BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI

NGÔ LIÊN PHƢƠNG

NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG
CỦA HỢP KIM THAY THẾ AB XEN KẼ NGUYÊN TỬ C
VỚI CẤU TRÚC LẬP PHƢƠNG TÂM KHỐI
BẰNG PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔMEN

LUẬN ÁN THẠC SĨ VẬT LÍ

Hà Nội - 2015


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và trân trọng cảm ơn đến các cá nhân và
tập thể sau đây
PGS. TS. Nguyễn Quang Học - thầy giáo đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt
thời gian qua, đã tận tình chỉ dạy, hướng dẫn và giúp đỡ tôi rất nhiều trong học tập
và nghiên cứu cũng như trong quá trình thực hiện luận văn;
Các thầy cô giáo Khoa Vật lý, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội đặc biệt là các thầy cô giáo Bộ môn Vật lý lý thuyết đã dạy dỗ, cung cấp
những kiến thức quý báu và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi học tập và hoàn thành
luận văn;
Các bạn Lớp Cao học Vật lý lý thuyết K23 Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn;
Những người thân trong gia đình, các bạn bè thân thiết đã luôn động viên,
giúp đỡ, ủng hộ, chia sẻ những khó khăn và tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành
luận văn.
Hà Nội, ngày 4 tháng 10 năm 2015

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn .................................................................... 15
6. Bố cục của luận văn ......................................................................................................... 15

CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN............................................................................................... 16
1.1.Hợp kim xen kẽ.......................................................................................................... 16
1.2. Một số công trình nghiên cứu về hợp kim xen kẽ .................................................... 20
1.3. Các phương pháp thống kê trong nghiên cứu tính chất nhiệt động của hợp kim ..... 22
1.3.1. Phương pháp phiếm hàm mật độ ....................................................................... 22
1.3.2. Phương pháp giả thế .......................................................................................... 25

1.3.2.1. Lý thuyết giả thế ............................................................................................ 25
1.3.2.2. Thế nhiệt động Gibbs của hợp kim đôi rắn và hỗn độn............................. 28
Kết luận chương 1........................................................................................................... 30

CHƢƠNG 2: CÁC ĐẠI LƢỢNG NHIỆT ĐỘNG CỦA HKTT AB XEN KẼ
NGUYÊN TỬ C VỚI CẤU TRÚC LPTK Ở ÁP SUẤT KHÔNG ............................. 31
2.1. Phương pháp thống kê mômen ................................................................................. 31
2.2.1. Các công thức tổng quát về momen [6, 7]........................................................ 31

2.1.2. Công thức tổng quát tính năng lượng tự do [6.7]............................................. 34
2.2. Các đại lượng nhiệt động của tinh thể LPTK[6]....................................................... 35
2.2.1. Khoảng cách lân cận gần nhất giữa các nguyên tử .......................................... 35


2.2.2. Năng lượng tự do..................................................................................................... 36
2.2.3. Hệ số nén đẳng nhiệt ............................................................................................ 36
2.2.4. Môđun đàn hồi đẳng nhiệt .................................................................................... 37
2.2.5. Hệ số dãn nở nhiệt ................................................................................................ 37
2.2.6. Năng lượng ........................................................................................................... 37
2.2.7. Entrôpi .................................................................................................................. 37

CHƢƠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH SỐ ĐỐI VỚI CÁC ĐẠI LƢỢNG NHIỆT ĐỘNG
CỦA HKXK FeCrSi Ở ÁP SUẤT KHÔNG ................................................................... 54
3.1. Thế tương tác giữa các nguyên tử trong hợp kim xen kẽ............................................. 54
3.2. Các thông số của kim loại và hợp kim xen kẽ AC với cấu trúc LPTK ...................... 57
3.2.1. Các thông số của kim loại [6] ................................................................................. 57
3.2.2. Các thông số của hợp kim xen kẽ AC.................................................................... 59
3.2.3. Các bước tính số các đại lượng nhiệt động của hợp kim thay thế AB xen kẽ
nguyên tử C............................................................................................................. 61
3.3. Kết quả tính số đối với các đại lượng nhiệt động của HKXK FeCrSi ở áp suất không.. 62
3.3.2. Hệ số nén đẳng nhiệt................................................................................................ 64
3.3.3. Môđun đàn hồi đẳng nhiệt ...................................................................................... 67
3.3.4. Hệ số dãn nở nhiệt ................................................................................................... 69
3.3.5. Nhiệt dung đẳng tích................................................................................................ 71
3.3.6. Nhiệt dung đẳng áp .................................................................................................. 73
3.3.7. Entrôpi ....................................................................................................................... 76
3.3.8. Hệ số nén đoạn nhiệt................................................................................................ 78
Kết luận chương 3 .................................................................................................................. 81
KẾT LUẬN CHUNG ........................................................................................................... 82
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................................... 84


DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT

KL

Kim loại

HK

Hợp kim


Đại học Quốc gia

KH& KT

Khoa học và Kỹ thuật

GD

Giáo dục

DFT

Lý thuyết phiếm hàm mật độ

LDA

Gần đúng mật độ địa phương

AB INITIO

Từ các nguyên lý đầu tiên

DFPT

Lý thuyết nhiễu loạn phiếm hàm mật độ

PPWM

Phương pháp sóng phẳng giả thế

nhiệt T đối với Fe-xCr-1Si ở P = 0
Bảng 3.7. Sự phụ thuộc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử xen kẽ Si của môđun đàn hồi đẳng
nhiệt BT đối với Fe-5Cr-xSi ở P = 0
Bảng 3.8. Sự phụ thuộc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử thay thế Cr của môđun đàn hồi
đẳng nhiệt BT đối với Fe-xCr-1Si ở P = 0
Bảng 3.9. Sự phụ thuộc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử xen kẽ Si của hệ số dãn nở nhiệt

T đối với Fe-5Cr-xSi ở P = 0
Bảng 3.10. Sự phụ thuộc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử thay thế Cr của hệ số dãn nở nhiệt

T đối với Fe-xCr-1Si ở P = 0
Bảng 3.11. Sự phụ thuộc nhiệt độ của hệ số dãn nở nhiệt  T đối với Fe ở vùng nhiệt độ
thấp theo PPTKMM và thực nghiệm
Bảng 3.12. Sự phụ thuộc nhiệt độ của hệ số dãn nở nhiệt  T đối với Fe ở vùng nhiệt độ
cao theo PPTKMM và thực nghiệm
Bảng 3.13. Sự phụ thuộc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử xen kẽ Si của nhiệt dung đẳng tích
CV đối với Fe-5Cr-xSi ở P = 0


Bảng 3.14. Sự phụ thuộc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử thay thế Cr của nhiệt dung đẳng
tích CV đối với HKXK Fe-xCr-1Si ở P = 0
Bảng 3.15. Sự phụ thuộc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử xen kẽ Si của nhiệt dung đẳng áp
CP đối với Fe-5Cr-xSi ở P = 0

Bảng 3.16. Sự phụ thuộc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử thay thế Cr của nhiệt dung đẳng
áp CP đối với Fe-xCr-1Si ở P = 0
Bảng 3.17. Sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung đẳng áp CP đối với Fe ờ vùng nhiệt độ
thấp theo PPTKMM và thực nghiệm
Bảng 3.18. Sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung đẳng áp CP đối với Fe ờ vùng nhiệt độ
cao theo PPTKMM và thực nghiệm

Hình 3.17. T T  ở P = 0, cCr  0, 1, 3, 7 và 10% đối với Fe-xCr-1Si
Hình 3.18. CV  cSi  ở P = 0, T =10, 100, 300 và 1000K đối với Fe-5Cr-xSi
Hình 3.19. CV (T ) ở P = 0, cSi  0, 0,3, 1 và 5% đối với Fe-5Cr-xSi


Hình 3.20. CV  cCr  ở P = 0, T =10, 100, 300, và 1000K đối với Fe-xCr-1Si
Hình 3.21. CV (T ) ở P = 0, cCr  0, 1, 3, 7 và 10% đối với Fe-xCr-1Si
Hình 3.22. CP  cSi  ở P = 0, T =10, 100, 300 và 1000K đối với Fe-5Cr-xSi
Hình 3.23. CP (T ) ở P = 0, cSi  0, 0,3, 1 và 5% đối với Fe-5Cr-xSi
Hình 3.24. CP  cCr  ở P = 0, T =10, 100, 500 và 1000K đối với Fe-xCr-1Si
Hình 3.25. CP (T ) ở P = 0, cCr  0, 1, 3, 7 và 10% đối với Fe-xCr- 1Si
Hình 3.26. S  cSi  ở P = 0, T =10, 100, 300 và 1000K đối với Fe-5Cr-xSi
Hình 3.27. S T  ở P = 0, cSi  0, 0,3, 1 và 5% đối với Fe-5Cr-xSi
Hình 3.28. S  cCr  ở P = 0, T =10, 100, 500 và 1000K đối với Fe-xCr-1Si
Hình 3.29. S T  ở P = 0, cCr  0, 1, 3, 7 và 10% đối với Fe-xCr-1Si
Hình 3.30.  S  cSi  ở P = 0, T =10, 100, 300 và 1000K đối với Fe-5Cr-xSi
Hình 3.31.  S T  ở P = 0, cSi  0, 0,3, 1 và 5% đối với Fe-5Cr-xSi
Hình 3.32.  S  cCr  ở P = 0 và T =10, 100, 500 và 1000K đối với Fe-xCr-1Si
Hình 3.33.  S T  ở P = 0, cCr  0, 1, 3, 7 và 10% đối với Fe-xCr-1Si


MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
Trong cách mạng khoa học công nghệ nhóm vật liệu kim loại và hợp kim đóng
một vai trò quan trọng. Hợp kim có nhiều tính chất vượt trội so với các kim loại
nguyên chất. Trong thực tế ta rất ít gặp các kim loại sạch mà phần lớn các kim loại
có tạp chất hay nói cách khác đó chính là các hợp kim mà chủ yếu là hợp kim nhiều
thành phần.
Kim loại và hợp kim luôn là đối tượng nghiên cứu phổ biến của vật lý và công
nghệ đặc biệt là công nghệ vật liệu.

LPTK trong luận văn ThS của Đinh Thị Thanh Thủy (2015)[8], nghiên cứu tính
chất nhiệt động của hợp kim xen kẽ AB với cấu trúc LPTD trong luận văn ThS của
Trần Thị Cẩm Loan (2015)[9], nghiên cứu tính chất nhiệt động của hợp kim thay
thế AB xen kẽ nguyên tử C với cấu trúc LPTD trong luận văn ThS của Tăng Thị
Huê (2015)[ ] … Có nhiều kết quả thu được phù hợp tốt với số liệu thực nghiệm đã
công bố. Tuy nhiên, việc nghiên cứu tính chất nhiệt động của hợp kim thay thế AB
xen kẽ nguyên tử C với cấu trúc LPTK còn là một vấn đề bỏ ngỏ.
Với những lý do nêu trên, chúng tôi quyết định chọn đề tài của luận văn là
“Nghiên cứu tính chất nhiệt động của hợp kim thay thế AB xen kẽ nguyên tử C
với cấu trúc lập phương tâm khối bằng phương pháp thống kê mômen”.
2. Mục đích nghiên cứu
Áp dụng PPTKMM để nghiên cứu tính chất nhiệt động của hợp kim thay thế
AB xen kẽ nguyên tử C với cấu trúc LPTK ở áp suất không .Cụ thể là xây dựng
biểu thức giải tích của các đại lượng nhiệt động như năng lượng tự do Helmholtz,
năng lượng, entrôpi, hệ số dãn nở nhiệt, các hệ số nén đẳng nhiệt và đoạn nhiệt, các
nhiệt dung đẳng áp và đẳng tích phụ thuộc vào nhiệt độ, nồng độ nguyên tử thay thế
và nồng độ nguyên tử xen kẽ khi tính đến ảnh hưởng phi điều hòa trong dao động
mạng của các nguyên tử trong hợp kim.
Áp dụng kết quả lý thuyết thu được để tính số cho hợp kim FeCrSi. Các kết
quả tính số đối với các hợp kim xen kẽ tam nguyên FeCrSi được so sánh với các kết
quả của hợp kim thay thế FeCr và hợp kim xen kẽ FeSi và kim loại Fe, các kết quả
thực nghiệm và các kết quả tính số theo các phương pháp khác .

13


3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Các tính chất nhiệt động của HKXK FeCrSi ở áp suất không. Vùng nhiệt độ
nghiên cứu từ 10K đến 1000K (gần nhiệt độ nóng chảy của Fe). Vùng nồng độ
nguyên tử thay thế Cr nghiên cứu từ 0 đến 10%. Vùng nồng độ nguyên tử xen kẽ Si

Rút ra biểu thức giải tích đối với các đại lượng nhiệt động của HKTT AB xen
kẽ nguyên tử C với cấu trúc LPTK như các hệ số nén đẳng nhiệt và đoạn nhiệt, hệ
số dãn nở nhiệt, các nhiệt dung đẳng tích và đẳng áp, … phụ thuộc vào nhiệt độ, áp
suất, nồng độ nguyên tử thay thế và nồng độ nguyên tử xen kẽ.
Áp dụng tính số đối với HKXK FeCrSi với cấu trúc LPTK và so sánh kết quả
tính toán với thực nghiệm. Các kết quả tính toán không có số liệu thực nghiệm để so
sánh có thể sử dụng để dự báo và định hướng thực nghiệm.
Các kết quả nghiên cứu hoàn toàn có thể sử dụng để nghiên cứu tính nhiệt
động của các HKXK ABC khác với cấu trúc LPTK. Có thể mở rộng hướng nghiên
cứu của luận văn để nghiên cứu tính chất nhiệt động của HKXK ABC với cấu trúc
LPTK dưới tác dụng của áp suất, nghiên cứu tính chất nhiệt động của HKXK ABC
có khuyết tật với cấu trúc LPTK ở áp suất không và dưới tác dụng của áp suất ,...
6. Bố cục của luận văn
Mở đầu
Chƣơng 1. Tổng quan
Chƣơng 2. Các đại lƣợng nhiệt động của HKTT AB xen kẽ nguyên tử C với
cấu trúc LPTK ở áp suất không
Chƣơng 3. Áp dụng tính số đối với các đại lƣợng nhiệt động của HKXK
FeCrSi ở áp suất không
Kết luận
Tài liệu tham khảo

15


CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN
1.1.Hợp kim xen kẽ
Trong tự nhiên thường tồn tại ba nhóm vật liệu chủ yếu là chất hữu cơ, chất vô
cơ và kim loại trong đó nhóm vật liệu kim loại đóng vai trò hết sức quan trọng đối
với khoa học vật liệu vì đây là loại vật liệu phổ biến nhất. Tuy nhiên, ta rất ít gặp

và tam nguyên của các kim loại và phi kim loại chứng tỏ rằng nói chung ở nồng độ
thấp của nguyên tử nhỏ, có thể mô tả pha như một dung dịch và điều này gần đúng
với mô tả lịch sử của hợp chất xen kẽ nói trên. Ở các nồng độ cao hơn của nguyên
tử nhỏ, có thể có mặt các pha với các cấu trúc mạng khác nhau và chúng có thể có
một phạm vi của các phép hợp thức (stoichiometry).
Người ta thường hiểu « hợp kim » như là « một hỗn hợp của các kim loại ».
Đó là một sự nhầm lẫn vì một số hợp kim chỉ chứa một kim loại và nó tạo hỗn hợp
với các chất khác không phải là kim loại. Ví dụ như gang là một hợp kim của chỉ
một kim loại là sắt với một chất không phải là kim loại là cacbon. Hợp kim là một
vật liệu được tạo thành bởi ít nhất hai nguyên tố hóa học khác nhau trong đó phải có
một kim loại. Thành phần kim loại quan trọng nhất của một hợp kim (thường chiếm
nồng độ 90% hoặc hơn) được gọi là kim loại chính, kim loại mẹ hay kim loại cơ sở.
Các thành phần khác của một hợp kim được gọi là các tác nhân tạo hợp kim và có
thể là kim loại hoặc không phải kim loại. Chúng có mặt trong hợp kim với các
lượng nhỏ hơn nhiều (đôi khi chỉ chiếm nồng độ dưới 1%). Mặc dù một hợp kim
đôi khi là một hợp chất (các nguyên tố tạo thành hợp chất được liên kết hóa học
đồng thời), nó thường là một dung dịch rắn (các nguyên tử của các nguyên tố được
hỗn hợp với nhau giống như muối hỗn hợp với nước).
Nếu các nguyên tử của tác nhân tạo hợp kim thay thế các nguyên tử của kim
loại chính, ta có được một hợp kim thay thế (substitution alloy) (Hình 1.1). Một hợp
kim như thế chỉ được tạo thành nếu các nguyên tử của kim loại cơ sở và các nguyên
tử của tác nhân tạo hợp kim có các kích thước gần như nhau. Trong hầu hết hợp kim
thay thế, các nguyên tố thành phần rất gần nhau trong bảng hệ thống tuần hoàn. Ví
dụ như đồng thau là một hợp kim thay thế trên cơ sở của đồng trong đó các nguyên
tử kẽm thay thế từ 10 đến 35% các nguyên tử đồng. Đồng thau là một hợp kim vì
đồng và kẽm nằm gần nhau trong bảng hệ thống tuần hoàn và có các nguyên tử với
các kích thước gần như nhau.

17



Hình 1.2 mô tả sự

biến đổi pha của sắt theo nhiệt độ [25, 26]. Ở khoảng nhiệt độ từ 0K đến 1042K, sắt
có dạng LPTK (pha -Fe) và là chất sắt từ. Ở trên nhiệt độ chuyển pha TC = 1042K,
sắt mất tính sắt từ và trở thành chất thuận từ nhưng vẫn có dạng LPTK. Nó được gọi
là -Fe. Ở khoảng nhiệt độ từ 1042K đến 1183K, sắt chuyển sang dạng LPTD và
được gọi là -Fe. Ở nhiệt độ khoảng 1665K, sắt lại có dạng LPTK và mang tính
thuận từ. Nó được gọi là -Fe. Sắt nóng chảy ở nhiệt độ 1808 K

Hình 1.2. Sơ đồ chuyển pha của sắt

19


1.2. Một số công trình nghiên cứu về hợp kim xen kẽ
Có nhiều công trình nghiên cứu về hợp kim xen kẽ [1, 3, 8-32]. Các kĩ
thuật từ các nguyên lý đầu tiên (ab initio) trên cơ sở lý thuyết phiếm hàm mật độ
(DFT) đã được sử dụng để tính toán năng lượng tự do và nhiều tính chất nhiệt
động khác tại các nhiệt độ và áp suất cao có liên quan đến lõi Trái Đất [23].
Năng lượng tự do trạng thái lỏng được kết hợp với năng lượng tự do của Fe có
cấu trúc LGXC đã được tính toán từ trước khi sử dụng các kĩ thuật ab initio để
thu được đường cong nóng chảy, thể tích và entrôpi tại điểm nóng chảy. Việc so
sánh lí thuyết với thực nghiệm đã được thực hiện tại các áp suất mà tại đó các
đường cong Hugoniot rắn và lỏng cắt đường nóng chảy, tốc độ âm và thông số
Gruneisen dọc theo đường cong Hugoniot. Ngoài ra, còn có các so sánh khác với
một phương tình trạng thái được sử dụng chung với sắt ở nhiệt độ và áp suất cao
trên cơ sở số liệu thực nghiệm.
Năng lượng tạo thành nút khuyết và thể tích tạo thành nút khuyết của các kim
loại hiếm quý và kim loại chuyển tiếp của các nhóm 3d, 4d, 5d đã được tính trong

nồng độ khuyết tật điểm tùy ý. Thế này đã được tính có kết quả tốt đối với các
khuyết tật có năng lượng cao, dự đoán các năng lượng tạo thành và cấu hình của các
chùm nhiều nút khuyết nhiều cacbon mà chúng không thể đạt được với các thế đang
tồn tại hoặc được chỉ ra trước đây qua các phương pháp ab initio.
Các tính chất cấu trúc, đàn hồi và nhiệt của

đã được nghiên cứu bằng cách

sử dụng thế của phương pháp nguyên tử nhúng biến dạng (MEAM) cho các hợp kim
FeC [21]. Các thế nguyên tử riêng cho Fe và C trước đây đã được dùng để phát triển
một thế MEAM cho hợp kim FeC khi sử dụng một chương trình tối ưu hóa trên cơ sở
thống kê để tái sinh các tính chất cấu trúc và đàn hồi của

, các năng lượng xen kẽ

của C trong Fe có cấu trúc LPTK và nhiệt tạo thành của các hợp kim FeC với các cấu
trúc L12 và B1. Sự ổn định của

đã được nghiên cứa bằng mô phỏng động lực học

phân tử (MD) ở nhiệt độ cao. 9 hằng số đàn hồi đơn tinh thể đối với Fe3C đã thu được
bằng cách tính từ các hằng số đàn hồi đơn tinh thể thuộc Fe3C. Các năng lượng tạo
thành của các bề mặt (001), (010) và (100) của Fe3C đã được tính toán. Nhiệt độ nóng
chảy và sự thay đổi nhiệt dung và thể tích theo nhiệt độ đã được nghiên cứu bằng cách
tiến hành một mô phỏng MD 2 pha rắn và lỏng của Fe3C. Các dự đoán của thế phù
hợp tốt với các tính toán ab initio và thực nghiệm.

21



22


∫

́)

(

∫

|

́

́|

(1.1)

trong đó số hạng thứ 2 là năng lượng tương tác tĩnh điện của các electron, G[

là

hàm suy rộng bao gồm động năng và năng lượng tương quan trao đổi. Từ điều kiện
cực tiểu của (1.1) và điều kiện bảo toàn số hạt, ta có phương trình xác định

(1.2)
trong đó

là thừa số Lagrange.

| ,

(1.6)

là hàm riêng của phương trình
*

+

(1.7)

với thế hiệu dụng
∫|

23

́
́|

́

.

(1.8)


Có thể giải hệ phương trình (1.7) bằng phương pháp lý thuyết vùng thông
thường đối với vật rắn. Khó khăn cơ bản khi sử dụng KSE là sự phức tạp khi nghiên
cứu hệ nhiều thành phần và không tuần hoàn.
Động năng của hệ trong LDA là

giả thế trực giao được tạo bởi các electron tác dụng lên mật độ electron hóa trị
. Vì các lõi phủ lên nhau yếu nên
∑
∑

(1.12)

là giả thế trực giao của nguyên tử cô lập. Động năng của

các electron hóa trị có dạng
TB = Td + Th,

(1.13)

trong đó Td là động năng của electron d với mật độ
electron lõi với mật độ

. Khi đó,
∫

trong đó

, Th là động năng của

(1.14)

xác định từ điều kiện bằng nhau của giá trị tính toán và giá trị thực

nghiệm tính cho một nguyên tử kim loại sạch.
Khi thêm năng lượng tương tác hạt nhân vào (1.1), ta thu được năng lượng


hợp kim được xác định bởi
–
trong đó c là nồng độ thành phần A,

và

,

(1.16)

tương ứng là giả trị

trong các kim

loại sạch A và B.
1.3.2. Phương pháp giả thế
1.3.2.1. Lý thuyết giả thế
Sự phát triển của phương pháp giả thế là tiền đề cho những thành tựu to lớn
của vật lí chất rắn đạt được trong vài thập niên gần đây (các tài liệu tham khảo 57,
58 trong [5]). Phương pháp này cho phép xác định tính chất điện của kim loại và
hợp kim, khuyết tật điểm và khuyết tật đường và tính toán thế nhiệt động của kim
loại và hợp kim…
Phillips và Kleinman (tài liệu tham khảo 103 trong [5]) đã chỉ ra rằng trong
phương trình Schrodinger để tìm phổ năng lượng  (k ) của trường tinh thể V (r ), có
thể thay thế bằng một thế yếu hơn gọi là giả thế. Khi đó, dạng giả thế đưa vào tương
ứng với một phép biến đổi phương trình Schrodinger như thế nào đó để trị riêng của
phương trình này trùng với trị riêng của phương trình giả sóng
 1 2
