BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HỌ VÀ TÊN
ĐOÀN THỊ THANH HIỀN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH
GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM
VÀ TÍCH PHÂN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HÙNG

HÀ NỘI - 2016


Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư Phạm Hà
Nội 2 dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Nguyễn Văn Hùng, người thầy
đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học
tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn
lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả
xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường Đại Học Sư Phạm
Hà Nội 2, Phòng Sau Đại Học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy
cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải Tích, những người đã trực tiếp
giảng dạy, truyền đạt cho tác giả những kiến thức quý báu về chuyên môn
cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua.
Cuối cùng, tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân

1.2.1 Số gần đúng . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Làm tròn số và sai số của phép làm
1.2.3 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc . . . .
1.2.4 Sai số tính toán . . . . . . . . . . .
1.2.5 Bài toán ngược của sai số . . . . .

1
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
tròn số
. . . . .
. . . . .
. . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.

Chương 2: Một số phương pháp tính gần đúng đạo hàm
2.1
2.2

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

1
1
6
9
9
9
10
11
13
14

Bài toán nội suy tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Tính gần đúng đạo hàm bằng đa thức nội suy Lagrange . . . 16
2.2.1 Đa thức nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 Tính gần đúng đạo hàm bằng đa thức nội suy Lagrange 17

3.7

Công thức hình thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Công thức Simpson (Parabol) . . . . . . . . . . . . . . . . .
Công thức Newton – Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Công thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Công thức Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tích phân Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lập trình bài toán tính gần đúng tích phân bằng công thức
hình thang trong Maple 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56
56
60
65
71
76
81
87


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc thực
tiễn. Cùng với thời gian, toán học ngày càng phát triển và chia thành hai
lĩnh vực: Toán học lý thuyết và toán học ứng dụng. Khi nói đến toán ứng
dụng không thể không nói đến giải tích số.
Giải tích số là một môn khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng các
phương trình, các bài toán xấp xỉ hàm số, các bài toán tối ưu. Sự ra đời
và phát triển của giải tích số đã góp phần quan trọng trong việc tạo ra các

luận và Tài liệu tham khảo. Nội dung luận văn được phân bổ như sau:
Chương 1: Một số kiến thức cơ bản.
Chương 2: Một số phương pháp tính gần đúng đạo hàm.
Chương 3: Một số phương pháp tính gần đúng tích phân.

ii


Chương 1

Một số kiến thức cơ bản
1.1
1.1.1

Một số khái niệm cơ bản của giải tích
Đạo hàm

Định nghĩa: Giả sử f là một hàm số xác định trên khoảng (a, b), x0 ∈
(a, b). Nếu tồn tại
f (x) − f (x0 )
lim
∈R
x→x0
x − x0
thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số f tại điểm x0 và được ký hiệu là
f (x0 ). Hàm số f có đạo hàm tại điểm x0 được gọi là khả vi tại điểm x0 . Đặt
h = x − x0 . Khi đó x = x0 + h và

f (x0 + h) − f (x0 )
.

gọi là đạo hàm của hàm số f trên khoảng (a, b).
Nếu f liên tục trên (a, b) thì ta cũng nói rằng f khả vi liên tục trên (a, b)
hoặc f thuộc lớp C 1 trên (a, b).
Đạo hàm một phía:
Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng [x0 , b]. Nếu tồn tại

lim+

x→x0

f (x) − f (x0 )
∈R
x − x0

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm phải của f tại điểm x0 . Đạo hàm phải
của f tại điểm x0 được ký hiệu là f (x0 + 0).
Đạo hàm trái của hàm số tại một điểm được định nghĩa tương tự. Đạo
2


hàm trái của f tại điểm x0 được ký hiệu là f (x0 − 0).
Hiển nhiên hàm số f : [a, b] → R có đạo hàm tại điểm x ∈ [a, b] khi và chỉ
khi nó có đạo hàm phải và đạo hàm trái tại điểm x0 và

f (x0 + 0) = f (x0 − 0).
Nếu hàm số f có đạo hàm phải và đạo hàm trái tại điểm x0 nhưng

f (x0 + 0) = f (x0 − 0)
thì M0 (x0 , f (x0 )) gọi là một điểm góc của đồ thị hàm số f (hình 1.2).


b)(uv) = u v + uv ;

c)(cu) = cu ;

d)

u
v

=

vu − uv
.
v2

Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu hàm số f : (a, b) → (c, d) có đạo hàm
tại điểm x0 ∈ (a, b) và hàm số g : (c, d) → R có đạo hàm tại điểm u0 = f (x0 )
thì hàm số hợp h = g ◦ f : (a, b) → R có đạo hàm tại điểm x0 và

h (x0 ) = g (u0 )f (x0 ) = g [f (x0 )]f (x0 ).
Đạo hàm cấp cao: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a, b).
Khi đó
f : (a, b) −→ R
x −→ f (x)
là một hàm số xác định trên khoảng (a, b). Nếu hàm số f có đạo hàm
(f ) (x0 ) tại điểm x0 ∈ (a, b) thì số thực (f ) (x0 ) được gọi là đạo hàm cấp
hai của hàm số f tại điểm x0 và được ký hiệu là f (x0 ):

f (x0 ) = (f ) (x0 ).
Một cách tổng quát, ta có định nghĩa sau:

n!

(1)

Công thức trên gọi là công thức Taylor.
Định lý Taylor : Giả sử hàm số f có các đạo hàm đến cấp n liên tục trên
đoạn I = [α, β] và có đạo hàm cấp n + 1 trên khoảng (α, β). Nếu a, b ∈ I thì
tồn tại một số thực c giữa a và b (c ∈ (a, b) nếu a < b, c ∈ (b, a) nếu a > b)
sao cho:

f (b) = f (a) +

f (a)
f (a)
(b − a) +
(b − a)2 + · · ·+
1!
2!

f (n) (a)
f (n+1) (c)
n
+
(b − a) +
(b − a)n+1 .
n!
(n + 1)!
f (n+1) (c)
Biểu thức Rn =
(b − a)n+1 được gọi là phần dư dạng Lagrange.

Lấy các điểm bất kì ξ ∈ ∆xi = [xi−1 , xi ] ; i = 1, ..., pn và lập tổng tích
phân:
pn

σn = σ(Πn ; ξ1 , ..., ξpn ) =

f (ξ)∆xi ,

n = 1, 2, ...

i=1

Định nghĩa: Nếu tồn tại một số I ∈ R sao cho với một dãy chuẩn tắc bất
kì {Πn } những phép phân hoạch đoạn [a, b] và với một cách chọn bất kỳ các
điểm ξi ∈ ∆xi , i = 1, ..., pn , ta đều có

lim σn = I

n→∞

thì I được gọi là tích phân xác định của hàm số f trên đoạn [a, b], ký hiệu là
b

f (x)dx
a
b

f (x)dx = F (x) |ba = F (b) − F (a).
a


b

f (x)dx +
a

f (x)dx.
c

3. a) Nếu f và g là hai hàm số khả tích trên đoạn [a, b] thì hàm số f + g
khả tích trên [a, b] và
b

b

[f (x) + g(x)]dx =
a

b

f (x)dx +
a

g(x)dx,
a

b) Nếu f khả tích trên [a, b] và a ∈ R là một hằng số thì

7




f (x)dx ≤
a

g(x)dx.
a

Đặc biệt, nếu f là hàm số khả tích trên đoạn [a, b] và f (x) ≥ 0 với mọi
x ∈ [a, b] thì
b

f (x)dx ≥ 0.
a

7. Nếu hàm số f khả tích trên [a, b] thì hàm số |f | cũng khả tích trên đoạn
này và
b

|

b

f (x)dx| ≤
a

|f (x)|dx.
a

8. Nếu f là hàm số khả tích trên đoạn [a, b] và f (x) > 0 với mọi x ∈ [a, b]


Ta nói rằng a là số gần đúng của số a∗ nếu như a không sai khác a∗ nhiều,
hiệu số ∆ = (a∗ − a) là sai số thực sự của a, nếu ∆ > 0 thì a là trị gần
đúng thiếu, còn nếu ∆ < 0 thì a là trị gần đúng thừa của a∗ .
Vì rằng a∗ nói chung không biết nên cũng không biết ∆, tuy nhiên có thể
thấy tồn tại ∆a ≥ 0 thỏa mãn điều kiện:

| a∗ − a |≤ ∆a .

(1.1)

Số ∆a thỏa mãn điều kiện (1.1) được gọi là sai số tuyệt đối của a, còn sai
∆a
số tương đối của a là δa =
. Rõ ràng ∆a , δa càng nhỏ càng tốt.
|a|

1.2.2

Làm tròn số và sai số của phép làm tròn số

Xét một số thập phân dạng tổng quát:

a = ±(αp 10p + · · · + αi 10i + · · · + αp−s 10p−s )

9

(1.2)


trong đó aj ∈ N, ∀j, αp = 0, 0 ≤ αj ≤ 9.

số tuyệt đối tăng thêm τa .
1.2.3

Chữ số có nghĩa, chữ số chắc

Xét số a ở dạng (1.2) nghĩa là được viết dưới dạng thập phân, khi đó chữ
số có nghĩa là mọi chữ số khác 0 và những chữ số 0 bị kẹp giữa hai chữ số
khác 0 hoặc nó là những chữ số 0 ở hàng được giữ lại.
Xét số a ở dạng (1.2):

a = ±(αp 10p + · · · + αi 10i + · · · + αp−s 10p−s ).
Chữ số αj ở (1.2) của số a là chữ số chắc nếu:
∆a ≤ ω10j , ω là tham số cho trước.
Tham số ω sẽ được chọn để sao cho một chữ số vốn là chắc thì sau khi
10


làm tròn vẫn là chữ số chắc, rõ ràng αi là chữ số chắc thì αi+1 cũng là chữ
số chắc.
Bây giờ ta sẽ bàn đến vấn đề chọn ω .
Giả sử số a viết ở dạng (1.2) và αi là chắc, vậy αi+1 vốn là chắc. Ta chọn
ω để sao cho khi làm tròn đến đúng bậc (i + 1) thì ta có αi+1 vẫn là chắc,
muốn vậy ta phải có:
∆α + Γa ≤ ω.10i+1
Tương đương

1
ω.10i + .10i+1 ≤ ω.10i+1
2
5

11

xi

.|xi − x∗i |


với f xi là đạo hàm theo xi tính tại điểm trung gian.
Vì f là khả vi liên tục, ∆xi khá bé nên:
n

∆y =

f

xi (x1 , ..., xn )

∆xi

(1.3)

∂
lnf ∆xi
∂xi

(1.4)

i=1

Vậy:

đến hiệu của hai số gần nhau.
b. Sai số của phép toán nhân, chia
Chú ý rằng nếu tổng đại số y =

xi bé về giá trị tuyệt đối thì

n

xi
Giả sử

y=

i=1
q−p

xp+i
i=1

Áp dụng (1.3), (1.4) sẽ có:

δy = δx1 + · · · + δxq
∆y = |y|.δy
c. Sai số của phép tính lũy thừa
Xét y = xα (α ∈ R, x > 0), khi đó δy = |α|.δx .
12


Như vậy nếu α > 1 thì độ chính xác là giảm đi, nếu α < 1 thì độ chính
xác tăng lên. Nếu α = −1 (phép nghịch đảo) thì độ chính xác là không đổi,

ε
,
n.|f (xi )|

khi đó ∆y ≤ ε.

13


Chương 2

Một số phương pháp tính gần đúng
đạo hàm
Trong thực tế, nhiều khi ta phải tìm hàm y = f (x), chỉ biết các giá trị
yi tại các điểm xi ∈ [a, b] (i = 0, n). Cũng có trường hợp biểu thức giải tích
f (x) đã cho nhưng quá cồng kềnh. Khi đó dùng phép nội suy ta có thể dễ
dàng tính được f tại bất kỳ x ∈ [a, b] mà độ chính xác không kém bao nhiêu.
Mục tiêu của phép nội suy khá nhiều, nhưng chủ yếu là tìm thuật toán đơn
giản tính giá trị f (x) cho những x không nằm trong bảng xi , yi (i = 0, n).
Một bộ số liệu xi , yi (i = 0, n) và một chương trình ngắn gọn có thể thay
cho bảng rất dài các giá trị xi , f (xi ). Ngoài ra sử dụng kết quả của phép
nội suy, có thể tìm được đạo hàm f (x) hoặc tích phân của f (x) trên đoạn
[a, b]. Để tính gần đúng đạo hàm ta thay f (x) bằng đa thức nội suy của nó:
f (x) = P (x) + R(x), trong đó phần dư

f (n+1) (ξ)
R (x) =
(n + 1)!

n

thực (phức) yi (i = 1, n). Tìm x ∈ X sao cho:

Li (x) = yi (i = 1, n)

(2.1)

Bài toán (2.1) được gọi là bài toán nội suy tổng quát.
Nếu yi = 0 (i = 1, n) thì bài toán (2.1) trở thành, tìm x ∈ X sao cho:

Li (x) = 0 (i = 1, n)

(2.2)

Khi đó (2.2) được gọi là bài toán nội suy thuần nhất.
Định lý 2.2. Bài toán nội suy tổng quát (2.1) có lời giải duy nhất khi và chỉ
khi các phiếm hàm {Li }n1 ⊂ X ∗ là độc lập tuyến tính.
Hệ quả 2.3. Bài toán (2.1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi bài toán (2.2)
chỉ có nghiệm tầm thường x ≡ 0.
15


Định lý 2.4. Giả sử các phiếm hàm {Li }n1 ⊂ X ∗ độc lập tuyến tính. Khi đó,
1) Tồn tại duy nhất các phần tử {xj }n1 ⊂ X ∗ sao cho:

0,
i=j
Li (xj ) = δij (i, j = 1, n), δij =
1,
i=j
n

Pi (xj ) = δij =

i=j
i=j

Đa thức Pi (x) có n nghiệm x0 , x1 , ..., xi−1 , xi+1 , ..., xn nên nó phải có dạng:

Pi = ai (x − x0 )(x − x1 )...(x − xi−1 )(x − xi+1 )...(x − xn ).
Mặt khác

1 = Pi (xi ) = ai (xi − x0 )(xi − x1 )...(xi − xi−1 )(xi − xi+1 )...(xi − xn ).

16


Vậy

Pi (x) =

(x − x0 )(x − x1 )...(x − xi−1 )(x − xi+1 )...(x − xn )
(xi − x0 )(xi − x1 )...(xi − xi−1 )(xi − xi+1 )...(xi − xn )

Đa thức nội suy P (x) thỏa mãn điều kiện P (xi ) = yi , i = 0, n có dạng
n

yi Pi (x) và khi đó

P (x) =
i=0


Tính gần đúng đạo hàm bằng đa thức nội suy Lagrange

Giả sử hàm số f (x) được cho bằng bảng sau:

x x0 x1 x2 ... xn
y y0 y1 y2 ... yn

17


Giả sử P (x) là đa thức nội suy Lagrange của f (x), ta có:
n

yk Pk (x)

P (x) =
k=0

trong đó

(x − xi )
Pk (x) =

i=k

(xk − xi )
i=k

d
r(x) = R (x) =

+ y1
, R(x) =
(x − x0 )(x − x1 ).
x0 − x1
x1 − x0
2!

Do đó

P (x) =

y1 − y0
f (ξ)
, r(x) = R (x) =
(x1 − x0 )
x1 − x0
2!

Vậy

f (x0 ) =

f (x1 ) − f (x0 ) f (ξ)
−
(x1 − x0 ).
x1 − x0
2!

Từ đó suy ra f (x1 ) = f (x0 ) + f (x0 )(x1 − x0 ) +