Chuyên đề
VẬN DỤNG CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN
TRONG MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ HỌC VẬT RẮN
A. MỞ ĐẦU.
- Các Định luật bảo toàn (ĐLBT) có một vị trí quan trọng trong các bài toán vật lý, khi
đối diện với một bài tập cơ học thường ta hay nghĩ ngay đến một trong hai phương pháp
là “Động lực học hoặc các Định luật bảo toàn”. Tuy nhiên trong một số trường hợp các
thông tin về động lực học không rõ ràng thì áp dụng các ĐLBT lại tỏ ra hữu hiệu và rất
thuận tiện. Trong chuyên đề này chúng ta cùng vận dụng các ĐLBT để giải quyết các bài
tập về cơ học vật rắn.
B. NỘI DUNG:
I/ LÝ THUYẾT:
1. Động lượng:
Động lượng P của một vật là một véc tơ cùng hướng với vận tốc của vật và được
xác định bởi biểu thức P = m.v . Đơn vị của động lượng kg.m/s
Khi một lực F (không đổi) tác dụng lên một vật trong khoảng thời gian ∆t thì tích
F . ∆t được định nghĩa là xung của lực F trong khoảng thời gian ∆t ấy.
ĐLBT động lượng: Véc tơ động lượng của một hệ cô lập được bảo toàn P = P ' .
Nếu hệ không cô lập nhưng các ngoại lực có cùng phương Oy thì hình chiếu của tổng
động lượng trên phương Ox vẫn bảo toàn: P1x + P2x = const
Chuyển động bằng phản lực là chuyển động theo nguyên tắc : nếu có một phần của
hệ chuyển động theo một hướng, phần còn lại của hệ phải chuyển động theo hướng khác
2. Công cơ học:
Nếu lực không đổi F có điểm đặt chuyển dời một đoạn s theo hướng hợp với hướng của
lực góc α thì công của lực F được tính theo công thức:
A = F.s.cos α
Đơn vị của công là Jun (J) 1 jun = 1N.m
Nếu α < 900 , A > 0 : công phát động
Nếu α > 900 , A < 0 : công cản
Nếu α = 900 , A = 0 : công bằng không
Công suất đo bằng công sinh ra trong một đơn vị thời gian


1
m.v 2
2

Đơn vị của động năng: Jun
* Định lí động năng: Độ biến thiên động năng của một vật trong một quá trình bằng tổng
công thực hiện bởi các ngoại lực tác dụng lên vật trong quá trình đó:
1 2 1 2
mv2 − mv1 = A
2
2

* Động năng có tính tương đối, phụ thuộc hệ quy chiếu. Thông thường được hiểu là động
năng được xét trong hệ quy chiếu gắn với Trái đất
4. Thế năng:
Là năng lượng của một hệ có được do tương tác giữa các phần của hệ thông qua
lực thế
Đơn vị của thé năng là Jun
Thế năng trọng trường: (thế năng hấp dẫn) của một vật là dạng năng lượng tương
tác của Trái đất và vật, ứng với một vị trí xác định của vật trong trọng trường
Biểu thức thế năng trọng trường tại một vị trí có độ cao z:
Wt = m.g.z - Nếu trọn mốc thế năng tại mặt đất.
Thế năng đàn hồi là dạng năng lượng của một vật chị tác dụng của lực đàn hồi.
Biểu thức thế năng đàn hồi của lò xo ở trạng thái có biến dạng ∆l :
Wt =

1
2
k ( ∆l )

r
r
Với r là bán kính véctơ vạch từ O đến điểm đặt của lực F .


r

- Mômen của lực F đối với một trục OZ nào đó là thành phần M z trên trục OZ của
véctơ mômen lực đối với điểm O.
- Trong một hệ chất điểm hay vật rắn, mômen của các nội lực đối với một điểm bất
kỳ luôn bằng không: M′ = 0.
- C«ng mµ m«men lùc thùc hiÖn ®îc khi lµm vËt quay mét gãc ϕ lµ: A = M. ϕ .
b) Mômen động lượng :
r
v
- Mômen động lượng của một chất điểm có khối lượng m, chuyển độngr với vận
tốc
r
đối với một điểm O nào đó là một véctơ được xác định bởi biểu thức : L = rr × P = rr × mvr
(2)
- Mômen động lượng đối với một trục OZ nào đó là thành phần L z trên trục OZ của
véctơ mômen động lượng đối với điểm O.r
r
r
r

r

r


dt

r
= 0

r
⇒ L = const ∉ t

(5)

- Định luật bảo toàn mômen động lựợng : Mômen động lượng của một hệ chất điểm hay
một vật rắn đối với một điểm cố định O, không thay đổi theo thời gian, nếu mômen ngoại
lực đối với điểm O đó bằng không.
Chú ý: khi áp dụng định luật biến thiên và bảo toàn mômen động lượng thì phải áp dụng
trong hệ quy chiếu quán tính.
8.Mômen động lượng của một vật rắn quay quanh một trục cố định :
- Xét chất điểm có khối lượng m quay theo đường tròn tâm O bán kính r với vận tốc v,
khi đó mômen động lượng của chất điểm đối với trục quay ∆ vuông góc với mặt
phẳng quỹ đạo là:
L = m ω r2
(6)
- Với hệ chất điểm thì mômen động lượng của hệ chất điểm đối với trục quay ∆ là :
L=
Trong đó I =
- Ta có
⇒ M=

2
i i



= Ιγ

(9)

(8)

γ là gia tốc góc của chuyển động.

9. Mômen quán tính của các vật :
- Đối với vật mà vật chất phân bố rời rạc : I =

∑m r

2
i i

( 10 )

i

2
- Đối với vật mà vật chất phân bố liên tục : I = ∫ dΙ = ∫ ρr dV ( 11 )
V


10. Định lý Stennơ - Huyghen :
Mômen quán tính của một cơ hệ ( vật rắn ) đối với một trục nào đó bằng mômen
quán tính của nó đối với trục đi qua khối tâm cộng với tích của khối lượng m của vật với
bình phương khoảng cách a giữa hai trục


i

1
2

2

( 13 )

mv G

- Vật rắn chuyển động quay quanh một trục :
Τ=

1

∑m v
2
i

i

=

i

1

∑m r ω

1
2

Ιω

2

(14 )

1

1 2
2
mv G + Ιω
2
2

(15)

- Định lí kơních về động năng : động năng của một vật trong chuyển động đối với hệ
quy chiếu cố định O bằng tổng động năng khối tâm G mang tổng khối lượng cộng với
TO =

động năng của vật trong chuyển động tương đối quanh G.

1
2

2



e

trong đó dA ; dA là tổng công nguyên tố của nội lực và ngoại lực, Wk ; Wk là tổng công
suất của nội lực và ngoại lực.
i
e
- Dạng hữu hạn : Τ − Τ0 = ∑ A k + ∑ A k trong đó T; T0 là động năng của hệ tại thời điểm
i
e
ban đầu và thời điểm t; ∑ A k + ∑ A k là tổng công của nội lực và ngoại lực.
II/ MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1:
Ở thời điểm ban đầu, 1 đồ chơi hình trụ đồng chất khối lượng m, bán kính R,
1
2

momen quán tính đối với trục J = mR 2 , nằm ở cạnh a của 1 cái giá. Cạnh của giá song
song đường sinh của hình trụ. Dưới ảnh hưởng của vđầu không đáng kể, đồ chơi hình trụ
rơi xuống. Kí hiệu f là hệ số ma sát trượt giữa đồ chơi và cái giá. ở độ nghiêng α 0 nào, độ
chơi bắt đầu trượt trên cạnh A của giá trước khi rơi khỏi giá.


Lời giải
- Trong bài này nếu chúng ta chỉ vận dụng các kiến thức động lực học thì không giải
quyết được vì vậy ta phải kết hợp thêm các ĐLBT.
*) Theo định luật II Newton có :

( 1)
( 2)

Hay :

mgR ( 1 − cos α ) =

13
4
mR 2 .α ,2 ⇒ α ,2 =
g ( 1 − cos α )
22
3R

1
3
+) Đồ chơi bắt đầu trượt ( α = α 0 ) khi :

- Thế vào (2) ta được : N = mg ( 7 cos α − 4) (4)
7 cos α 0 − 4 > 0
sin α 0 = ( 7 cos α 0 − 4) f

⇔
N >0
Fms = f.N

α 0 < 55,15 0
⇔

7cos α 0 −

sin α 0
f

900 < ϕ < 1800
α 0 < 55,15 0

4
72 +

1 ⇔
f2

sin

1
7
1
7 2 + ( )2
f

( ϕ − α0 ) = sin ϕ0 =

4
49 +

1
f2

(**).

⇒ ϕ − α > 44,85 0

- Phương trình (**) ta lấy nghiệm sau :

49 f + 1
= ± ϕ 0 ( Với 0 < ϕ 0 < 900) ⇒ α 0 = - ϕ ± ϕ 0

(*) Trở thành sin α 0 cos ϕ − sin ϕ cos α 0 =

⇒ cos( ϕ + α 0 ) = cos ϕ 0 ⇒ ϕ + α 0
Đối chiếu với điều kiện α 0 < 55,150 , chọn 1 nghiệm thoả mãn.

Bài 2:
Một quả bóng siêu đàn hồi đặc, khối lượng m, bán kính R. Bóng bay tưói va
chạm vào mặt sàn ngang với vận tốc v và vận tốc góc ω . Chỗ mà quả bóng tiếp xúc
với sàn có ma sát giữ cho điểm tiếp xúc không trượt. Do có ma sát nên va chạm là
không đàn hồi Tuy nhiên, có thể bỏ qua sự biến thiên của thành phần pháp tuyến v y và
độ biến thiên động năng bóng.
a/ Xác định thành phần tiếp tuyến v x’ của v’ và ω ’ của quả bóng sau va chạm theo v x và
ω trước va chạm? Biện luận?
b/ Tính vận tốc điểm tiếp xúc A của bóng trước và sau va cham? Giải thích kết quả?
c/ Xét ω = 0 và vx > 0.
Lời giải
*) Theo định luật biến thiên momen động lượng ta có:
dL = Mdt = FmsRdt = dPxR ⇒ Id ω = mRdvx
vx '
ω'
⇒ I ∫ d ω = mR ∫ dv ⇒
ω
vx

I( ω ’- ω ) = mR(vx’ - vx)

(1)


+) vx’ > 0, vx > ω R
3

4

+) vx’ = 0 ⇒ vx = ω R
3
4

+) vx’ < 0 ⇒ vx < ω R
3


vAx = vx + ω R

b) Ban đầu (trước va chạm): A:

vAy = vy

Sau va chạm:

⇒

v’Ax = v’x + ω ' R = - (vx + ω R )
v’
Ay = v’y = - vy
uuu
r
uuur

A
L

(3)

M
G
N

B

C

L

Với :

uu
r
v0
m

 M 2

 ( 2 )L

M
IG = 2 
+ ( ) MG 2  ,
2

- Giải hệ phương trình ta được:

- Điều kiện m bị bật ngược trở lại là v1 < 0 .
Rút ra:

M
5


2
12

(2)

- X = mv2
vB = v2 = -

(3)
l
ω1 + v1
2

(4)

Vì BC chỉ tịnh tiến ω2 = 0, giải hệ ta được:
7X
2X
; v2 = 5m
5m
18 X
b) ω1 =
; ω2 = 0
5ml
2
2
8X 2
c) KBC = m v22 = 2 X K AB = m v12 + I ω12 = 38 X ; K
=
thanh

+

uu
r
X

• 1
A


2
l
- X = ml ω1
2

(4)

12

- Tính theo hai cách vB = v1 -

1
1
ω1 = v2 + ω2 (5) (B quay quanh 1 có vận tốc ngược
2
2

chiều v1 nhưng quay quanh 2 thì có vận tốc cùng chiều v2).
- Giải hệ 5 phương trình để tìm ẩn X’, v1, v2, ω1, ω2, ta có (1) và (3) cho: mv2 = X – mv1
- Viết lại (2): X + mv2 = 2X – mv1 =

⇒v =
4v1 1
1
1 4m
m
m
m
5X
X
a) v1 =
; v2 = 4m
4m
9X
3X
b) ω1 =
; ω2 = −
2ml
2ml
X
1
X
≠ vB
c) vB = - ; vG = (v1 + v2 ) =
m
2
2m

Từ (3) và (4) cho ω2 = -

Vì G chỉ trùng với B khi hai thanh nằm yên thẳng hàng.



1. Biến thiên momen động lượng của hệ (đối với tâm O) bằng momen của xung lực.
- Kí hiệu ω là vận tốc góc của OA ngay sau va chạm, thì ω =

2V
.
l

2

- Momen động lượng của OA (hoặc O’B) là: I ω = ml ω = 2 mlV
3

3

- Momen động lượng của AB, với VD = 2V, là 2mVl.
Từ đó:
4
10
3X
mlV + 2mlV = mlV = Xl → V =
.
3
3
10m
I
2
2. Động năng của một thanh quay quanh O là ω 2 = mV 2
2

ϕ
X 3
= 4mgl sin 2 → sin =
Từ đó K =
.
10m
2
2 2m 10 gl

4. Nếu X = mV0 thì động năng của khung:
2
3 X 2 3 mV0 3
K=
=
= K , K là động năng của quả cầu.
10m 5 2
5 0 0
2
Vậy tối đa có K0 = r = 40%.
5

Chú thích: Khi xung X đập vào A thì ở các chốt O, O’ xuất hiện các phản xung của trần
XO và XO’. Nhưng vì lấy momen đối với O nên chúng không có mặt trong (1). Có thể tích
được XO = XO’ =

X
.
10

C. KẾT LUẬN: