Header Page 1 of 161.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THU HẰNG

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM
CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ
TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích

HÀ NỘI, 2016

Footer Page 1 of 161.


Header Page 2 of 161.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THU HẰNG

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM
CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ
TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích

Người hướng dẫn khóa luận

TS. Nguyễn Văn Tuyên



5

1.2. Bài toán tối ưu véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1. Quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự . . . . . . . . . . .

6

1.2.2. Điểm hữu hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.3. Sự tồn tại của điểm hữu hiệu . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.4.

9

Bài toán tối ưu véctơ (VOP) . . . . . . . . . . . . . .

2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng véctơ

11

2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Header Page 5 of 161.

Lời mở đầu
Cho A là một tập khác rỗng và f : A × A → R là một song hàm cân
bằng, tức là f (x, x) = 0 ∀x ∈ A. Xét bài toán
(EP)

Tìm x ∈ A thỏa mãn f (x, y) ≥ 0 với mọi y ∈ A.

Bài toán này lần đầu tiên được đưa ra vào năm 1955 bởi H. Nikaido và K.
Isoda(1) nhằm tổng quát hóa bài toán cân bằng Nash. Bài toán (EP) thường
được sử dụng để thiết lập điểm cân bằng trong Lý thuyết trò chơi (Games
Theory), bởi thế nó còn có tên gọi khác là Bài toán cân bằng (Equilibrium
Problem) theo cách gọi của các tác giả L. D. Muu, W. Oettli(2) . Bài toán
cân bằng khá đơn giản về mặt hình thức nhưng nó bao hàm được nhiều lớp
bài toán quan trọng thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau như bài toán tối ưu,
bất đẳng thức biến phân, điểm bất động Kakutani, điểm yên ngựa, cân bằng
Nash, ...; nó hợp nhất các bài toán này theo một phương pháp nghiên cứu
chung rất tiện lợi.
Nếu hàm số f được thay bằng hàm véctơ F : A × A → Y , ở đó Y là
một không gian véctơ tôpô, thì chúng ta có bài toán
(VEP)

Tìm x ∈ A thỏa mãn F (x, y) ∈
/ −K với mọi y ∈ A,

với K ∪ {0} là một nón lồi trong Y . Bài toán (VEP) được gọi là Bài toán cân
bằng véctơ (Vector Equilibrium Problem). Bài toán cân bằng véctơ là một sự
mở rộng tự nhiên của các bài toán tối ưu véctơ và bài toán bất đẳng thức
biến phân véctơ.

Nguyễn Thu Hằng

(3)

Gong, X.H.: Efficiency and Henig efficiency for vector equilibrium problems, J. Optim. Theory Appl. 108

(2001), pp. 139–154.

Footer Page 6 of 161.
2


Header Page 7 of 161.

Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1.

Một số kiến thức cơ bản về Giải tích lồi

1.1.1.

Tập lồi

Khái niệm tập lồi là khái niệm quan trọng trong lý thuyết tối ưu. Tập
lồi là tập mà khi lấy 2 điểm bất kì của tập thì đoạn thẳng nối 2 điểm đó cũng
nằm trong tập đó.
Định nghĩa 1.1. Tập X ⊂ Rn được gọi là tập lồi nếu với mọi x1 , x2 ∈ X và
với mọi λ ∈ [0, 1] thì (1 − λ)x1 + λx2 ∈ X.
Bổ đề 1.1. Cho I là tập chỉ số bất kì. Nếu các tập Xi ⊂ Rn (i ∈ I), là các

f ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)f (x) + λf (y), ∀x, y ∈ Ω, ∀λ ∈ [0, 1].

(ii)

Hàm f được gọi là hàm lồi chặt (strictly convex) nếu:
f ((1 − λ)x + λy) < (1 − λ)f (x) + λf (y), ∀x, y ∈ Ω, x = y, ∀λ ∈ [0, 1].

Định nghĩa 1.5. Cho hàm f : Rn → R. Kí hiệu:
Miền hữu hiệu của f : dom f := {x ∈ Rn | f (x) < +∞}.
Đồ thị của hàm f : gphf := {(x, v) ∈ Rn × R | v = f (x)}.
Trên đồ thị của f : epif := {(x, v) ∈ Rn × R | v ≥ f (x)}.
Định nghĩa 1.6. Hàm f được gọi là hàm lõm nếu −f là hàm lồi.
Hàm f được gọi là hàm chính thường nếu f (x) > −∞, với mọi x ∈ Rn
và tồn tại x¯ ∈ Rn sao cho f (¯
x) < +∞.
Định lý 1.1. Hàm f : Rn → R là hàm lồi khi và chỉ khi epif là tập lồi trên
Rn × R .

Footer Page 8 of 161.
4


Header Page 9 of 161.
Định lý 1.2 (Bất đẳng thức Jensen). Cho f : Rn → R. Hàm f là lồi khi và
chỉ khi với mọi λ1 , λ2 , ..., λm ≥ 0;

m
i=1 λi

m


(ii)

C được gọi là nón đúng nếu cl(C) + C\l(C) ⊆ C, hoặc tương đương
cl(C) + C\l(C) ⊆ C\l(C).

Bổ đề 1.4. Cho C là một nón lồi. Khi đó, nếu x1 ∈ C, x2 ∈ C, ..., xm ∈ C và
α1 > 0, α2 > 0, ..., αm > 0 thì α1 x1 + α2 x2 + ... + αm xm ∈ C.
Định nghĩa 1.9. Tập cone (X) = {αx | x ∈ X, α ≥ 0} được gọi là nón sinh
bởi tập X.
Bổ đề 1.5. Nếu X là tập lồi thì cone (X) là một tập lồi.
Định nghĩa 1.10. Cho x ⊂ Rn , tập CX (x) = cone (X − x) được gọi là nón
các phương chấp nhận được của X tại x.
Định nghĩa 1.11. Cho X ⊂ Rn là một tập lồi. Tập
X∞ = {d ∈ Rn | X + d ⊂ X}

Footer Page 9 of 161.
5


Header Page 10 of 161.
được gọi là nón lùi xa của X.
Định nghĩa 1.12. Cho C là một nón trong Rn . Tập
C o = {y ∈ Rn : y, x ≤ 0, ∀x ∈ C}
được gọi là nón cực của C.
Định nghĩa 1.13. Cho X là một tập lồi trong Rn và x ∈ X. Tập
NX (x) = [cone (X − x)]o
được gọi là nón pháp tuyến đối với X tại x.
Nhận xét 1.1. v ∈ NX (x) ⇔ v, y − x ≤ 0, ∀y ∈ X.


Thật vậy, nếu B là một quan hệ thứ tự mà là tuyến tính trong một
không gian véctơ thì tập
C = {x ∈ E : (x, 0) ∈ B}
là một nón lồi. Hơn nữa, nếu B là không đối xứng thì C là nhọn. Ngược lại,
mỗi nón lồi trong E cho một quan hệ hai ngôi
BC = {(x, y) ∈ E × E : x − y ∈ C}
là phản xạ, bắc cầu và tuyến tính. Ngoài ra, nếu C là nhọn thì BC là không
đối xứng. Bây giờ, chúng ta sẽ xét một vài thứ tự sinh ra bởi các nón lồi. Đôi
khi chúng ta viết: x

C

y thay cho x − y ∈ C; hoặc x

y nếu nó chắc chắn

là quan hệ hai ngôi được định nghĩa bởi C; x >C y nếu x
là y

C

x, hay là x ∈ y + C\l(C). Khi int C = 0, x

C

C

y và không phải

y nghĩa là x >K y với

(iii) x ∈ A là điểm hữu hiệu thực sự (toàn cục) của A tương ứng với C nếu
tồn tại một nón lồi K = E với int K ⊇ C\l(C) sao cho x ∈ M in(A | K);
Kí hiệu tập các điểm hữu hiệu toàn cục của A là P rM in(A | C).
(iv) Giả sử int C = ∅, x ∈ A là một điểm hữu hiệu yếu của A tương ứng với
C nếu x ∈ M in(A | {0} ∪ int C);
Tập các điểm hữu hiệu yếu của A kí hiệu là W M in(A | C).
Cho:
A = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2

0 ∪ {(x, y) : x

1, y

0, −1 ≤ y ≤ 0} ;

Từ định nghĩa của các điểm hữu hiệu, ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.1. Cho A ⊆ E thì :
(i) x ∈ IM in(A) khi và chỉ khi x ∈ A và A ⊆ x + C;
(ii) x ∈ IM in(A) khi và chỉ khi A ∩ (x − C) ⊆ x+ l(C) hoặc tương đương:
∃y ∈ A sao cho x > y. Đặc biệt khi C là nhọn, x ∈ M in(A) khi và chỉ khi
A ∩ (x − C) = {x};
(iii) Khi C = E, x ∈ W M in(A) khi và chỉ khi A ∩ (x − int C) = ∅ hoặc tương
đương với ∃y ∈ A sao cho x

y.

Mệnh đề 1.2. Cho tập khác rỗng A ⊆ E có:
P rM in(A) ⊆ M in(A) ⊆ W M in(A).
Hơn nữa, nếu IM in(A) = ∅ thì IM in(A) = M in(A) và nó là tập một
điểm khi C là nhọn.

Bài toán tối ưu véctơ (VOP)

Cho X là một tập con khác rỗng của một không gian tôpô và F là một
ánh xạ đa trị từ X vào E, ở đây E là không gian véctơ tôpô thực được xắp
thứ tự bởi nón lồi C.

Footer Page 13 of 161.
9


Header Page 14 of 161.
Xét VOP :
minF (x)
với ràng buộc x ∈ X.
Điểm x ∈ X được gọi là tối ưu (cực tiểu hoặc hữu hiệu) của VOP nếu
F (x) ∩ M in(F (X) | C) = ∅, ở đây
F (x).

F (X) =
x∈X

Các phần tử của M in(F (x)|C) được gọi là giá trị tối ưu của (VOP). Tập các
điểm hữu hiệu của (VOP) được kí hiệu là S(X, F ). Thay thế IM in, P rM in,
W M in cho M in(F (X) | C) chúng ta có các khái niệm IS(X, F ), P rS(X, F )
và W S(X, F ).
Quan hệ giữa các điểm hữu hiệu, hữu hiệu thực sự và hữu hiệu yếu của
(VOP) được trình bày trong mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.4. Cho (VOP), chúng ta có các bao hàm thức sau:
P rS(X, F ) ⊆ S(X, F ) ⊆ W S(X, F ).
Hơn nữa, nếu IS(X, F ) = ∅ thì IS(X, F ) = S(X, F ).

toán (VEP) quay về bài toán cân bằng:
(EP)

Tìm x ∈ A thỏa mãn f (x, y) ≥ 0 với mọi y ∈ A.

(2.2)

Bài toán (EP) được đề xuất và nghiên cứu bởi Blum và Oettli trong [2]. Trong
khóa luận này, chúng ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán cân

Footer Page 15 of 161.
11


Header Page 16 of 161.
bằng véctơ bằng cách sử dụng nguyên lý ánh xạ KKM-Fan(1) , ở đó hàm f
có dạng
f (x, y) = g(x, y) + h(x, y).

(2.3)

Các kết quả được trình bày trong chương này được dựa trên bài báo [6].

2.2.

Các trường hợp đặc biệt của bài toán cân bằng
véctơ
Trong mục này chúng ta trình bày một số ví dụ quan trọng của bài

toán cân bằng véctơ (VEP). Trong các ví dụ bên dưới, ta kí hiệu X ∗ là đối


Tìm x ∈ K thỏa mãn

có cùng tập nghiệm (xem

(2)

∇φ(x), y − x ∈
/ −int P, ∀y ∈ K (2.5)

). Bằng cách đặt, f (x, y) = ∇φ(x), y − x , thì

bài toán (2.5) chính là một trường hợp đặc biệt của bài toán (VEP). Trong
trường hợp này, hàm f là P -đơn điệu vì ∇φ(·) là P -đơn điệu.
(ii) Bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ
Cho T : K → L(X, Y ), ở đó L(X,Y) là không gian các toán tử tuyến
tính bị chặn từ X tới Y . Bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ được phát
biểu như sau:
(VVI)

Tìm x ∈ K thỏa mãn

T x, y − x

− int P, ∀y ∈ K.

(2.6)

Bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ được đề xuất bởi Giannessi và các
đồng nghiệp vào năm 1980 (xem (3) ). Đặt f (x, y) = T x, y − x , thì (V V I) ⇔

(1994), 459–468
(3)
Cottle, R. W., Giannessi, F., Lions, J. L.: Theorems of alternative, quadratic programs and complementarity problems, in: Variational Inequalities and Complementarity Problems, pp. 151-186, New York(1980)

Footer Page 17 of 161.
13


Header Page 18 of 161.
và
Tìm x ∈ X

+

sao cho x ∈ K, T x ∈ KPs , T x, x ∈
/ intP.

Bài toán (2.8) ⇒ bài toán (2.6) ⇒ bài toán (2.7) (xem

(4)

(2.8)

). Mặt khác bài

toán (2.6) tương đương với (VEP).
(iv) Bài toán điểm bất động
Với mỗi x ∈ K, đặt
F (x) := {z ∈ K : T (x), y − z ∈
/ −intP, ∀y ∈ K} .


Footer Page 18 of 161.
14


Header Page 19 of 161.
Định nghĩa 2.3. Cho (Y, P ) là một không gian véctơ tôpô được sắp thứ tự.
Một ánh xạ T : X → Y được gọi là P -lồi khi và chỉ khi đối với mỗi cặp
x, y ∈ X và λ ∈ [0, 1] ta có
T (λy + (1 − λ)x) ≤ p λT (y) + (1 − λ)T (x).
Bổ đề 2.1. (Xem

(6)

). Cho (Y, P ) là không gian véctơ tôpô được sắp thứ tự

bởi một hình nón lồi đóng nhọn. Khi đó, với mọi x, y ∈ X, ta có
(i) y − x ∈ intP và y ∈
/ intP kéo theo x ∈
/ intP ;
(ii) y − x ∈ P và y ∈
/ intP kéo theo x ∈
/ intP ;
(iii) y − x ∈ − intP và y ∈
/ − intP kéo theo x ∈
/ − intP ;
(iv) y − x ∈ −P và y ∈
/ − intP kéo theo x ∈
/ − intP.


tập con hữu hạn {x1 , ..., xn } của C, ta có:
n

conv {x1 , ..., xn } ⊂

S (xi ) .
i=1

Nếu tất cả các tập S (x) đóng và một trong các tập này là compact thì
S (x) = φ.
x∈C

Bổ đề 2.3. Tồn tại x ∈ C sao cho
h(x, y) − g(y, x) ∈
/ −intP, ∀y ∈ C.
Bổ đề 2.4. Các mệnh đề sau đây là tương đương:
(A) x ∈ C, h(x, y) − g(y, x) ∈
/ −intP, ∀y ∈ C;
(B) x ∈ C, h(x, y) + g(y, x) ∈
/ −intP, ∀y ∈ C.
Bổ đề 2.5. Giả sử φ : K → Y là P -lồi, x0 ∈ coreK C, φ(x0 ) ∈
/ int P và
φ(y) ∈
/ int P ∀y ∈ C. Khi đó, ta có φ(y) ∈
/ −int P, ∀y ∈ K.
Nhận xét: Giả thiết (iv) trong Định lý 2.1 có thể thay bằng giả thiết
sau:
(iv)∗ Tồn tại một tập con lồi compact khác rỗng B trong K sao cho mỗi
x ∈ K\B tồn tại a ∈ B thỏa mãn
g(x, a) + h(x, a) ∈ −intP.

(21)

Định nghĩa 2.6. Một ánh xạ g : K × K → Y với g(x, x) = 0, ∀x ∈ K được
gọi là P -đơn điệu cực đại khi và chỉ khi với mỗi x ∈ K và mỗi ánh xạ P -lồi
φ : K → Y với φ(x) = 0 :
φ(y) − g(y, x) ∈
/ −intP, ∀y ∈ K ⇒ g(x, y) + φ(y) ∈
/ −intP, ∀y ∈ K. (2.12)
Mối quan hệ giữa Định nghĩa 2.4 và Định nghĩa 2.5 như sau:
Bổ đề 2.6. (Xem [6]) Cho g : K × K → Y là P -đơn điệu, P -lồi và nửa liên
tục dưới theo biến thứ hai và khả vi Gateaux. Khi đó, Định nghĩa2.4 và Định
nghĩa 2.5 là tương đương.
Bây giờ, chúng ta có định lý sau.
Định lý 2.3. Giả sử các điều kiện (i) và (iii) của Định lý 2.1, và giả sử các
điều kiện sau đây được thỏa mãn:
(ii)∗ g : K × K → Y có các tính chất sau g(x, x) = 0, ∀x ∈ K; g là P -đơn
điệu và P -đơn điệu cực đại (được định nghĩa trong (2.12)); g là lồi và nửa

Footer Page 21 of 161.
17


Header Page 22 of 161.
liên tục dưới theo biến thứ hai.
(iv)∗ Tồn tại một tập lồi compact khác rỗng B của K, sao cho mỗi x ∈ K,
tồn tại a ∈ B sao cho
−g(a, x) + h(x, a) ∈ −intP.
Khi đó, tồn tại x ∈ B thỏa mãn
g(x, y) + h(x, y) ∈
/ −intP, ∀y ∈ K.

[4] Kazmi, K. R.: Some remarks on vector optimization problems, J. Optim.
Theory Appl. 96 (1998), 133–138.
[5] Kazmi, K. R.: Existence of solutions for vector saddle point problems,
problems, in: Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria.
Mathematical Theories (ed.) F Giannessi (Dordrecht, Boston, London:
Kluwer Academic Publishers) (2000), 267–275.
[6] Kazmi, K. R.: On vector equilibrium problem. Proc. Indian Acad. Sci.
(Math. Sci). 110(2) (2000), 213–233.

Footer Page 24 of 161.