yêu thích phép biến hình đặc biệt là phép
nghịch đảo nên em đã chọn đề tài:”Phép nghịch đảo và ứng dụng” để
thực hiện khóa luận tốt nghiệp Đại học.

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Trang

2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu.
- Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của phép nghịch đảo và ứng
dụng của nó trong việc giải bài toán quỹ tích.

Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của các thầy
cô và các bạn sinh viên để đề tài này được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

3


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng ta trình bày một số kiến thức để chuẩn bị
cho chương sau.Những kiến thức này chủ yếu lấy từ tài liệu Hình học
afin và hình học Ơclit của Văn Như Cương-Tạ Mân và Các phép biến
hình trong mặt phẳng của Nguyễn Mộng Hy.

1.1

Không gian Ơclit E n

Không gian Ơclit là không gian afin liên kết với không gian vectơ
Ơclit hữu hạn chiều.
Không gian Ơclit gọi là n -chiều nếu không gian vectơ Ơclit liên
kết với nó có chiều bằng n.
Không gian Ơclit n -chiều thường được kí hiệu là E n ,không gian
→
−
vectơ Ơclit n -chiều liên kết với nó được kí hiệu là E n .
Ví dụ:
- Mỗi không gian vectơ Ơclit hữu hạn chiều với cấu trúc afin chính
tắc là một không gian Ơclit , chẳng hạn như Rn .
- Các không gian afin thực n-chiều đều có thể trở thành không gian

→
−
−
op =
xi →
ei hay còn viết [p] = (x1 , ..., xn ) . Các hàm số x1 , ..., xn trên
i=1
−
E n đó gọi là các 
hàm tọa độ. Khi cơ sở (→
e1 , ...−
,→
en ) là hệ trực chuẩn,
 0 nếu i = j
→
−
→
−
tức ei . ej = δij =
(i, j = 1,2,3,...,n)
 1 nếu i = j
thì ta được hệ tọa độ Descartes vuông góc. Khi đó nếu p có tọa độ
n

(x1 , ..., xn ) , q có tọa độ (y1 , ..., yn ) thì khoảng cách p, q là:

(yi − xi )2

i=1


ta có: f (M ) = M .
Điểm M được gọi là điểm bất động của phép biến hình f nếu
f (M ) = M .
Phép biến hình f được gọi là phép đồng nhất nếu mọi điểm M ∈ E n
đều là điểm bất động của f , kí hiệu là: e.
1.2.2

Định lí

Tập hợp tất cả các phép biến hình của E n với phép nhân ánh xạ lập
thành một nhóm gọi là nhóm các phép biến hình cuả E n .
1.2.3

Định nghĩa

Phép biến hình f : E n → E n mà f ◦ f = idE n được gọi là phép biến
hình đối hợp.
Ví dụ: phép đối xứng tâm (phép đối xứng tâm O trong E n là phép
−−→
−−→
biến hình biến điểm M thành điếm M’ sao cho OM = −OM .

6


Chương 2
PHÉP NGHỊCH ĐẢO
Chương này trình bày một số nội dung về phép nghịch đảo. Những
kiến thức này chủ yếu được tham khảo từ tài liệu Các phép biến hình
trong mặt phẳng của Nguyễn Mộng Hy.

Kí hiệu: NOk hoặc N (O, k) .

2.2
2.2.1

Các tính chất.
Tính chất 1

NOk là phép biến đổi đối hợp.
Thật vậy, với ∀M ta có:
NOk (M ) = M ⇔ OM .OM = k ⇔ OM .OM = k ⇔ NOk (M ) = M
hay (NOk ◦ NOk )(M ) = NOk (NOk (M )) = NOk (M ) = M.
2.2.2

Tính chất 2

Nếu NOk (M ) = M thì O, M, M’ thẳng hàng.
Hiển nhiên theo định nghĩa.
2.2.3

Tính chất 3

Nếu M, O, N không thẳng hàng và NOk (M ) = M , NOk (N ) = N thì
M, N, M’, N’ cùng thuộc một đường tròn.

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


Dương Thị Trang

Tính chất 5

Mọi siêu cầu có tính chất phương tích của cực nghịch đảo đối với nó
bằng phương tích nghịch đảo là siêu cầu kép.
Thật vậy:
Xét phép nghịch đảo NOk .
Giả sử (C) là siêu cầu thỏa mãn tính chất: phương tích của cực nghịch
đảo đối với nó bằng phương tích nghịch đảo. Nghĩa là PO/(C) = k Với
M bất kì trên (C) ta có NOk (M ) = M ⇔ OM .OM = k = PO/(C)
Suy ra M ∈ (C) .Vậy (C) là siêu cầu kép.
Chú ý: Mọi phép nghịch đảo NOk đều có thể phân tích thành tích của
phép nghịch đảo NO−k và phép đối xứng tâm O.

2.3
2.3.1

Các định lí
Định lí 1

Cho phép nghịch đảo NOk , k > 0 của không gian B n . Hai điểm M, M’
tương ứng với nhau qua phép nghịch đảo NOk khi và chỉ khi qua M và
M’ có n siêu cầu trực giao với siêu cầu nghịch đảo.
Chứng minh:

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.3.2

Dương Thị Trang

Định lí 2

Cho phép nghịch đảo N (O, k) với k > 0.Nếu có hai siêu cầu trực giao
với siêu cầu nghịch đảo với tâm O và cắt nhau tại M,M’ thì hai điểm
này là hai điểm tương ứng của phép nghịch đảo N (O, k) đã cho.
Chứng minh:

Hình 3
Ta chứng minh trong B 2 .Các không gian khác chứng minh tương
tự.
Giả sử hai đường tròn (C1 ) , (C2 ) trực giao với đường tròn nghịch
đảo (O) và chúng cắt nhau ở M và M’.
Trục đẳng phương MM’ của hai đường tròn (C1 ) và (C2 ) đi qua
tâm O của đường tròn nghịch đảo và điểm O nằm ngoài đoạn MM’ vì
O phải nằm ngoài hai đường tròn (C1 ) và (C2 ) . Đường tròn (O) trực
giao với (C1 ) và (C2 ) nên ta có:
√
k
P(O)/(C1 ) = P(O)/(C2 ) =

2


(M ) .

Do M bất kì trong không gian E n ⇒ N ◦ N = V
2.3.4

O,

k
k

Định lí 4

Nếu A’, B’ thứ tự là ảnh của A, B qua phép nghịch đảo N (O, k) thì
ta có:
AB
.
OA.OB
Chứng minh:

A B = |k| .

+, Nếu A, B, O thẳng hàng, ta có:

Hình 4
k
k
, OB =
OA
OB

⇒
=
AB
OB
OA .AB
OA.OA .AB
⇒AB =
=
OB
OA.OB
AB
= |k| .
.
OA.OB
Nếu qua phép nghịch đảo N (O, k), siêu cầu (C1 ) = (O1 , R1 ) biến
thành siêu cầu (C2 ) = (O2 , R2 ) thì:
R1
R1
R2 = |k| .
2
2 = |k| .
PO/(C1 )
OO1 − R1
Chứng minh: Gọi AB là đường kính của (C1 ) mà O ∈ AB và A’,
B’ thứ tự là ảnh của A, B qua N (O, k)
AB
⇒ (C2 ) = (A B ) và A B = |k| .
OA.OB
R1
⇒ R2 = |k| .

Khi M ≡ A thì At, A t cũng là các tiếp tuyến của đường tròn (Ko ),
do đó chúng đối xứng nhau qua đường trung trực của AA’ .
Chứng minh định lí.

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Trang

Hình 7
Giả sử có hai đường cong (C) và (D) cắt nhau ở A , qua NOk biến
thành hai đường cong tương ứng (C ), (D ) cắt nhau tại A = NOk (A).
Theo bổ đề trên thì các tiếp tuyến At và A’t’ đối xứng nhau qua đường
trung trực của AA’ , các tiếp tuyến Au và A’u’ cũng đối xứng nhau
qua đường trung trực của AA’. Theo tính chất phép đối xứng trục ta
có:
(At, Au) = − (A t , A u )
Do đó phép nghịch đảo bảo toàn góc giữa hai đường cong và làm
ngược hướng của hình.
2.3.6

Định lí 6

Phép nghịch đảo biến siêu phẳng đi qua cực nghịch đảo thành chính
nó.
Chứng minh:
Giả sử siêu phẳng (α) đi qua cực nghịch đảo O của phép nghịch đảo
NOk .Nếu A là điểm bất kì khác O và thuộc siêu phẳng, A = NOk (A)⇒

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Trang

cực nghịch đảo.
2.3.8

Định lí 8

Phép nghịch đảo biến siêu cầu không đi qua cực nghịch đảo thành
siêu cầu không đi qua cực nghịch đảo.
Chứng minh:

Hình 9
Giả sử trong E 3 cho phép nghịch đảo N (O, k) và mặt cầu (C )
tâm I không qua O , đường thẳng OI cắt (C ) tại A, B .
Gọi A = N (A) , B = N (B)
∀M ∈ (C ) , M = N (M ) ta có:
Tứ giác MBM’B’ nội tiếp ⇒ B1 = M1
Tứ giác MAM’A’ nội tiếp ⇒ A1 = M2
Do đó M1 + M2 = A1 + B1 = 90◦ ⇒ A M B = 90◦ ⇒ M ∈ (A B )
Ngược lại, lấy P ∈ (A’B’) chứng minh tương tự trên ta có: P =
N (P ) ∈ (C ).
Tóm lại N [(C )] = (A B ).

18