Một số bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số

PHẦN I: MỞ ĐẦU.
I. Lí do chọn đề tài:
1. Cơ sở lí luận:
Bài toán tìm GTLN, GTNN là một dạng toán nâng cao khá phổ biến trong chương
trình THCS. Để giải những bài toán dạng này đòi hỏi HS phải nghiên cứu và làm nhiều
lần mới có thể làm quen được.
2. Cơ sở thực tiễn:
Thực tế hiện nay khi gặp những bài toán về tìm GTNN, GTLN, HS thường bối rối và
không biết hướng giải. Mặc dù hiện nay có nhiều tài liệu viết về chủ đề này
nhưng tôi thấy phần kiến thức này cần phải nghiên cứu nhiều hơn.
Chính vì lẽ đó tôi chọn đề tài : “Một số dạng toán tìm GTNN, GTLN của biểu thức
đại số” .
II. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Môn Đại Số lớp 8; lớp 9.
III. Mục đích nghiên cứu:
Giúp HS giải được bài toán “Tìm GTNN, GTLN của biểu thức đại số”.
IV. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu:
Bài toán “Tìm GTNN, GTLN của biểu thức đại số” đã được nhiều tài liệu đề cập đến
nhưng chỉ là kiến thức một phần trong đề tài và chưa cụ thể. Điểm mới ở đề tài này là
đưa những kiến thức cơ bản vào trước và phát triển nó để nâng cao những bài tập khó
hơn và làm rõ những sai lầm hay mắc phải của HS.

Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm

-1-


Một số bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số

PHẦN II: NỘI DUNG.

b
b 2
x)+ c = a(x2 + 2x. + 2 ) +(c ) = a(x +
) +k
4a
a
2a 4a
2a

b2
.
4a

b 2
)  0 nên :
2a
b 2
b
- Nếu a > 0  a(x +
)  0  A  k. Khi đó: Min A = k khi và chỉ khi x = 2a
2a
b 2
b
- Nếu a < 0  a(x +
)  0  A  k. Khi đó: Max A = k khi và chỉ khi x = 2a
2a

Vì (x +

B. Ví dụ:

Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức: B = - 2x2 + 2 2 x + 3
HD: B = - 2x2 + 2 2 x + 3 = - 2(x2 - 2.
Vì - 2(x -

2 2
)
2

2
2 2
1
x + ) + 4 = - 2(x ) +4
2
2
2

 0 với mọi x. Do đó B  4 với mọi x.

Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm

-3-


Một số bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số
Do đó MaxB = 4 khi và chỉ khi x =

2
2

*Ở dạng này cần lưu ý cho HS phải biến đổi A(x)  k hoặc A(x)  k ( k là hằng số)


……………………..
x  1
y  4

Min E = 2011  

f, F = x  2 xy  3 y  2 x  2013,5 với x  0; y  0
HD : Cách giải giống bài e.
9

 x  4
ĐS : Min F = 2012  
y  1

4

Tìm GTLN của biểu thức:
a, A = 5 - x2 + 3x
b, B = - 3x2 - 4x - 1
c, C = - (x - 2)2 - (2x - 1)2
d, D = 2 + 5x - x2
e, E = 2 - 5x2 - y2 - 4xy + 2x
HD: E = 3 - ( 2x + y)2 - ( x - 1)2  3
f, F = 2( x  1 + 1) - (x - 1)2
(Đề thi HSG Toán 9 Huyện Thạch Hà năm học 2001 - 2002)
2.

Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm


1
=  x   - 2( x + ) + 1 =  x   1
x
x
x 


2

2
2

 x2 1 x 
2
1
3
9
3

 = x 2  x  1 =  x        =
x
16
2
4 
4



9
1

Min A = - 9  y = 0  x2 - 5x +3 = 0  x1 =

5  13
5  13
; x2 =
2
2

Bài tập: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a , A = x4 - 6x3 + 8x2 - 6x + 1
b, B = x( x - 2)(x - 5)( x- 7)
c, C = (x2 + x + 1)2
Dạng 3: Tìm GTNN( GTLN) của biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:
A. Lí thuyết: Với A là một biểu thức tùy ý, ta có:
 A neá
uA0
A 
uA0
A neá

Một số chú ý:
A  B  B  A với mọi A, B.

A  B  A  B dấu “ = ” xảy ra  A.B  0.
A B  A  B

dấu “ = ” xảy ra  A.B  0

Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm



x2
x

1
.
3

với x  0; x  Z

HD: Vì x  Z nên :
- Với x  - 2  x + 2  0  C  0
- Với x = -1  C = -1
- Với x  1  C =
C lớn nhất khi

x2
x2
2
=
= 1+
x
x
x

2
lớn nhất
x

 x nhỏ nhất. Mà x


1002

2

2x - 2001
2004 - 2x

+

0

+
+

0

+
-

2001
ta có: A = 2001 - 2x + 2004 - 2x = 4005 - 4x
2
2001
Vì x

b, B = 5 1  4x  1
c, C = x2 + 3 y  2 - 1
d, D = x + x
Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm

-7-


Một số bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số
e , E = 2x  1 + 2 x  3 ;
f, F = x  1002 + x  1000
h, H = x  2 + 2 x  3 + x  5
i, I =

6
x 3

với x  Z

k, K = x 2  x  1 + x 2  x  2
l, L = x  2  x  3  x  5
m, M = x  2  x  3  x  5 + x  7
Từ những bài tập về tìm GTNN như trên, ta có thể thay đổi dấu 1 số hạng tử để được
bài toán về tìm GTLN.
2 .Tìm GTLN của các biểu thức sau :
a , A = 1 - 2 3x  2
1
x2 3

b, B =

HD: C/1: Từ (1)  Ax2 + 2Ax + 3A - 1 = 0(*)
Để tồn tại giá trị lớn nhất của A thì pt (*) (ẩn x) phải có nghiệm . Tức là:
2

/ = A - A(3A - 1)  0 ..........  0  A 

Vậy Max A =

1
.
2

1
khi x = -1
2

Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm

-8-


Một số bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số
1
. Vì (x + 1)2  0 với mọi x nên (x + 1)2 + 2  2 và 1 > 0 
2
( x  1)  2
1
1

2


2x  1
x2  6

(Đề thi GVG Huyện Cẩm Xuyên năm học 2006 - 2007)
HD: C/1:
Ta có: P =

2x  1
2
 Px - 2x + 6P - 1 = 0
2
x 6

(*)

Để P tồn tại GTLN,GTNN thì phương trình (*)(ẩn x) phải có nghiệm. Tức là : /  0


- 6P2 + P + 1  0  6P2 - P - 1  0  ….. 

1
1
P
3
2

1
2x  1
1




x 2  6  x 2  4x  4
x2  6
x 2  4x  4
2(2 x  1)
2x  1
1
 x  2 .
P= 2
=
=
=
= 
2
2
2
2
2( x  6)
2 2( x 2  6)
x 6
2 x 6
2( x  6) 2( x  6)

Vì

 x  2 2
2( x  6)
2

=
=
3( x 2  6)
3( x 2  6)
x2  6
3( x 2  6)

 ( x 2  6) x 2  6 x  9
( x  3) 2
( x  3) 2
1
1
+
=
+
.
Vì
.
 0 với mọi x nên P 
2
2
2
2
3
3
3( x  6)
3( x  6)
3( x  6)
3( x  6)
1

HD:
C/ 1: Tách tử thành nhóm có nhân tử chung với mẫu:
A=

3x 2  8 x  9
4
3( x 2  2 x  1)  2( x  1)  4
2
=
= 3
+
2
2
( x  1) 2
x  2x  1
x 1
( x  1)
2

1
2 
= 
 + 2.
2
 x 1
11
Vậy Min A =
4

2

=
x 2  2x  1
x  12

do đó Đặt y =

1
1
Khi đó : x = - 1
y
x 1

 1
1   2
4y2  2y  3
1
1
11
2


3
(

1
)

8

1


11
Vậy Min A =
khi x = - 5.
4

C/3: Dùng công thức nghiệm để giải.
Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm

-10-


Một số bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số
* Ngoài ra với những bài tập dạng này ta có thể viết biểu thức A thành tổng của một số
với một phân thức không âm.
Chú ý: Tất cả những dạng trên đều có chung một phương pháp là dùng điều kiện có
nghiệm của phương trình bậc hai để giải ( như VD 1 ) với cách giải này ta có thể tìm
được GTLN và GTNN của biểu thức.
* Bài tập:
1.Tìm GTNN của biểu thức:
x2  y2
;
x 2  2 xy  y 2
x
b, B = 2
x  10 x  25
x2  2 x  2
c, C  2
x  2x  3
x 2  2 x  17

 x  
2
4


- Với x = 0 ta có B = 0
- Với x > 0. Ta có : B =

1

1
1

1
x
x

1
2

 1 1
3

  
4
 x 2

Vì tử và mẫu đều dương và tử là hằng số nên B 
Dấu “=” xảy ra khi
Vậy Max B =

các số không dương và một hằng số.
Tức là: f(x,y) = g ( x, y )2  k hoặc f(x,y) = - g ( x, y )2  m
C/2: Sử dụng tính chất có nghiệm của tam thức bậc hai để đánh giá ẩn.
Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = x3 + y3 + xy. Biết x + y = 1
HD: A = (x + y)(x2 - xy + y2) + xy = …. = x2 + y2. Đến đây ta có các cách giải :
C/1 : Sử dụng điều kiện đã cho để làm xuất hiện một biểu thức có chứa A.
Vì x + y = 1 nên x2 +2xy + y2 = 1.
Ta lại có : (x - y)2 = x2 - 2xy + y2  0 . Do đó 2(x2 + y2)  1  x2 + y2  1

2

Vậy Min A = 1  x = y = 1
2

2

C/2 : Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối với x
Thay y = 1 - x vào A ta được tam thức bậc hai đối với x .Từ đó giải tiếp như dạng 1
C/3 : Sử dụng điều kiện có nghiệm để đổi biến.
Đặt x = 1 + a ; y = 1 - a . Khi đó : x2 + y2 = 1 + 2a2  1
2

2
1
Vậy Min A =  a = 0  x = y = 1
2
2

2


y  0

Max S = - 1  

C/2: (1)  (x + y)2 + 2(x + y).4 + 16 + y2 = 9
Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm

-12-


Một số bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số
2

2

2

2

 (x + y + 4) + y = 9. Do y  0 nên (x + y + 4)  9  - 3  x + y + 4  3
 - 7  x + y  - 1. Đến đây ta giải tiếp như C/1.

2. Cho biểu thức M = x2 + xy + y2 - 3x - 3y + 2011.
Với giá trị nào của x và y thì M đạt GTNN.
(Đề thi HSG Toán 8 Huyện Cẩm Xuyên năm học 2010 - 2011)
 2
y y2
3 9
y 3 3
3

2

4
x  1
Dấu “ = ” xảy ra khi 
.
y  1

2

x  1
y  1

Vậy Min M = 2008 khi 

3. Cho x2 + 2y2 + 2xy + 4x - y +

7
= 0 (1). Tìm Min S = x+ y.
4

4. Tìm GTNN của biểu thức P = 2x2 + y2 - 2xy - 4x + 6y - 5
5. Tìm x để y lớn nhất thõa mãn : x2 + 2y2 + 2xy - 8x - 6y + 13 = 0(1)
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 Tỉnh Hà Tĩnh năm học 2010 - 2011)
HD : Biến đổi ta được : (1)  (x + y - 4)2 + (y + 1)2 = 4
2

 (y + 1)  4 ( do (x + y - 4)

2


b, - Với ab > 0 ta có :

Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm

-13-


Một số bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số
1
11 1
   .
ab 4a b

2.Một số tính chất quen thuộc của bất đẳng thức:
a, Với a, b, c, d > 0 và a > b, c > d thì a.c > b.d
b, Với a > b và c > 0 thì a.c > b.d
c, Với a > b và c < 0 thì a.c < b.c
d, Với a > b và a, b, n > 0 thì an > bn
Ví dụ: Tìm GTNN của M =

2
3
với a > 0; b > 0; a + b = 1
 2
ab a  b 2

(Đề thi GVG Huyện Cẩm Xuyên năm học 2011 - 2012)
HD: M =


2
2ab 1
2
1
1
4
4
 2


 4 ( do a + b = 1)
2
2
2
2ab a  b
2ab  a  b
a  b 2
1
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = b = .
2
1
1 
1
 1
 3
 2
 2  3.4 = 14. Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = b = .
M =
2 
2ab  2ab a  b 


-14-


Một số bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số
2 3x  57  3x  3x  5  7  3x  2

Nên A2  2  2  4 , dấu “=” xảy ra  3x  5  7  3x  x  2
Vậy MaxA = 2 khi x = 2
3x 4  16
*Ví dụ 2: Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức A 
x3

HD: A 

16
16
16
3x 4  16
 3 x  3  x  x  x  3  44 x.x.x. 3  4.2  8
3
x
x
x
x

Dấu “=” xảy ra khi x 

16
x3


* Chú ý : - Ta có thể sử dụng nhiều BĐT trong 1 bài toán.
Ví dụ 3 :Cho x, y là các số dương thõa mãn : x + y  1. Tìm GTNN của biểu thức :
M=

1
1

(Đề thi HSG Toán 9 Huyện Cẩm Xuyên năm học 2012 - 2013)
2
xy
x y
2

 1
1 
2
 2
 

2
2 xy  4 xy
x y
1
1
4
4
1 1
4
 2

2
2
( x  y)
( x  y)
( x  y) 2
1
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ x = y =
2

x + y  2 xy  (x + y)2  4xy 

Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm

-15-


Một số bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số
Chú ý : - Nếu sử dụng nhiều BĐT khác nhau trong 1 bài toán thì ta phải kiểm tra xem
chúng có đồng thời xẩy ra dấu bằng hay không.
Ví dụ 4 :Cho x, y là các số dương thỏa mãn x + y = 1. Tìm GTNN của
1
 1 
A =  x+    y  
y
 x 
2

2

Giải sai:

1
 y  y 2  1 . Từ đó suy ra x = y = 1 ( Loại vì x + y = 1)
y

Giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương x, y ta có :
x+y
1
1
 xy  xy   xy 
2
2
4
2

1
1
Ta có : A = 4 + x +y    +   .
x y
2

2

2

Ta lại có: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy  1 -

1 1
= (1)
2 2


Cho 2 bộ số n bất kì ( a1; a2;....;an) và (b1 ; b2 ;…. ;bn) ta có :
2
(a1 + a22 +.....+an2)(b12 + b22 +.....+ bn2)  (a1b1 + a2b2 + ...+ anbn)2
Dấu “ = ” xảy ra khi

a
a1 a 2

 ........  n .
b1 b2
bn

Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm

-16-


Một số bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số
( Lưu ý : Nếu bi = 0 thì ai = 0)
*Ví dụ 1: Cho x  2 y  10 . Tìm GTNN của x + y
HD: áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho hai bộ số (1;2) và ( x; y )
Ta có:

1.

x 2 y

  1
2


b1
b2
bn
b1  b2  ....... bn
a
a
a
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 1  2  ..........  n
b1 b2
bn
2

2

2

2

Ví dụ : Cho a, b, c là những số dương thõa mãn : a + b + c  1.
1
1
1
 2
 2
a  2bc b  2ca c  2ab
9
1
1
1
HD : C/1 : Áp dụng BĐT Sa- vac ta có : 2





Vì 0 < x + y + z  1
Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm

-17-


Một số bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số
1 1 1
   9 hay A  9. Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z  a = b = c.
x y z
1
Vậy Min A = 9  a = b = c =
3



Bài tập :
1.Cho x > 0 ; y > 0 thõa mãn : xy = 1. Tìm GTNN của biểu thức :
A = (x + y + 1)(x2 + y2 ) +

4
x y

2.Cho a > 2 ; b > 2. Tìm GTNN của biểu thức: A =

a2

PHẦN III : KẾT LUẬN .
I. Bài học kinh nghiệm :Trong quá trình áp dụng đề tài tôi thấy :
- Đối với người dạy : Cần bắt đầu từ những kiến thức cơ bản ở SGK để từ đó khai thác,
phát triển sâu hơn . Khi dạy HS cần làm kĩ từng dạng cụ thể và đặc biệt là chú ý những
sai lầm của HS .
- Đối với người học : Cần phân tích được những giả thiết trong bài toán để xác định
được cách làm. Tăng cường làm bài tập, chú ý nghe giảng. Biết khai thác giả thiết và
phát hiện vấn đề.
II. Kiến nghị :
- Đối với cá nhân : Cần nghiên cứu nghiều hơn nữa về những bài toán các dạng trên
đồng thời tìm ra những phương pháp giải khác cho những dạng tiếp theo.
- Đối với tổ và nhà trường : Cần triển khai trong tổ để đồng nghiệp nghiên cứu và
phát triển thêm để triển khai ở cấp cao hơn ( Cấp cụm).
Trên đây là những dạng toán Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số. Với những lí do
mà tôi đã nêu ở phần đặt vấn đề, mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn còn có
nhiều điều thiếu sót, tôi mong được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp và bạn đọc
để đề tài được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.

Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm

-19-