Header Page 1 of 126.

Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện tại trường Đại học khoa học tự nhiên - ĐHQGHN dưới sự
hướng dẫn tận tình, chu đáo của thầy giáo, GS.TS Nguyễn Hữu Dư. Tôi xin được bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy, người đã chỉ dạy tác giả những kiến thức, kinh nghiệm
trong học tập, nghiên cứu khoa học và các bài học trong cuộc sống.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin, Phòng sau
đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội. Tôi cũng xin gửi
lời cảm ơn chân thành tới các Thầy, Cô giáo trong Bộ môn Lý thuyết xác suất và thống
kê toán, khoa Toán - Cơ - Tin đã nhiệt tình giảng dạy trong suốt quá trình học tập tại
Khoa.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn
góp ý, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Hà Nội, ngày ... tháng ... năm 2015
Học viên

Footer Page 1 of 126.

1


Header Page 2 of 126.

Mục lục
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Các khái niệm cơ bản về giải tích trên thang thời gian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 2. Tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . .

5


60

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Footer Page 2 of 126.

2

71


Header Page 3 of 126.

Lời mở đầu
Giải tích ngẫu nhiên là một lĩnh vực toán học nghiên cứu các phép tính giải tích (tích
phân, đạo hàm, tính liên tục, khả vi, ...) đối với quá trình ngẫu nhiên, nhằm mục đích
xây dựng các mô hình toán học cho các hệ động lực có sự tác động của các yếu tố ngẫu
nhiên. Do đó, giải tích ngẫu nhiên là ngành khoa học có nhiều ứng dụng trong sinh học,
y học, vật lý học, kinh tế học, khoa học xã hội, . . . và được nhiều nhà toán học quan
tâm nghiên cứu. Cho đến nay giải tích ngẫu nhiên với thời gian rời rạc và thời gian liên
tục đã được nghiên cứu khá đầy đủ.
Khi xây dựng mô hình toán học cho các hệ thống tiến triển theo thời gian, người ta
thường giả thiết hệ thống hoạt động liên tục hoặc rời rạc đều, tức là các thời điểm quan
sát cách nhau một khoảng cố định. Từ đó, các phép giải tích liên tục (phép tính vi phân)
và rời rạc (phép tính sai phân) được nghiên cứu để mô tả hệ thống tương ứng với các giả
thiết lý tưởng được đặt ra. Tuy nhiên, trên thực tế, hầu hết các hệ thống hoạt động không
hoàn toàn liên tục và cũng không hoàn toàn cách đều nhau. Đôi khi các quan sát còn xen
lẫn các khoảng thời gian liên tục với các thời điểm rời rạc. Chẳng hạn một loài sâu nào
đó chỉ phát triển trong mùa hè nhưng đến mùa đông thì sự phát triển của chúng bị gián

Do kiến thức còn hạn chế nên khi làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai
sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn
đọc. Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày ... tháng ... năm 2015
Học viên

Footer Page 4 of 126.

4


Header Page 5 of 126.

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, tôi trình bày một số kết quả cơ bản của giải tích tất định và quá
trình ngẫu nhiên trên thang thời gian để làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của
luận văn ở các chương sau.

1.1. Các khái niệm cơ bản về giải tích trên thang thời gian
Các kết quả trình bày trong mục này được tham khảo từ các tài liệu [1] và [2].
Định nghĩa 1.1.1. Một tập con đóng, khác rỗng của tập số thực R được gọi là thang
thời gian (time scales). Ký hiệu thang thời gian là T.
Dễ thấy rằng các tập hợp: R, Z, N, N0 , [0, 1] ∪ [2, 3], [0, 1] ∪ N và tập Cantor là các
thang thời gian.
Trong khi đó, các tập hợp: Q, R Q, (0, 1) không phải là các thang thời gian vì chúng
không phải là các tập đóng.
Trong luận văn, tôi luôn giả thiết rằng trên thang thời gian có một tôpô, chính là tôpô
cảm sinh của tôpô thông thường trên tập hợp các số thực.

k

T
T\ (ρ(M ), M ]

nếu min T = −∞
nếu min T = m
nếu max T = +∞
nếu max T = M

Kí hiệu:

{
}
{
}
I1 = t : t cô lập trái , I2 = t : t cô lập phải , I = I1 ∪ I2 .

(1.1.1)

Mệnh đề 1.1.1. Tập hợp I gồm tất cả các điểm cô lập trái hoặc cô lập phải của thang
thời gian T là tập không quá đếm được.
Định nghĩa 1.1.4. Giả sử T là thang thời gian. Ánh xạ µ : Tk → R+ xác định bởi
µ(t) = σ(t) − t,
được gọi là hàm hạt tiến (forward graininess function) trên thang thời gian T. Ánh xạ
ν :k T → R+ xác định bởi
ν(t) = t − ρ(t),
được gọi là hàm hạt lùi (backward graininess function) trên thang thời gian T.
Ví dụ 1.1.1.



∞
∪

nếu t ∈



t + a



t

nếu t ∈
nếu t ∈

k=1
∞
∪
k=1
∞
∪

[k(a + b), k(a + b) + b)
{k(a + b) + b}
[k(a + b), k(a + b) + b)

k=1
∞



0

nếu t ∈



a

nếu t ∈

∞
∪

[k(a + b), k(a + b) + b)

k=1
∞
∪

{k(a + b)}

k=1

• Với n ∈ N0 , xét dãy số điều hòa
H0 = 0, Hn =

n
∑


và
1
, ν(Hn ) =
µ(Hn ) =
n+1

Footer Page 7 of 126.

7

1
n
0

nếu n ≥ 2
nếu n = 0, 1
nếu n ≥ 1
nếu n = 0.


Header Page 8 of 126.
Định nghĩa 1.1.5. Cho hàm số f : T → R. Hàm số f được gọi là
i) chính quy (regulated) nếu f có giới hạn trái tại các điểm trù mật trái và có giới hạn
phải tại các điểm trù mật phải.
ii) rd-liên tục (rd-continuous) nếu f liên tục tại các điểm trù mật phải và có giới hạn
trái tại các điểm trù mật trái. Tập các hàm rd-liên tục kí hiệu là Crd hoặc Crd (T, R).
iii) ld-liên tục (ld-continuous) nếu f liên tục tại các điểm trù mật trái và có giới hạn phải
tại các điểm trù mật phải. Tập các hàm ld-liên tục kí hiệu là Cld hoặc Cld (T, R).
Giả sử f : T → R là một hàm số xác định trên T. Khi đó, chúng ta viết f ρ : T → R là

Header Page 9 of 126.
Định lý 1.1.2. Giả sử f : T → R là một hàm số xác định trên T và t ∈ k T. Khi đó,
i) Nếu hàm số f có ∇-đạo hàm tại t thì f là hàm số liên tục tại t.
ii) Nếu hàm số f liên tục tại điểm cô lập trái t thì f có ∇-đạo hàm tại t và
f ∇ (t) =

f (t) − f (ρ(t))
.
ν(t)

iii) Nếu t là điểm trù mật trái thì f là hàm số có ∇-đạo hàm tại t nếu và chỉ nếu giới hạn
f (t) − f (s)
,
s→t
t−s
lim

tồn tại và hữu hạn. Trong trường hợp đó,
f (t) − f (s)
.
s→t
t−s

f ∇ (t) = lim
iv) Nếu hàm số f có ∇-đạo hàm tại t thì

f ρ (t) = f (t) − ν(t).f ∇ (t).
Định lý 1.1.3. Giả sử f, g : T → R là một hàm số xác định trên T và có ∇-đạo hàm tại
t ∈ k T. Khi đó,
i) Hàm tổng f + g : T → R có ∇-đạo hàm tại t và

(ρ(t) − α)i (t − α)n−i−1 .

i=0

Footer Page 9 of 126.

9


Header Page 10 of 126.

ii) Nếu g là hàm số xác định bởi g(t) =
∇

g (t) = −

1
thì
(t − α)n

n−1
∑

1

i=0

(ρ(t) − α)n−i (t − α)i+1

,

∇ ({t}) = At − At− .
Với a, b ∈ T và a ≤ b,
A
A
µA
∇ ((a, b)) = Ab− − Aa ; µ∇ ([a, b)) = Ab− − Aa− ; µ∇ ([a, b]) = Ab − Aa− .

Chứng minh chi tiết cho các kết quả này có thể xem trong [5].
A
Lấy E ⊂ k T là một tập µA
∇ -đo được và f : T → R là một hàm số µ∇ -đo được. Kí

hiệu

∫

f ∇Aτ
E τ

là tích phân của hàm số f liên kết với độ đo µA
∇ trên E và được gọi là

∇A -tích phân Lebesgue - Stieltjes. Nếu A(t) = t với mọi t ∈ T ta có µA
∇ là ∇-độ đo
Lebesgue trên T và

Footer Page 10 of 126.

∫



a

ii)

∫b
∫b

αf (τ )∇τ = α

iv)

f (τ )∇τ = −

∫b

g(τ )∇τ ;

a

f (τ )∇τ ;

∫a

f (τ )∇τ ;

b

f (τ )∇τ +


∫b

f (τ )∇τ ;

a

f (ρ(τ ))g ∇ (τ )∇τ = f (b)g(b) − f (a)g(a) −

∫b

a

vi)

∫b

f ∇ (τ )g(τ )∇τ ;

a

f (τ )g ∇ (τ )∇τ = f (b)g(b) − f (a)g(a) −

∫b

a

f ∇ (τ )g(ρ(τ ))∇τ .

a


∑


f (t)ν(t)

−

nếu a = b
nếu a > b

t∈(b,a]

iii) Nếu T = hZ thì

 b

h
∑


f (kh)h



k= ha +1

∫b
f (τ )∇τ =
a


∑


f (k)


k=a+1

∫b
f (τ )∇τ =
a

nếu a < b

0

nếu a = b


a

h

∑


f (k)
−

nếu a > b

∫

a

∑

f (τ )∆τ +
[a,b)

=

f (s)µ(s)

a≤s
hk (τ, s)∆τ với k ∈ N0 .

h0 (t, s) = 1 và hk+1 (t, s) =
s

Khi đó, hk (t, s) là hàm số liên tục theo t. Do đó ta có

∫t
hk+1 (t, s) =

hk (τ− , s)∇τ .
s

Hơn nữa, ta có ước lượng sau
0 ≤ hk (t, s) ≤

(t − s)k
,
k!

(1.1.5)

với bất kì k ∈ N và t > s.
Bổ đề 1.1.2. Giả sử u(t) là một hàm số chính quy, ua , p ∈ R+ . Khi đó,

∫t
u(t) ≤ ua + p

u(τ− )∇τ


a

∫t
= ua + ua ph1 (t, a) + p2

τ −

∫1
 u(τ2 −)∇τ2 ∇τ1 .

a

a

Vì u(t) là một hàm số có tính chính quy nên tồn tại một hằng số dương K ∗ sao cho
|u(t)| ≤ K ∗ ∀t ∈ [a, T ]. Tiếp tục quá trình này ta có

∫ t ∫τ1 −∫τ2 −
u(t) ≤ ua + ua ph1 (t, a) + ua ph2 (t, a) + . . . + p

n

≤

ua pk hk (t, a) + K ∗ hn+1 (t, a) ≤

k=0

Footer Page 13 of 126.



u(t) ≤ ua

∞
∑

pk hk (t, a) = ua ep (t, a) với mọi t ∈ Ta .

k=0

Do đó ta có điều phải chứng minh.

Footer Page 14 of 126.

14


Header Page 15 of 126.

1.2. Quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian
Thông thường, chúng ta định nghĩa quá trình ngẫu nhiên với tập chỉ số là tập con nào
đó của tập số thực R. Thang thời gian là một tập con đóng của tập số thực R. Chính
vì vậy, việc định nghĩa quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian cũng được định nghĩa
theo cách thông thường.
Trong mục này, tôi trình bày một số kết quả về quá trình ngẫu nhiên trên thang thời
gian. Các kết quả được trình bày trong mục này được dựa trên các tài liệu tham khảo [5,
6, 7, 8].
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử (Ω, F) là không gian đo. Cho (Ft )t∈Ta là họ σ-trường con của
F. Khi đó, (Ft )t∈Ta được gọi là không giảm, nếu
Fs ⊂ Ft , ∀s, t ∈ Ta và s ≤ t.

Fs ), B(R) là σ-trường

s>t

các tập con Borel của tập số thực R.

Định nghĩa 1.2.2. Giả sử T là một thang thời gian. Khi đó, ánh xạ
X :T × Ω → R
(t, ω) → Xt (ω),
được gọi là một quá trình ngẫu nhiên nếu thỏa mãn:
1) Với mỗi t ∈ T thì Xt : Ω → R là ánh xạ F-đo được.
2) Với mỗi ω ∈ Ω thì X. (ω) : T → R là hàm số xác định trên T.

Footer Page 15 of 126.

15


Header Page 16 of 126.
X. (ω) được gọi là quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên X với mỗi ω.
Định nghĩa 1.2.3. Giả sử X = (Xt )t∈T là một quá trình ngẫu nhiên trên T. Khi đó,
X = (Xt )t∈T được gọi là:
1) Liên tục ( rd-liên tục, ld-liên tục) nếu với mọi ω ∈ Ω thì X. (ω) là hàm số liên tục
(rd-liên tục, ld-liên tục) .
2) (Ft )-phù hợp nếu với mỗi t thì Xt là Ft -đo được.
3) Đo được nếu B(T) × F -đo được.
4) Cadlag nếu quỹ đạo của X liên tục phải và có giới hạn trái tại mọi điểm.
5) Đo được dần nếu với mọi T ∈ Ta , (Xt )t∈[a,T ] là quá trình B([a, T ]) × FT -đo được.
Định nghĩa 1.2.4. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, X : Ω → R là biến ngẫu
nhiên và G là σ-trường con của F. Khi đó, kì vọng có điều kiện của X đối với σ-trường

Header Page 17 of 126.
Định nghĩa 1.2.6. Quá trình ngẫu nhiên X = (Xt )t∈Ta được gọi là (Ft )−supermartingale
nếu các điều kiện i) và ii) được thỏa mãn và
iii’) Với mọi s, t ∈ Ta , s ≤ t,

E(Xt |Fs ) ≤ Xs h.c.c.
Định nghĩa 1.2.7. Quá trình ngẫu nhiên X = (Xt )t∈Ta được gọi là (Ft )−submartingale
nếu các điều kiện i) và ii) được thỏa mãn và
iii”) Với mọi s, t ∈ Ta , s ≤ t,

E(Xt |Fs ) ≥ Xs h.c.c.
Định lý 1.2.1. (Bất đẳng thức Doob). Giả sử (Mt )t∈Ta là (Ft )-submartingale, không
âm, liên tục phải với E|Mt |p < ∞, 1 < p < +∞ và T ∈ Ta . Khi đó,

)

(

E

sup
a≤t≤T

Mtp

(

≤

p

Header Page 18 of 126.
ii) Mọi dãy đơn điệu {ϕn } ⊂ Φ sao cho lim ϕn = ϕ là quá trình bị chặn thuộc Φ.
n→∞

Khi đó, Φ chứa tất cả các quá trình khả đoán.
Định nghĩa 1.2.9. Giả sử Ω, F, P là không gian xác suất với lọc là (Ft )t∈Ta . Khi đó, ánh
xạ τ : Ω → Ta được gọi là thời điểm dừng (stopping time) đối với họ σ-trường (Ft )t∈Ta
nếu biến cố (τ ≤ t) ∈ Ft , với mọi t ∈ Ta .
Định nghĩa 1.2.10. Giả sử (Xt )t∈Ta , Xa = 0 là một quá trình (Ft )-phù hợp. Khi đó,
(Xt )t∈Ta được gọi là martingale địa phương bình phương khả tích nếu tồn tại một dãy thời
điểm dừng {τn } , τn ↗ ∞ sao cho (Xt∧τn )t∈Ta là (Ft )-martingale bình phương khả tích.
Định nghĩa 1.2.11. Giả sử (Xt )t∈Ta , Xa = 0 là một quá trình (Ft )-phù hợp. Khi đó
(Xt )t∈Ta được gọi là semimartingale nếu với mọi t ∈ Ta ta có
Xt = Mt + At ,
trong đó (At )t∈Ta là quá trình liên tục phải, (Ft )-phù hợp, với quỹ đạo có biến phân giới
nội và (Mt )t∈Ta là martingale địa phương bình phương khả tích.
Định nghĩa 1.2.12. Giả sử H ⊂ L1 . Họ H được gọi là khả tích đều nếu

∫

|X|dP → 0 khi c → ∞.

sup
X∈H

(1.2.6)

[|X|>c]

Định lý 1.2.2. (Dunford - Pettis). Giả sử (Yn )n∈N là dãy các biến ngẫu nhiên khả tích


Vậy ta có điều phải chứng minh.
Định nghĩa 1.2.13. Quá trình ngẫu nhiên X được gọi là thuộc lớp (DL) nếu với mỗi
T ∈ Ta thì

{

Footer Page 19 of 126.

Xτ : τ là thời điểm dừng thỏa mãn a ≤ τ ≤ T

19

}

khả tích đều.


Header Page 20 of 126.

Chương 2

Tích phân ngẫu nhiên trên thang
thời gian
Trong chương này, Mục 2.1, tôi trình bày cách xây dựng tích phân ngẫu nhiên theo
martingale bình phương khả tích. Mục 2.2 và 2.3, tôi trình bày công thức Itô đối với bộ
d−semimartingale trên thang thời gian và phát biểu bài toán martingale.

2.1. Tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian
Định nghĩa 2.1.1. Giả sử M ∈ M2 là một martingale bình phương khả tích. Vì M 2

= 0.

Một quá trình ϕ xác định trên [a, b] được gọi là quá trình đơn giản, nếu tồn tại một
phân hoạch π : a = t0 < t1 < . . . < tn = b của [a, b] và dãy các biến ngẫu nhiên bị chặn

Footer Page 20 of 126.

20


Header Page 21 of 126.
(fi ) sao cho fi là Fti−1 -đo được với mọi i = 1, n và
ϕ(t) =

n
∑

t ∈ (a, b] .

fi 1(ti−1 ,ti ] (t);

(2.1.1)

i=1

Chúng ta kí hiệu tập hợp tất cả các quá trình đơn giản là L0 .
Bổ đề 2.1.1. L0 trù mật trong L2 ((a, b] ; M ) với metric xác định bởi

∫b
d(ϕ, φ)2 = ∥ϕ − φ∥2b,M = E

ϕ(n) (t) := ϕ(σ(ti )), nếu t ∈ (ti , ti+1 ] với i = 0,kn − 1,
trong đó {ti } là một phân hoạch của [a, b] sao cho max(ρ(ti+1 ) − ti ) ≤ 2−n . Điều này dẫn
i

tới ϕ ∈

L0

và

ϕ(n)

−ϕ

b,M

→ 0 khi n → ∞. Từ Mệnh đề 1.2.1, suy ra Υ chứa tất cả

các quá trình khả đoán bị chặn. Do đó, Υ = L2 ((a, b] ; M ).
Định nghĩa 2.1.2. Giả sử ϕ là một quá trình thuộc L0 , có dạng (2.1.1). Khi đó,

∫b
ϕτ ∇Mτ :=
a

kn
∑

fi .(Mti − Mti−1 ),


ii) E

[
∫b

]2
ϕτ ∇Mτ

=E

a

iii)

∫b

[
∫b

]
ϕ2τ ∇⟨M ⟩τ ,

a

[αϕτ + βξτ ] ∇Mτ = α

a

∫b



2

,
b,M

a

ϕ(n) (τ )∇Mτ } là dãy Cauchy. Do đó, {

a

∫b

ϕ(n) (τ )∇Mτ } hội tụ đến

a

biến ngẫu nhiên ξ trong L2 (Ω, F, P). Tức là

∫b
ξ = L2 − lim

ϕ(n) (τ )∇Mτ .

n→∞
a

{


(n)

a

(2.1.3)

a

là dãy các quá trình thuộc L0 sao cho

∫b
(n)

lim E

ϕτ − ϕτ

n→∞

2

∇⟨M ⟩τ = 0.

a

Ví dụ 2.1.1.

i) Nếu T = N và ϕ ∈ L2 ((a, b] ; M ) thì (ϕn ) là dãy các biến ngẫu nhiên

(Fn−1 )-phù hợp và


ϕτ dMτ ,
a

ϕτ dMτ là tích phân ngẫu nhiên Ito được xác định theo nghĩa thông thường

a

như trong [6].
Sau đây là một số tính chất cơ bản của ∇-tích phân ngẫu nhiên.
Mệnh đề 2.1.2. Giả sử ϕ, ξ ∈ L2 ((a, b] ; M ) và α, β là hai số thực. Khi đó các khẳng
định sau được thỏa mãn.
i)

∫b

ϕτ ∇Mτ là Fb -đo được;

a

ii) E

∫b

ϕτ ∇Mτ = 0

a

iii) E


∫b

ξτ ∇Mτ h.c.c.

a

v) Nếu ξ là biến ngẫu nhiên bị chặn và Fa -đo được, thì ϕξ ∈ L2 ((a, b] ; M ) và

∫b

∫b
ξϕτ ∇Mτ = ξ

a

ϕτ ∇Mτ .h.c.c.

(2.1.4)

a

Chứng minh. Các tính chất trên luôn đúng với ϕ ∈ L0 . Bằng cách lấy giới hạn qua dấu
tích phân ta có các tính chất trên đúng với ϕ ∈ L2 ((a, b] ; M ).
Định lý 2.1.1. Giả sử M ∈ M2 và ϕ ∈ L2 ((a, b] ; M ). Khi đó,


 b

∫
E   ϕτ ∇Mτ  Fa  = 0

h.c.c.

(2.1.6)


Header Page 24 of 126.
Chứng minh. Đẳng thức (2.1.5) suy ra trực tiếp từ định nghĩa ∇-tích phân ngẫu nhiên
và tính chất của kì vọng có điều kiện. Hơn nữa, với mọi A ∈ Fa ta có




E 1A


2 
2 
b
∫






1A ϕτ ∇Mτ
ϕτ ∇Mτ
 = E







E 



a



2
ϕτ ∇⟨M ⟩τ  .



2 
  b


∫

2


ϕ
∇⟨M
⟩
ϕτ ∇Mτ

2

h.c.c.

a

a

Ta có điều phải chứng minh.
Định nghĩa 2.1.4. Giả sử ϕ ∈ L2 ((a, b] ; M ). Với mỗi t ∈ [a, b], đặt

∫b
I(a) = 0;

1(a,t] ϕτ ∇Mτ

I(t) =

∀a < t ≤ b.

a

Khi đó, I(t) được gọi ∇-tích phân ngẫu nhiên của quá trình ϕ theo martingale bình phương
khả tích M , kí hiệu là

∫t

ϕτ ∇Mτ .

a

Tính chất martingale của I(t) được suy ra từ


 t

∫
E (I(t)|Fs ) = E (I(s)|Fs ) + E   ϕτ ∇Mτ  Fs  = I(s).
s

Footer Page 24 of 126.

24


Header Page 25 of 126.
Bất đẳng thức (2.1.7) được suy ra từ Định lý 1.2.1 và Mệnh đề 2.1.2(iii).

Footer Page 25 of 126.

25