MỤC LỤC


THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến:
“MỘT SỐ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC KHÓ KHĂN CHO HỌC SINH KHI
GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT
PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN”.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Sáng kiến được áp dụng trong giảng dạy môn
Toán nội dung Hình học không gian lớp 11cho đối tượng học sinh lớp 11.
3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 15 tháng 10 năm 2015 đến ngày 25
tháng 04 năm 2015.
4. Tác giả:
Họ và tên : Lê Thị Hà.
Năm sinh: 1985
Nơi thường trú: Thôn Ba Trung-Yên Minh-Ý Yên- Nam Định.
Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ
Chức vụ: Giáo viên
Nơi làm việc: Trường THPT Lý Nhân Tông
Điện thoại: 0979.054.196
Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 100%.
5. Đồng tác giả: Không có.
6. Đơn vị áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Tên đơn vị: Trường THPT Lý Nhân Tông
Địa chỉ: Xã Yên Lợi- Huyện Ý Yên – Tỉnh Nam Định
Điện thoại: 03503. 963. 939

2
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông



hơn là nội dung Đại số và giải tích, dẫn đến việc các em ít được rèn luyện nội dung
này.
Từ điều kiện hoàn cảnh như vậy tác giả đã nảy sinh sáng kiến: “Một số giải
pháp khắc phục khó khăn cho học sinh khi giải bài toán tìm giao điểm của đường
thẳng và mặt phẳng trong không gian”. Với mong muốn giúp các em giảm bớt khó
khăn khi bắt đầu làm quen với nội dung hình học không gian. Tác giả hy vọng
rằng sáng siến kinh nghiệm của bản thân sẽ góp một phần nhỏ để nâng cao chất
lượng giảng dạy môn Toán cho nhà trường nói riêng và cho các em học sinh nói
chung. Từ đó góp phần nhỏ bé của mình nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện
của trường THPT Lý Nhân Tông nói riêng của tỉnh Nam Định nói chung .

3
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông


II. Mô tả giải pháp.
1. Thực trạng trước khi tạo ra sáng kiến.
d

Khi hướng dẫn học sinh giải bài toán tìm giao điểm của đường thẳng
mặt phẳng

(α )

và

các giáo viên thường hướng dẫn học sinh làm theo hai cách:
(α )
d'
d

nhận xét,dự đoán các khó khăn, những sai sót mà học sinh trong quy trình giải
toán là việc rất cần thiết.
Bản thân tác giả cũng hướng dẫn học sinh giải bài toán này theo hai cách
trên, đồng thời tiến hành quan sát trong quá trình giải toán của học sinh và rút ra
những nhận xét sau:
Ưu điểm của giải pháp này là: Học sinh dễ hiểu và dễ ghi nhớ. Cả hai cách
đều quy về tìm giao điểm của hai đường thẳng trong cùng một mặt phẳng, điều
này rất quen thuộc khi các em học trong hình học phẳng.
Nhược điểm của giải pháp này là:
Trong cách 1: Học sinh gặp khó khăn khi tìm và phát hiện ra đường thẳng
d'

, đôi khi còn ngộ nhận

nhưng thực tế

d'

không cắt

d'
d

( tức là học sinh chỉ ra một đường thẳng

d'

cắt

d

d'

trong cách 1.

2.3. Sự khác biệt của giải pháp mới so với giải pháp cũ:
Trong giải pháp cũ học sinh không được chỉ ra khó khăn và cách khắc phục
khó khăn trong quá trình giải toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Còn trong báo cáo này tác giả đưa ra việc chú trọng làm rõ và hướng dẫn học sinh
giải quyết một số khó khăn trong quy trình giải toán tìm giao điểm của đường
thẳng và mặt phẳng, góp phần giúp các em tự tin trong quá trình giải toán hình học
không gian.
2.4. Cách thức thực hiện, các bước thực hiện của giải pháp một cách cụ thể,
rõ ràng, cũng như các điều kiện cụ thể để áp dụng giải pháp.
2.4.1: Chuẩn bị các kiến thức liên quan.
*Một số tính chất thừa nhận:
− Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
− Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt không

thẳng hàng.
− Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một
mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng.
− Tính chất 4: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có một
điểm chung khác nữa.
Từ đó suy ra: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một
đường thẳng chung đi qua điểm chung đó. Đường thẳng chung đó gọi là giao
tuyến của hai mặt phẳng. Mọi điểm chung của hai mặt phẳng đều nằm trên giao
tuyến của hai mặt phẳng.
*Một số cách xác định một mặt phẳng:

5


và

song song,

b

a

a

b

và .

đồng phẳng, và có ba khả năng xảy ra:
trùng với

b

.

− Trường hợp 2: Không có một mặt phẳng nào chứa

a
a

b

và

Định lí 4: Nếu đường thẳng

d

không nằm trong mặt phẳng
(α )
(α )
d'
d
với đường thẳng
nằm trong
thì song song với
.

(α )

và

d

song song

6
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông


a

(α )



a b
,

cùng

Định lí 7: Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt này thì cũng
cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
2.4.2. Nêu, phân tích và giải pháp khắc phục một số khó khăn mà học sinh
thường gặp khi giải toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong
không gian.
a) Khó khăn thứ nhất: Học sinh lúng túng không biết với bài toán cụ thể thì nên
dùng theo cách 1 hay cách 2.
Sở dĩ các em gặp khó khăn này là do các em chưa phân biệt được khi nào thì
nên làm theo cách 1 và khi nào thì nên làm theo cách 2. Để khắc phục khó khăn
(α )
này giáo viên có thể gợi ý cho các em: Hãy quan sát trong mặt phẳng
, nếu có
d'

d'

ngay đường thẳng
thì ta dùng cách 1 còn nếu không có
thì ta chuyển sang
cách 2. Ở đây lại đặt ra vấn đề là hướng dẫn các em nên quan sát như thế nào để
d'

tránh ngộ nhận hình? Vì thực tế có nhiều học sinh chỉ ra đường thẳng
chưa

VD1 : Cho tứ diện ABCD,gọi M,N lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh
AB,AC của tứ diện sao cho MN không song song với BC. Tìm giao điểm của
đường thẳng MN với mặt phẳng (BCD)

Phân tích bài toán: Trong mặt phẳng (BCD) sẵn có các điểm B,C,D. Nối hai điểm
trong ba điểm này ta có một số đường thẳng sẵn có trong mặt phẳng (BCD) là:
BC,BD,CD. Trong ba đường thẳng này chỉ có BC thuộc cùng mặt phẳng (ABC)
với MN, mặt khác theo giả thiết BC và MN không song song với nhau nên BC cắt
d'

MN. Vậy BC chính là đường thẳng .
Lời giải:
Trong (ABC) có: MN không song song với BC nên ta gọi MN cắt BC tại I
 I ∈ MN
 I ∈ MN
⇒
⇒
⇒ I = MN ∩ ( BCD)
 I ∈ BC
 I ∈ ( BCD)
VD2: Cho tứ diện ABCD, gọi K là trung điểm của AD, G là trọng tâm của tam
giác ABC. Tìm giao điểm của GK và mặt phẳng (BCD).
A

K

B

G
D

⇒
⇒ I = GK ∩ ( BCD)
 I ∈ GK
 I ∈ GK
MD cắt GK tại I
*Khó khăn thứ hai là: Khi học sinh đã xác định làm theo cách 2 thì học sinh lại
(β )
gặp khó khăn khi đi tìm mặt phẳng
, các em cũng thường mắc phải lỗi ngộ
nhận hình vẽ.
Biện pháp khắc phục: Giáo viên gợi ý cho học sinh nhớ lại một số cách xác định
mặt phẳng:
- Hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau xác định một mặt phẳng.
- Ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một mặt phẳng.
- Một điểm và một đường thẳng không đi qua nó xác định một mặt phẳng.
(β )
Từ đó có thể hướng dẫn học sinh tìm mặt phẳng
bằng một trong các cách sau:
Cách 1: Chúng ta quan sát xem

d

có thể cắt hoặc song song với những đường
(β )
d'
d
d'
thẳng
nào thì mặt phẳng chứa và
có thể là mặt phẳng

a
a
(Ví dụ A thuộc ). Khi đó mặt phẳng
có thể là mặt phẳng chứa và B.
9
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông


VD3: Cho tứ diện ABCD, gọi K là trung điểm của AD, G là trọng tâm của tam
giác ABC. Tìm giao điểm của GK và mặt phẳng (BCD).
A

K

P
G

N

D

B
M
I
C

Phân tích và hướng dẫn học sinh tìm lời giải:
Trước hết chúng ta cần quan tâm xem GK có thể nằm trên mặt phẳng nào?
Cách 1: Quan sát GK có thể song song hoặc cắt những đường thẳng nào?
Dễ thấy GK có thể cắt các đường thẳng như: AD, BN,AM,CP.

NK//CD nên cắt (BCD) theo giao tuyến
đi qua B và song song với CD.
cắt
GK tại I thì I là giao điểm của GK với mp(BCD). K

B

G

N
D

M
Giáo viên: LêIThị Hà – THPT Lý Nhân Tông

10

C


Cách 2: Dựa vào hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau lần lượt chứa hai điểm
(β )
của đường thẳng GK để xác định mặt phẳng
.
Phân tích và tìm lời giải:
Ta có K là trung điểm của AD như vậy K thuộc đường thẳng AD, G là trọng tâm
của tam giác ABC nên G có thể thuộc các đường trung tuyến AM,BN,CP của tam
giác ABC. Nhưng trong ba đường AM,BN,CP thì chỉ có đường thẳng AM là cắt
đường thẳng AD do đó chúng xác định một mặt phẳng đó là mặt phẳng (AMD),
hai đường thẳng còn lại thì không đồng phẳng với đường thẳng AK. Vậy GK nằm

GM
DK
Suy ra GK không song song với DM.
11
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông


 I ∈ DM

GK ∩ DM = I ⇒ 

 I ∈ GK

Gọi

 I ∈ ( BCD)

⇒

 I ∈ GK

⇒ GK ∩ ( BCD) = I

Cách 3: Ta có K là trung điểm của AD như vậy K thuộc đường thẳng AD, G là
trọng tâm của tam giác ABC nên A, G, D không thẳng hàng do đó xác định mặt
phẳng (AGD) hay (AMD) chứa GK và cắt (BCD) theo giao tuyến MD. Từ đó giao
điểm I của GK và MD chính là giao điểm của GK với (BCD).
Tương tự như vậy chúng ta có thể chỉ thêm các mặt phẳng (CPK), (BNK) chứa
GK và cắt (BCD) theo những giao tuyến đã chỉ ra trong cách 1. Từ đó dễ dàng xác
định được giao điểm của đường thẳng GK và mặt phẳng (BCD).

⇒
⇒
⇒ AC '∩ ( BDD ' B ') = I
 I ∈ AC '
 I ∈ AC '
Cách 2:

12
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông


Phân tích: Hai điểm A, C’ của đường thẳng AC’ lần lượt nằm trên hai đường
thẳng song song AC và A’C’. Do đó AC’ nằm trong mặt phẳng (ACC’A’). Mặt
phẳng này cắt nhau theo giao tuyến OO’. Với O, O’ lần lượt là giao điểm của AC
với BD và A’C’ với B’D’. Vậy giao điểm I của AC’ với OO’ chính là giao điểm
của AC’ và mặt phẳng (BDD’B’).

A

B
O

D
C

I

A'

B'

là trung điểm của AB,AD,SC. Tìm giao điểm của mặt phẳng (MNP) với các cạnh
của hình chóp.
Phân tích và hướng học sinh tìm lời giải: Tìm giao điểm của đường thẳng SB và
mp(MNP):

13
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông


Cách 1: Kéo dài đường thẳng MN của mặt phẳng (MNP). MN nằm trên mặt
phẳng (ABCD), MN không song song với BC và CD nên MN cắt BC, CD lần lượt
tại hai điểm J, I. Nối PJ, PI ta có thêm hai đường thẳng của mặt phẳng (MNP).
Đường thẳng PJ và SB cùng thuộc mp(SBC) và cắt nhau tại F. Khi đó F là giao
điểm của SB và (MNP). Tương tự ta cũng tìm được giao điểm E của (MNP) và
SD.
S

P
E
I

C

F

D
N

B


BC, CD, SA của hình chóp không cắt mặt phẳng (MNP).
Cách 2 (Sử dụng định lí giao tuyến của ba mặt phẳng):
Giả sử SB cắt mặt phẳng (MNP) tại F. Khi đó PF chính là giao tuyến của mặt
phẳng (MNP) với mặt phẳng (SBC). Xét ba mặt phẳng (MNP), mặt phẳng (SBC),
mặt phẳng (ABCD) cắt nhau theo baSgiao tuyến là BC, MN, FP. Mà MN và BC
không song song nên chúng cắt nhau tại J. Do đó PF cũng đi qua J. Vậy F chính là
giao điểm của PJ với SB. Hoàn toàn tương tự ta cũng có giao điểm E của PI với
P
SD chính là giao điểm của SD với mặt
phẳng (MNP).
E
I

C

F

D
N

J

B

M

Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông

A


Q
C

Lời giải:
Trong mặt phẳng (ABC) kẻ MQ//AB,Q thuộc đoạn AC
NP / / AB ⇒ NP / / MQ
Lại có:

15
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông


⇒

M,N,P,Q đồng phẳng
⇒ Q ∈ ( MNP) ⇒ AC ∩ (MNP ) = Q
Cách 2: (Sử dụng hệ quả định lí giao tuyến của ba mặt phẳng):
Giả sử AC cắt (MNP) tại điểm Q. Khi đó MQ chính là giao tuyến của mặt phẳng
(MNP) và (ABC) . Xét hai mặt phẳng (MNP), mặt phẳng (ABC) lần lượt chứa hai
đường thẳng NP và AB song song với nhau, do đó giao tuyến MQ song song hoặc
trùng với AB. Mặt khác MQ không trùng với AB nên MQ song song với AB. Vậy
trong mặt phẳng (ABC) qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại Q.
Khi đó Q chính là giao điểm của (MNP) với AC.
D

N

P

B

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD. M và N tương ứng là các điểm thuộc các cạnh SC
và BC. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN).
Bài 4: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm
của BC, B’C’, K là một điểm trên đoạn MM’. Tìm giao điểm của đường thẳng
A’K với mặt phẳng (ABC).

α

Bài 5: Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng ( ) có hai cạnh AB và CD không

α

song song. Gọi S là điểm nằm ngoài mặt phẳng ( ) và M là trung điểm đoạn SC.
Tìm giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB).
Bài 6: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm
của CD và mặt phẳng (MNP).
Bài 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và
CD, trên cạnh AD lấy điểm P không trùng với trung điểm của AD.
a) Tìm giao điểm E của MP và mặt phẳng (BCD).
b) Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng (MNP).
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Trong mặt phẳng
đáy vẽ đường thẳng
d

d

đi qua A và không song song với các cạnh của hình bình

hành,

17
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông


α

Bài 14: Trong mặt phẳng ( ) cho hình bình hành ABCD. Qua A,B,C,D lần lượt
vẽ bốn đường thẳng

a, b, c, d

α

song song với nhau không nằm trên ( ). Trên

a, b, c
d

lần lượt lấy ba điểm A’,B’,C’ tùy ý. Xác định giao điểm D’ của đường thẳng
với mặt phẳng (A’B’C’).
Bài 15: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, M’ lần lượt là trung
điểm của các cạnh BC và B’C’,

d

là giao tuyến của hai mặt phẳng (AB’C’) và
d

(BA’C’). Tìm giao điểm G của đường thẳng
với mặt phẳng (AM’M). chứng

sao cho AB’ vuông góc với SB, AD’ vuông góc với SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt
SC tại C’. Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’.

a

Bài 21: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên
tạo với đáy một góc 600. Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng đi qua AM và
song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF.
* Điều kiện áp dụng giải pháp:
-Về phía học sinh: Yêu cầu học sinh nắm chắc các kiến thức đại cương về đường
thẳng và mặt phẳng, nắm chắc cách xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, nắm
chắc các tiên đề và các tính chất của hình học phẳng, nắm chắc một số định lí về
18
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông


quan hệ song song trong không gian, có niềm yêu thích môn Toán, yêu thích hình
học không gian.
-Về phía giáo viên: Hướng dẫn tỉ mỉ cho học sinh và thường xuyên nhắc lại các
kiến thức lí thuyết cũ có liên quan, nhất là các kiến thức về hình học phẳng mà các
em đã biết, đồng thời vừa giới thiệu kiến thức mới vừa mô hình hóa những kiến
thức mới thông qua những hình ảnh thực tế trong phòng học để học sinh dễ dàng
chiếm lĩnh và trải nghiệm kiến thức.
Quá trình tôi nghiên cứu đưa ra kết quả của giải pháp như sau:
Khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy thực tế ở lớp 11A 4,
năm học 2014 – 2015 thì trong đề thi kiểm tra 45’ hình học có câu:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của
hai đường chéo AC và BD. Xác định giao điểm của các cạnh hình chóp với mặt

α

hoàn thiện sáng kiến : “Một số biện pháp khắc phục khó khăn khi giải bài toán tìm
giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian” giảng dạy trên lớp
11A3 trong năm học 2015 – 2016 thì đã đạt được kết quả thiết thực sau:
Trong đề trong đề thi kiểm tra 45’ hình học có câu:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của
hai đường chéo AC và BD. Xác định giao điểm của các cạnh hình chóp với mặt

α

phẳng ( ) đi qua O, song song với AB và SC.
Kết quả kiểm tra:
Số học sinh làm được câu Số học sinh làm không làm được
tìm giao điểm của đường câu tìm giao điểm của đường
19
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông


Lớp 11A3
Tỉ lệ

thẳng và mặt phẳng.
24/29
82,75%

thẳng và mặt phẳng.
5/29
17,25%

Biểu đồ so sánh kết quả kiểm tra của hai lớp 11A4 và lớp 11A3.
Như vậy tỉ lệ phần trăm các em học sinh làm được bài toán tìm giao điểm của

là do chính tôi suy nghĩ và biên soạn, thực
Trường
THPT
Lý
Nhân
Tông
xác
nhận
nghiệm. Tôi xin chịu trách nhiệm trước đã
các cơ quan quản lý và pháp luật của nhà
áp
dụng
sáng
kiến
kinh
nghiệm
của
tác
giả
nước về lời cam đoan này!
Lê Thị Hà thuộc lĩnh vực môn Toán
HIỆU TRƯỞNG
TÁC GIẢ

20
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông


TÀI LIỆU THAM KHẢO