TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

PHẠM THỊ NGA

MỘT SỐ
PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN ĐẶC BIỆT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Hà Nội – Năm 2016


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

PHẠM THỊ NGA

MỘT SỐ
PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN ĐẶC BIỆT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
Ths. Dương Thị Luyến

Hà Nội – Năm 2016

Phạm Thị Nga


Mục lục

LỜI MỞ ĐẦU

1

1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

4

1.1

Tính chất chia hết trong tập số nguyên . . . . . . . . . .

4

1.2

Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất . . . . . . . .

5

1.3

Số nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6


10

1.6.3

Định lí Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.7

Phương trình nghiệm nguyên . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.8

Một vài kiến thức liên quan đến liên phân số . . . . . . .

11

2 PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE
2.1

13

Phương trình vô định bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . .

13


2.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2.2

Điều kiện có nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2.3

Cách giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3 PHƯƠNG TRÌNH PELL
3.1

3.2

3.3

Phương trình Pell loại I

23
. . . . . . . . . . . . . . . . . .



3.2.2

Điều kiện có nghiệm của phương trình Pell loại II

36

3.2.3

Công thức nghiệm của phương trình Pell loại II .

38

3.2.4

Sử dụng liên phân số để giải phương trình Pell loại
II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Phương trình Pell với tham số n . . . . . . . . . . . . . .

46

3.3.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46



Tính chất của bộ ba Pythagore nguyên thủy . . .

53

4.2.2

Cách chế ra bộ ba Pythagore . . . . . . . . . . .

55

5 PHƯƠNG TRÌNH FERMAT

58

5.1

Định lí Fermat lớn với n = 4

. . . . . . . . . . . . . . .

60

5.2

Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

6 PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ MỘT ẨN

dư bậc nhất một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

6.3

Phương trình đồng dư f (x) ≡ 0 (mod m)

. . . . . . . .

70

6.4

Phương trình đồng dư f (x) ≡ 0 (mod pα )

. . . . . . . .

73

6.4.1

Nghiệm của phương trình f (x) ≡ 0 (mod pα )

6.4.2

Cách giải của phương trình f (x) ≡ 0 (mod pα )

. .


Phương trình nghiệm nguyên là một trong những đề tài hay, lí thú
của Số học. Được nghiên cứu từ thời Diophante thế kỉ thứ III, đến nay
phương trình nghiệm nguyên vẫn còn là đối tượng nghiên cứu của toán
học. Phương trình nghiệm nguyên vô cùng đa dạng do đó mà phần lớn
phương trình nghiệm nguyên không có cách giải tổng quát, mỗi bài toán
với số liệu riêng của nó đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp. Bên cạnh đó
có một số phương trình có cách giải riêng như: phương trình Diophante,
phương trình Pythagore, phương trình Pell nhưng chưa được hệ thống
một cách đầy đủ và rõ ràng.
Với những lí do trên cùng với lòng đam mê và được sự giúp đỡ nhiệt
tình của cô giáo hướng dẫn Th.s Dương Thị Luyến, em đã chọn đề tài
"Một số phương trình nghiệm nguyên đặc biệt".

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Nga

2. Mục đích yêu cầu của đề tài
Đề tài nhằm hệ thống một cách đầy đủ, chính xác định nghĩa cũng
như cách giải của một số phương trình nghiệm nguyên đặc biệt như:
phương trình Diophante, phương trình Pell, phương trình Pythagore,
phương trình đồng dư một ẩn.

3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: một số phương trình nghiệm nguyên đặc biệt.
Phạm vi nghiên cứu: do hạn chế về mặt thời gian cũng như tài liệu
và năng lực nghiên cứu nên đề tài của em chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu

3


Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1

Tính chất chia hết trong tập số nguyên

Định nghĩa 1.1. Cho a, b là 2 số nguyên, b = 0 . Nếu có 1 số nguyên q
sao cho a = bq thì ta nói b chia hết a hay b là ước của a và kí hiệu b \ a.
.
Ta cũng nói rằng a chia hết cho b hay a là bội của b và kí hiệu a .. b.
Tính chất 1.1.1. Các tính chất của tính chia hết
1. ±1 \ a, ∀a ∈ Z.
2. a \ 0, ∀a ∈ Z.
3. a \ a, ∀a ∈ Z.
4. ∀a, b ∈ Z, a \ b và b \ a ⇒ a = ±b.
5. ∀a, b, c ∈ Z, a \ b và b \ c ⇒ a \ c.
n

6. b \ ai , ∀i = 1, n ⇒ b \

ai xi , ∀x0 , x1 , . . . , xn ∈ Z.
i=0
n

7. mi \ ai , ∀i = 1, n ⇒

n

Định nghĩa 1.4. Một số nguyên m được gọi là bội chung của các số
nguyên a1 , a2 , . . . , an nếu d là bội của mỗi số nguyên đó.
Định nghĩa 1.5. Bội chung nhỏ nhất của các số nguyên a1 , a2 , . . . , an
là số nhỏ nhất trong tập hợp các bội chung dương của chúng.
Kí hiệu m = [a1 , a2 , . . . , an ].
Tính chất 1.2.1. Các tính chất của ước chung lớn nhất và bội
chung nhỏ nhất
a b
,
=1
d d
m m
m = [a, b] ⇔
,
= 1.
a b

1. d = (a, b) ⇔

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Nga


 a \ bc
2.
⇒ a \ c.


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Nga

tiêu chuẩn của n.

1.4

Đồng dư

Định nghĩa 1.7. Cho a, b ∈ Z, m ∈ N∗ . Ta nói 2 số a, b đồng dư với
nhau theo môđun m nếu trong các phép chia a và b cho m ta được cùng
số dư. Kí hiệu a ≡ b (mod m).
Hệ thức a ≡ b (mod m) gọi là đồng dư thức.
Mệnh đề 1.1. Cho a, b ∈ Z, m ∈ N∗ . Các điều kiện sau tương đương:
1. a ≡ b (mod m) .
2. a = b + mq, q ∈ Z.
3. m \ (a − b).
Tính chất 1.4.1. Một số tính chất cơ bản của đồng dư thức

1. a ≡ a (mod m) , ∀ a ∈ Z.
a ≡ b (mod m) ⇒ b ≡ a(mod m).
a ≡ b (mod m) , b ≡ c (mod m) ⇒ a ≡ c (mod m).
2. a ≡ b (mod m) ⇒ a.k ≡ b.k (mod m) , k ∈ Z.
a ≡ b (mod m) ⇒ ak ≡ bk (mod m) , k ∈ N.


 a ≡ b (mod m)
 a + c ≡ b + d (mod m)

ai ≡
i=1

bi (mod m).
i=1


 a ≡ b (mod m)
b
a
≡ (mod m)
7.
⇔
 ∀ c \a, c \ b, (c, m) = 1
c
c

 a ≡ b (mod m)
a
b
m
⇔
8.
≡
mod
 ∀ c \a, c \ b, c \ m
c
c
c
9. Nếu a ≡ b (mod mi ) , ∀ i = 1, k

Như vậy ƯCLN của hai số nguyên a và b là số dư cuối cùng khác 0 trong
thuật toán Euclide thực hiện trên a và b.

Nhận xét 1.1. Thuật toán Euclide mở rộng
Dựa vào thuật toán Euclide, từ các đẳng thức ta rút được
ri = ri−2 − ri−1 qi−1 , ∀i = 1, n.
Ta có đẳng thức cuối cùng rn = rn−2 − rn−1 qn−1

(1.1)

Thay rn−1 = rn−3 − rn−2 qn−2 vào (1.1) ta được
rn = rn−2 − (rn−3 − rn−2 qn−2 ) qn−1 = (qn−2 qn−1 + 1) rn−2 − rn−3 . (1.2)
Thay rn−2 = rn−4 − rn−3 qn−3 vào (1.2) ta được
rn = (qn−2 qn−1 + 1) (rn−4 − rn−3 qn−3 ) − rn−3 .

(1.3)

Cứ tiếp tục như thế thay lần lượt rn−3 , ..., r1 vào và cuối cùng ta được
đẳng thức ax + by = c.

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.6
1.6.1

Phạm Thị Nga



Định lí Wilson

Định lý 1.5. Với p là một số nguyên tố ta có đồng dư thức

(p − 1)! ≡ −1 (mod p)
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.7

Phạm Thị Nga

Phương trình nghiệm nguyên

Giải phương trình chứa các ẩn x, y, z, ... với nghiệm nguyên là tìm tất
cả các bộ số nguyên (x, y, z, . . .) thỏa mãn phương trình đó. Khi giải
phương trình nghiệm nguyên do phải lợi dụng các tính chất của tập số
nguyên Z nên ngoài việc biến đổi tương đương ta còn dùng đến các biến
đổi mà giá trị của ẩn chỉ thỏa mãn điều kiện cần của nghiệm, trong
trường hợp này ta cần kiểm tra lại các giá trị đó bằng cách thử trực tiếp
vào phương trình đã cho.
Một phương trình nghiệm nguyên có thể vô nghiệm, có hữu hạn
nghiệm, có vô số nghiệm. trong trường hợp có vô số nghiệm nguyên,
các nghiệm nguyên của phương trình đã cho được biểu thị bằng công
thức có chứa tham số là một số nguyên.

1.8


Định nghĩa 1.10. Định nghĩa liên phân số vô hạn
Liên phân số vô hạn là biểu thức có dạng
1

a0 +
a1 +

1
a2 + .

1

.. +
an−1 +

1
an + . .

.

trong đó a0 là số nguyên
ai , ∀i = 0 là các số nguyên dương .
Kí hiệu: [a0 ; a1 , a2 , . . . , an , . . .] .
Định nghĩa 1.11. Định nghĩa giản phân
Cho liên phân số hữu hạn hoặc vô hạn . Giả sử hai dãy số nguyên dương
p0 , p1 , . . . , pn , . . . và q0 , q1 , . . . , qn , . . . được xác định như sau:
p 0 = a0

q0 = 1

2.1

Phương trình vô định bậc nhất hai ẩn

2.1.1

Định nghĩa

Định nghĩa 2.1. Phương trình vô định bậc nhất hai ẩn là phương trình
có dạng
ax + by = c

(2.1)

trong đó a, b, c là các số nguyên, x và y là các ẩn nguyên cần tìm.
2.1.2

Điều kiện có nghiệm và công thức nghiệm

Định lý 2.1. Điều kiện có nghiệm
Cho phương trình ax + by = c, trong đó a, b, c là các số nguyên, a, b = 0,
d = (a, b). Khi đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi d \ c.
Chứng minh
• Giả sử phương trình đã cho có nghiệm tức là ∃ x0 , y0 ∈ Z sao cho
ax0 + by0 = c.
13

(2.1.1)




 x = x0 + b t
d
a , t ∈ Z.

 y = y0 − t
d
Chứng minh


 x = x0 + b t
d
• Ta chỉ ra
a , t ∈ Z là nghiệm của phương trình (2.1).

 y = y0 − t
d
b
a
Ta có ax + by = a(x0 + t) + b y0 − t = ax0 + by0 = c vì (x0 , y0 ) là
d
d
nghiệm của phương trình (2.1).
• Chứng minh mọi nghiệm của phương trình (2.1) có dạng

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


a b
= 1.
Lại có d = (a, b) nên
,
d d
.a
Từ (4) ta có (y0 − y1 ) .. .
d
a
a
Suy ra ∃t ∈ Z sao cho y0 − y1 = t ⇒ y1 = y0 − t .
d
d
b
Thay vào (∗) ta được x1 = x0 + t.
d
Vậy công thức nghiệm của phương trình (2.1) là


 x = x0 + b t
d
a , t ∈ Z.

 y = y0 − t
d

(2.1.3)

Chú ý
Công thức nghiệm của phương trình (2.1) còn được viết dưới dạng

nguyên.
Ví dụ 2.1.1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình
11x − 15y = 145.

(2.2)

Lời giải
.
.
.
.
Ta thấy 15 .. 5 và 145 .. 5 nên 11x .. 5 ⇒ x .. 5. Đặt x = 5k, k ∈ Z.
Khi đó phương trình đã cho trở thành 11k − 3y = 29.
(2.2.1)
11k − 29
2k − 2
k−1
Khi đó ta có y =
= 3k − 9 +
= 3k − 9 + 2.
. (2.2.2)
3
3
3
k−1
k−1
Để x nguyên thì
∈ Z , tức là tồn tại t ∈ Z sao cho
=t
3


(2.3)

Lời giải
Ta thấy phương trình đã cho có 1 nghiệm là(2, 1) vì 5.2 − 3.1 = 7.
 x = 3t + 2
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là
, t ∈ Z.
 y = 5t + 1
+) Dùng thuật toán Euclide mở rộng

Ví dụ 2.1.3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình
19x + 85y = 121.

(2.4)

Lời giải
Ta có 85 = 19.4 + 9

(2.4.1)

19 = 9.2 + 1

(2.4.2)

2 = 1.2 + 0
17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

là hai giản phân cuối cùng của liên phân số
qn−1
qn
này.
a
pn
a pn
Khi đó ta có =
và vì ,
là các phân số tối giản
b
qn
b qn
nên a = pn , b = qn .
Theo tính chất của liên phân số hữu hạn ta có
pn qn−1 − pn−1 qn = (−1)n−1
⇔ aqn−1 − bpn−1 = (−1)n−1
⇔ ac(−1)n+1 qn−1 + bc(−1)n pn−1 = c
18