GIẢI BÀI TẬP NGÂN HÀNG CÂU HỎI TOÁN A2 IUH

GIẢI BÀI TẬP NGÂN HÀNG CÂU HỎI TOÁN A2 IUH

CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Phần 1: Tóm tắt lý thuyết – công thức
A. MA TRẬN
1. Định nghĩa
Cho m và n là hai số nguyên dương một ma trận A cấp m x n là một bảng gồm
m x n số được xếp thành m hàng và n cột. Kí hiệu: A = [aij]mxn
2. Các phép toán trên ma trận
2.1. Các phép toán
Cho 3 ma trận A, B, C thuộc Mmxn ta có
___

___



Hai ma trận bằng nhau: A = B nếu (A)ij = (B)ij, i = 1, m , j = 1, n



Phép nhân một số với ma trận: (KA)ij = k(A)ij, i = 1, m , j = 1, n , k ∈ R




Phép cộng ma trận: (A + B)ij = (A)ij + (B)ij, i = 1, m , j = 1, n

____

AT là ma trận chuyển vị của ma trận A nhận được từ A bằng cách chuyển hàng
thành cột.
___

____

(A )ij = (A)ji , i = 1, m , j = 1, n
T

•

Tính chất:
(A + B)T = AT + BT
(aA)T = aAT
(AT)T=A
(AB)T=BTAT
*Tổng quát:
(A1,A2,…An)T=AnT…A2TA1T
Lũy thừa của ma trận: AP = AP-1A
2.4. Các phép biến đổi sơ cấp ma trận bậc thang
2.4.1. Ma trận bậc thang
Là ma trận có tính chất sau:
 Các hàng khác không đều ở trên hàng bằng không
SV IUH K12

Page 1


GIẢI BÀI TẬP NGÂN HÀNG CÂU HỎI TOÁN A2 IUH


là

a1α1 a 2α 2 ... a n a n

một số thực được xác định như sau:
2. Tính chất
* Tính chất 1: detA = detAT
* Tính chất 2: Nếu A có một hàng các phần tử đều bằng 0 thì detA = 0.
* Tính chất 3: Nếu đỏi chỗ hai hàng cho nhau thì detA đổi dấu.
* Tính chất 4: Nếu A có hai hàng giống nhau thì detA = 0.
* Tính chất 5: Nếu nhân mọi phần tử trong một hàng của A với một số khác 0
thì detA cũng được nhân lên với số đó.
* Tính chất 6: Nếu A có hai hàng tỉ lệ thì detA =0.
* Tính chất 7: Nếu mọi phần tử trong hàng của A có dạng tổng của hai số hạng
thì định thức có thể tách thành tổng hai định thức.
* Tính chất 8: Nếu cộng vào một hàng nào đó của A bội của dòng khác thì
định thức không thay đổi.
* Tính chất 9: Nếu cộng vào một hàng nào đó của A tổ hợp tuyến tính của của
các dòng còn lại thì detA không đổi.
3. Một số phương pháp tính định thức
3.1. Phương pháp khai triển theo một hàng hay một cột

Nhãm 7.1 - Líp Dhtp3 - §¹i häc c«ng nghiÖp tp HCM
Page 2

SV IUH K12


GIẢI BÀI TẬP NGÂN HÀNG CÂU HỎI TOÁN A2 IUH
Cho A = (aij)n, A bỏ đi hàng i cột j phần còn lại tạo một ma trận vuông cấp n-1

a) Ma trận phụ hợp
Cho ma trận vuông cấp n: A=(aij)và A ij là phần bù đại số của aij ta lập ma trận.
 A11
A
~
A =  21
 ...

 A1n

A21
A22
...
A2 n

...
...
...
...

An1 
An 2 
... 

Ann 

~
A gọi là ma trận phụ hợp của A

b) Ma trận không suy biến

0
Tính định thức

1
2
3
4

2
7
4
4

0
0
1
0

Giải
0
2
∆=
7
0

1
2
3
4



4
2
7
4

1
0
0
0 =1+4

Câu 3: 1.31 denta3

Nhãm 7.1 - Líp Dhtp3 - §¹i häc c«ng nghiÖp tp HCM
Page 4

SV IUH K12


GIẢI BÀI TẬP NGÂN HÀNG CÂU HỎI TOÁN A2 IUH

Tính định thức

0
7
∆=
1
0

1

Tính định thức

Giải
0
7
∆=
1
0

0
1
0
0

1
3
2
4

2
4
7
4 =(-1)2+2

Câu 5:
7
0
∆=
1
0

1
2
4

4
2
7
4 =(-1)1+2

Câu 6:

Tính định thức

2 m 4
∆= 3 0 0
1 1 2

. Tìm m để ∆ ≤ 0 .

Nhãm 7.1 - Líp Dhtp3 - §¹i häc c«ng nghiÖp tp HCM
Page 5

SV IUH K12


GIẢI BÀI TẬP NGÂN HÀNG CÂU HỎI TOÁN A2 IUH
Giải
Để

Câu 7: 1.39c – 47

Giải

Để

Câu 8:

Tính định thức

1

. Tìm m để ∆ = 0 .
Giải

Để

Câu 9:

1.39b – 47

Tính định thức

1 1 3
∆=1 2 m
1 1 m

. Tìm m để ∆ ≥ 0 .
Giải

Để


=

Để

Câu 11:
1 0

m

∆ = 2 1 2m − 2

Tính định thức
1 0

1 0

2

. Tìm m để ∆ > 0 .
Giải

m

∆ = 2 1 2m − 2
1 0

2

=



m
m +1

3 7 m+2

Để

Câu 14:

Tính định thức

2 m+2 4
∆= m
m
0
1
2
m

. Tìm m để ∆ = 0 .
Giải

Nhãm 7.1 - Líp Dhtp3 - §¹i häc c«ng nghiÖp tp HCM
Page 7

SV IUH K12


GIẢI BÀI TẬP NGÂN HÀNG CÂU HỎI TOÁN A2 IUH


. Tìm m để ∆ = 0 .
Giải

2
2m + 2 4
∆ = m + 1 2m + 1 2
1
2
2m
Để

Câu 16:

Tính định thức

2
m
4
∆= m
0
0
3 m +1 4 + m

. Tìm m để ∆ = 0 .
Giải

2
m
4


SV IUH K12


GIẢI BÀI TẬP NGÂN HÀNG CÂU HỎI TOÁN A2 IUH
2 + 2m
∆=

−3

1

4

−1 − m

m+3

1

m

Để

Câu 18: 1.40c – 47
2 + 2m

−5

12

2 + 2m

. Tìm m để ∆ > 0 .
Giải

Để

Câu 19:

Tính định thức

2 + 2m 1 4
∆ = m+3 1 m
3
1 m

. Tìm m để ∆ > 0 .
Giải

2 + 2m 1 4
∆ = m+3 1 m
3
1 m

Để

Câu 20:
m+5
5
3

Câu 21: 1.40d – 47
m
0
2m m
1 m −1 m 0
∆=
1
1
0 0
m
0
0 0 . Tìm m để ∆ > 0 .
Tính định thức

Giải
m
0
2m m
1 m −1 m 0
∆=
1
1
0 0
m
0
0 0

Để

Câu 22:

m
0

0
0
0
1

Để

Câu 23:

Tính định thức

m 3
m
∆ = 7 2 m+7
3 m
3

. Tìm m để ∆ = 0 .
Giải

m 3
m
∆ = 7 2 m+7
3 m
3

Nhãm 7.1 - Líp Dhtp3 - §¹i häc c«ng nghiÖp tp HCM


Để

Câu 25:
−1
m

m
4

∆=

2
1

m + 4 m −1 5

Tính định thức

−1
m

m
4

∆=

. Tìm m để ∆ = 0 .
Giải
2

m

2m − 1

m +1 m +1

m +1

. Tìm m để ∆ ≤ 0 .
Giải

m +1

Để

Nhãm 7.1 - Líp Dhtp3 - §¹i häc c«ng nghiÖp tp HCM
Page 11

SV IUH K12


GIẢI BÀI TẬP NGÂN HÀNG CÂU HỎI TOÁN A2 IUH
Câu 27:

Tính định thức

m+8
7
6
∆ = m +1

5 4 7
1 2 3 4
; ∆2 =
6 8 4
4 8 12 17
8 12 17
3 6 8 4

Khẳng định nào sau đây đúng?

a) ∆1 = ∆ 2

b) ∆1 = −∆ 2

c) ∆ 2 = 2∆1
d) ∆ 2 = −2∆1
Giải
Chọn đáp án (a) vì hàng 1 cua đổi thành hàng 2 của .

Câu 29:
1
2
∆1 =
3
4
Cho hai định thức:

2 3 4
2 4 6
5 4 7

4
Cho hai định thức:

2 −3 4
2 4 −6 8
b −c d
2a 2b −2c 2d
; ∆2 =
6 −8 4
6 12 −16 8
8 −12 17
4 8 −12 17

Khẳng định nào sau đây đúng?

Nhãm 7.1 - Líp Dhtp3 - §¹i häc c«ng nghiÖp tp HCM
Page 12

SV IUH K12


GIẢI BÀI TẬP NGÂN HÀNG CÂU HỎI TOÁN A2 IUH
a) 2∆1 = ∆ 2

b) ∆ 2 = 8∆1

c) ∆ 2 = 4∆1
Giải

d) ∆ 2 = 16∆1

8

16

−24 34

c) ∆ 2 = 4∆1

d) ∆ 2 = 2∆1

Giải
Ta có:
Chọn đáp án (a)

Câu 32:
1
2
∆1 =
3
4
Cho hai định thức:

2 3 4
2 4 6 8
5 4 7
2 5 4 14
; ∆2 =
6 8 −4
3 6 8 −8
8 12 17


b) ∆ 2 = 2∆1

x
1 2 3 6 − 2x
y
2 5 4 8 − 2y
; ∆2 =
z
3 6 8 16 − 2 z
t
4 8 12 24 − 2t

c) ∆ 2 = −2∆1
Giải

d) ∆ 2 = −4∆1

Chọn đáp án (c)

Câu 34:

Nhãm 7.1 - Líp Dhtp3 - §¹i häc c«ng nghiÖp tp HCM
Page 13

SV IUH K12


GIẢI BÀI TẬP NGÂN HÀNG CÂU HỎI TOÁN A2 IUH
1

Câu 35:
4 1 0 0
∆=

2 3 0 0
0 0 7 1
0 0 2 1

Tính định thức:

Giải
4
2
∆=
0
0

1
3
0
0

0
0
7
2

0
0
1

1

2
1
1
1

1
3
0
0

2
4
0
0 (-1)3+4+3+4.(-2)

Câu 37:
0
0
∆=
1
2
Tính định thức:

0
0
1
1


3
1
3

2
4
2
5

Câu 38:
1
2
∆=
1
2
Tính định thức:

1
0
1
4

1
3
2
4

2
2
4

4
2

Giải
2
2
∆=
1
1

1
0
1
1

1
1
4
1

2
2
4
2

Câu 40:
2 1 1
−1 0 1
∆ = −1 −1 4
−1 −1 −1

1
1

1 0
1 1

∆ = −1 −1 4 1 2
−1 −1 −1 2 0
0

−1 −2 0 0

=

Câu 41:
4
8
∆=
6
14
Tính định thức:

0
0
1
1

1
3
1

∆=

1

1

1

a

b

c

b+c c+a a+b

Tính định thức:

Giải
∆=

1

1

1

a

b


Câu 44:
x 1 1 1
1 x 1 1
∆=
1 1 x 1
1 1 1 x
Tính định thức:

Giải
x 1 1 1
1 x 1 1
∆=
1 1 x 1
1 1 1 x

Câu 45:
x +1 x
2
x2
∆=
1
0
x
0
Tính định thức:

1 1
1 1
x 1

Giải
Ta có:

Nhãm 7.1 - Líp Dhtp3 - §¹i häc c«ng nghiÖp tp HCM
Page 17

SV IUH K12


GIẢI BÀI TẬP NGÂN HÀNG CÂU HỎI TOÁN A2 IUH
Ta có:det A = 0
Vậy số nghiệm phân biệt r là 2

Câu 47:
Tìm số nghiệm phân biệt r của phương trình.
1 2 x − 1 −1
1 x − 1 −1
=0
3 1 1 1
0 2 0 2

Giải
Ta có: B=
Vậy số nghiệm phân biệt r là 1

Câu 48:
Tìm số nghiệm phân biệt r của phương trình.
1 2 x −1 −1
1 x 2 −1 −1
=0



GIẢI BÀI TẬP NGÂN HÀNG CÂU HỎI TOÁN A2 IUH
x
1
1
1

−1 −1
1 1
=0
1 1
1 1

x
x2
1
0

Giải
Ta có:
Vậy luôn có nghiệm với mọi x

Câu 51:
Giải phương trình
x

x 1 x

x 1 1 1

Giải
x

x 1 0

x

x

1

0

x x
1
1 2 1 1
1 2
1
1
=0⇔
= 0 ⇔ 0 −2 −1 = 0
2 2 1 2
0 −2 −1 0
0 −x 2 − x
x x 2 x
0 −x 2 − x 0
x = 0
⇔ x(2 x − 4 − x) = 0 ⇔ x( x − 4) = 0 ⇔ 
x = 4


x −1
1 x
0 0
0 0

2 2
1 4
=0
x −2
2 x

Giải
Ta có:

Câu 55:
Tính hạng r(A) của ma trận
æ
1
ç
ç
ç
ç
ç2
A =ç
ç
3
ç
ç
ç
ç

Câu 56:
Tính hạng r(A) của ma trận
æ
1
ç
ç
ç
ç
ç2
A =ç
ç
3
ç
ç
ç
ç4
ç
è

3 5

7

9ö
÷
÷
÷
4 6 9 10÷
÷
÷

ç
÷
5
10
15
20
35
ç
÷
ç
÷
÷
A =ç
ç
÷
3
7
9
12
14
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç

2
0
1
2
3
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç4
÷
0
2
4
7
÷
ç
è
ø

Giải
A=

Câu 59:
Tính hạng r(A) của ma trận
æ
1 3 2 5ö

÷
÷
ç
è
ø

Giải

Câu 60:
Tính hạng r(A) của ma trận
æ
ö
1 3
4
8÷
ç
÷
ç
÷
ç
2 - 1 1
2÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç3 2
÷


Nhãm 7.1 - Líp Dhtp3 - §¹i häc c«ng nghiÖp tp HCM
Page 21

SV IUH K12


GIẢI BÀI TẬP NGÂN HÀNG CÂU HỎI TOÁN A2 IUH

Câu 61:
Tính hạng r(A) của ma trận
æ
1
ç
ç
ç
ç
ç2
A =ç
ç
1
ç
ç
ç
ç1
ç
è

ö
2 3 4÷

ç
ç
ç
ç
ç
è5

ö
3÷
÷
÷
1 4 8 5÷
÷
÷
÷
2 8 16 10÷
÷
÷
÷
÷
2 10 20 12÷
÷
ø
1 2

4

Giải
A


÷
÷
8 15 5 26ø
÷
3

3

1

Giải

A

Câu 64:
Tính hạng r(A) của ma trận

Nhãm 7.1 - Líp Dhtp3 - §¹i häc c«ng nghiÖp tp HCM
Page 22

SV IUH K12


GIẢI BÀI TẬP NGÂN HÀNG CÂU HỎI TOÁN A2 IUH
æ
4 1
3
ç
ç
ç


Giải
A

Câu 65:
Tính hạng r(A) của ma trận
æ2 - 1
ç
ç
ç
ç
ç3 1
A =ç
ç
7 - 1
ç
ç
ç
ç13 1
ç
è

1ö
÷
÷
÷
0 2 - 1÷
÷
÷
÷

1ö
÷
÷
÷
0 2 - 1÷
÷
÷
÷
3 - 4 2÷
÷
÷
÷
÷
÷
3 0 2ø
÷
1 - 2

Giải
A

Câu 67:
Tính hạng r(A) của ma trận
æ
1 2 - 1
ç
ç
ç
ç
ç2 4 1


Câu 68:
Tính hạng r(A) của ma trận

Nhãm 7.1 - Líp Dhtp3 - §¹i häc c«ng nghiÖp tp HCM
Page 23

SV IUH K12


GIẢI BÀI TẬP NGÂN HÀNG CÂU HỎI TOÁN A2 IUH
æ
1 - 1
ç
ç
ç
ç
ç2 1
A =ç
ç
4 - 1
ç
ç
ç
ç
ç
è7 - 9

ö
2÷

ç
9 - 1
ç
ç
ç
ç
ç
è15 1

1ö
÷
÷
÷
0 2 - 1÷
÷
÷
÷
÷
2 - 2 1÷
÷
÷
÷
÷
2 2 - 1ø
÷
1 - 2

Giải
A


Vậy m tùy ý.

Câu 71:
Tìm m để ma trận sau đây có hạng bằng 3:
m
1
2 
1

÷
2 3m − 1
2
m+4 ÷

A=
 4 5m − 1 m + 4 2 m + 7 ÷

÷
2m
2
m+4 
2

Giải

Nhãm 7.1 - Líp Dhtp3 - §¹i häc c«ng nghiÖp tp HCM
Page 24

SV IUH K12


7 

Giải
Ta có
•
•

m=0
m=1
Vậy không tồn tại m để có hạng bằng 2.

Câu 73:
Tìm m để ma trận sau đây có hạng bằng 2:
1 
3 m 0

÷
6 2m m
2 ÷

A=
 9 3m 0 m + 2 ÷

÷
7 
15 5m 0

Giải
Ta có
• m=1