Đặt vấn đề
Sau nhiều năm dạy toán học ở bậc trung học cơ sở, tôi nhận thấy khái niệm
cực trị không đợc xây dựng thành một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh mà chỉ hình
thành từng bớc cho học sinh qua một số bài tập trong sách giáo khoa. Nhng các
bài toán cực trị lại là một vấn đề thờng gặp trong các kỳ thi, các đợt kiểm tra hàng
năm. Do đó việc hình thành khái niệm cực trị một cách hệ thống cho học sinh và
việc giải quyết các baì toán này của học sinh còn gặp nhiều trở ngại. Xuất phát từ
những kinh nghiệm có đợc của bản thân qua thực tế giảng dạy, từ những kiến thức
mà tôi đã lĩnh hội đợc trong chơng trình đại học toán và sự tìm hiểu thêm các tài
liệu tham khảo, đặc biệt là sự hớng dẫn tận tình của các Thầy, Cô giáo. Tôi mạnh
dạn chọn đề tài : Những bài toán cực trị trong chơng trình Trung học cơ sở
làm đề tài điều kiện tốt nghiệp của mình.
Qua đề tài, tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này,
tự phân loại đợc một số dạng toán về cực trị, nêu lên một số phơng pháp giải cho
từng dạng bài tập. Từ đó giúp học sinh có thể dễ dàng hơn trong việc nắm các
kiến thức về dạng toán này. Tôi hy vọng có thể giúp học sinh phát triển t duy sáng
tạo, khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua các bài tập góp phần nhỏ
nâng cao hiệu quả giờ học của học sinh.
Nội dung đề tài gồm 3 phần:
Phần I : Khái quát chung.
Phần II : Các bài toán cực trị trong đại số.
Phần III : Các bài toán cực trị trong hình học.
20
Phần I :
Khái quát chung
A/Mục đích yêu cầu:
1/ Đối với giáo viên:
- Xây dựng đợc cơ sở lý thuyết để giải bài toán cực trị.
- Tuyển chọn, phân loại đợc các dạng bài tập cơ bản và nêu lên các phơng
pháp chính giải từng loại về bài toán cực trị.
- Dự đoán đợc các sai sót của học sinh, nêu đợc những điểm cần chú ý khi

0
,z
0
...) sao cho F(x
0
,y
0
,z
0
...) = A, thì A gọi là giá trị lớn nhất
của F (x
0
,y
0
,z
0
...) trên D. Ký hiệu max F (x
0
,y
0
,z
0
...) = A
Tơng tự, nếu F (x
0
,y
0
,z
0
...)


a (hoặc

A)
(Với A; a là hằng số)

(x,y,z...)

D
Bớc 2: Chỉ ra đợc (x
0
,y
0
,z
0
...)

D sao cho F (x
0
,y
0
,z
0
...) = a (hoặc = A)
Phần II
20
một số bài toán cực trị trong đại số
I/ Cực trị của hàm đa thức một biến:
1.1- Phơng pháp:
Đa về dạng: f (x) = k


0 dấu =

x = 1
Nên A > 0
Nhng không thể kết luận đợc min A = 0 vì không đồng thời xảy ra dấu đẳng
thức.
Do vậy ta phải giải nh sau:
A = (x+2)
2
+ (x-1)
2
= x
2
+ 4x + 4 + x
2
- 2x + 1
= 2x
2
+ 2x + 5 = 2 ( x
2
+x +
2
5
)
= 2 (x
2
+ 2x
2
1

Ta có: B = - (t- 6) (t+6) = - (t
2
-36)
B = 36 - t
2


36
x = 0
Vậy B = 36 khi x
2
+ 5x = 0


x = -5

x= 0
Do đó: max B = 36 Khi


x = -5
1.2- Một số nhận xét:
- Dựa vào tính biến thiên của hàm số là tam thức bậc hai, ta có kết quả mỗi
tam thức bậc hai đều có một cực trị (hoặc giá trị lớn nhất, hoặc giá trị nhỏ nhất ).
- Trong bài toán cực trị, ta có thể đổi biến. Cụ thể nh ví dụ 1 ta có thể dặt
y = x + 2 kho đó A = ( y-1)
2
+ ( y-1)
2
1.3- Một số bài tập tơng tự:

2
+1
B = 5- 8x- x
2

C = -5x
2
- 4x + 1
D = 1- x- x
2

II/ Cực trị của hàm số đa thức nhiều biến số:
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức
P = 19x
2
+ 54y
2
+ 16z
2
- 16xz- 24yz + 36x + 5
Giải: P = (9x
2
+36xy+36y
2
)+(18y
2
- 24yz+8z
2
)+ (8x
2

) + 40
= 40- (x + 5)
2
- (3x- 4y)
2


40
x = -5
Vậy max Q = 40


y = -
4
15
Nhận xét:
+ Ta vận dụng kiến thức cho F = F
1
+ F
2
thì maxF = maxF
1
+ maxF
2
hay
(min F = min F
1
+ min F
2
)

+ (b- 1)
2
+ 27 + 10 (a- 2b)
Đặt a- 2b = t ta đợc
D = t
2
+ (b- 1)
2
+ 27 + 10t
= (t + 5)
2
+ (b- 1)
2
+ 2

2
t + 5 = 0 a- 2b + 5 = 0 a = -3
Dấu = xảy ra khi



b- 1 = 0 b = 1 b = 1
Vậy min M = 2

b = 1; a = -3
Cách 2: Đối với đa thức nhiều biến ta có thể chọn một biến làm biến chính rồi
thêm bớt cùng một hạng tử để trở thành hằng đẳng thức bình phơng một tổng
hoặc bình phơng một hiệu
(a
1

M = a
2
- 4ab + 5b
2
+ 10a- 22b + 28
= ( a
2
+ 4b
2
+ 25- 4ab + 10a- 20b) + (b
2
- 2b + 1) + 2
= (a- 2b + 5)
2
+ (b-1)
2
+ 2
Vì (a- 2b +5 )
2


0 ; (b-1)
2


0

a,b

R

2
2
x +
2
2
4a
c
) + b(y
2
+
b
d
2
2
y +
2
2
4b
d
)-
a
c
4
2
-
b
d
4
2
+ e

2
)
2


0

x,y

R


A


ab
abeadbc
4
4
22
+


Amin =
ab
abeadbc
4
4
22
+

Giải: Ta có N

0
(x- 2y + 1)
2
= 0

Dấu đẳng thức xảy ra

(Có nghiệm)
(2x + ay + 5)
2
= 0

x- 2y + 1


Có nghiệm


2

a

1
2


a -4
2x + ay + 5 = 0

= 5 (x- 2y + 1) +
5
6
+
5
9
2
= 5 x- 2y +
5
11
+
5
9



5
9
Dấu đẳng thức xảy ra

x- 2y +
5
11
= 0


M
min
= 0


2
+ 12xy + 4y
2
+ 6x + 7
D = 2x
2
+ 9y
2
- 6xy- 6x- 12y + 2004
E = x
2
- 2xy + 6y
2
- 12x + 12y + 45
F = (x+2y)
2
+ (x- 4)
2
+ (y- 1)
2
- 27
G = x
4
- 8xy- x
3
y + x
2
y
2
- xy

1
; min P =
Amax
1
- Nếu m < 0 ta có max P =
Amax
1
; min P =
Pmin
1
Bằng cách áp dụng các tính chất trên, ta có thể đa bài toán tìm cực trị của
phân thức về bài toán cực trị của đa thức.
3.2- Các ví dụ:
Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M =
544
3
2
+
xx
Giải: M =
544
3
2
+
xx
=
4)12(
3
2

1
Chú ý: Sẽ không chính xác nếu lập luận rằng M có tử là hằng số nên M lớn nhất
khi mẫu nhỏ nhất.
Lập luận trên có thể dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức
3
1
2

x
Mẫu thức x
2
- 3 có giá trị lớn nhất là (-3) khi x = 0
Nhng với x= 0 thì:
3
1
2

x
=
3
1

không phải là giá trị lớn nhất của
phân thức
(Chẳng hạn với x = 2 thì
3
1
2

x

xx
=
54
1254
2
22
++
+++++
xx
xxxx
(x + 1)
2


0

x
= 1 +
1)2(
)1(
2
2
++
+
x
x


0


xx
=
2
2
)1(
1112

+++
x
xxx
= 1 +
1
1

x
+
2
)1(
1

x
Đặt
1
1

x
= A ta có P = 1 +A + A
2
P = A
2

hay x = -1
Vậy min P =
4
3


x = -1
3.3- Nhận xét:
ở ví dụ 6: Phân thức có tử là hằng số, nên bài toán đa về tìm cực trị của đa
thức ở mẫu.
Trong ví dụ 7, ví dụ 8: ta đã chia tử cho mẫu vì bậc của tử và mẫu bằng
nhau. Trong ví dụ 8 là trờng hợp mẫu là bình phơng của nhị thức ta có thể đổi
biến.
3.4- Một số bài tập tơng tự:
20
Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A =
2
956
2
xx

B =
2
2
)1(
1
+
++
x

x
x
IV/ Cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối:
4.1- Kiến thức cần thiết:
a, f (x) = f (x) nếu f (x)

0
f (x) = - f (x) nếu f (x)

0
b, f (x) + g (x)

f (x) + g (x) dấu = xảy ra

f (x). g (x)

0
c, f (x) - g (x)

f (x) - g (x) dấu = xảy ra

f (x). g (x)

0
f (x)

g (x)
max f (x) = A
d, Giả sử ta có
min f(x) = a với f (x) xét trên đoạn (a

1
)
min f (x) = - max f (x) trên đoạn (a
1
,b
1
)
Chứng minh:
a, Luôn đúng theo định nghĩa
b, Với mọi f (x), g (x) ta luôn có
- f (x)

f (x)

f (x)
- g (x)

g (x)

g (x)
Cộng từng vế hai bất đẳng thức kép ta có
- (f (x) + g (x))

f (x) + g (x)

f (x) + g (x)


f (x) + g (x)



f (x) + g (x)
Ta mở rộng đợc: f (x) + g (x) + ...+ h(x)

f (x) + g (x) +...+ h(x)
Dấu đẳng thức xảy ra

f (x), g (x),..., h(x) cùng dấu.
(Việc chứng minh đơn giản)
Giải: A = x +1 + 2x + 5 + 18-3x
áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
A

x +1 + 2x + 5 + 18-3x = 24 = 24
Dấu đẳng thức xảy ra

x +1, 2x + 5, 18-3x cùng dấu


- 1

x

6
4.2- Các ví dụ:
Ví dụ 9: Tìm giá trị nhỏ nót của biểu thức sau:
A = x-1996 + x- 2000
Giải:
Cách 1: Chia khoảng để xét.
Nếu x < 1996: A = -x + 1996- x + 2000 = 3996- 2x

x + y

x +y dấu = xảy ra khi xy

0
Ta có: A = x- 1996 + x- 2000
= x- 1996 + x- 2000
= x- 1996 + 2000- x

x- 1996- x +2000 = 4
Vậy A

4

(x- 19996) (2000- x)

0

Lập bảng xét dấu:
x 1996 2000
x- 1996
- 0 + +
2000- x
+ + 0 -
(x-1996) (2000- x) - 0 + 0 -
(x- 1996) (2000- x)

0

1996

ta có f(x) < 0

x
R/

f(x) = - (x
2
- x +
4
1
+
2
1
= - (x-
2
1
)
2
-
2
1


-
2
1
Dấu = xảy ra

x =
2

2
1
4.3- Bài tập ứng dụng:
Bài tập 7: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có) của các biểu thức sau:
A = 2x- 3
B = 5- 3x + 2
C = 5 1- 4x - 1
D = x -1 + x- 4
E = 5- 2x -1
H =
32
1
+
x
I = x- 1 + x- 3 + x- 6
K = x- 1 + x + 2 + x + 3 + x + 15 + x- 16
L = x- a
1
+ x- a
2
+ ... + x- a
2m - 1

Trong đó a
1
, a
2
,..., a
2m 1
cho trớc

,y
0
) = a
P(x,y)

A

(x,y)

D
b,
),( yxp
Max
D
= A (A = const, A

0 )

(x
0
,y
0
)


)
2
1
1(

= x- 2+ x -
2
1

= x- 2+
2
1
- x = x- 2 +
2
1
- x = -
2
3
=
2
3
Dấu = xảy ra

(x- 2) (
2
1
- x)

0


4
x - 2

0


2

x

4 (*)
Giải: Điều kiện để B xác định
4- x

0
Với điều kiện (*) B

0 bình phơng 2 vế đợc
B
2
= x- 2 + 4 - x + 2
)4)(2( xx

= 2 + 2
)4)(2( xx

áp dụng bất đẳng thức Cauchy với 2 số không âm (x-2) và (4-x) ta có
2 = (x-2) + (4-x)

2

Ta có C
2
=
2
2
1
)35(
x
x


=
2
2
1
93025
x
xx

+
=
2
22
1
161625309
x
xxx

++
=


x =
5
3
Vậy min C = 4

x =
5
3
20
5.3- Bài tập ứng dụng:
Bài tập 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
A = 1996 +
xx 2
2

B =
12
2
++
xx
+
12
2
+
xx
C =
21
3


một cách hợp lý và khéo léo.
Từ điều kiện đã cho ta biến đổi đa thức về dạng có một đối số rồi giải theo
cách giải ở trên.
6.1- Các ví dụ:
Ví dụ 14: Cho hai số thực x,y thoả mãn diều kiện x
2
+ y
2
= 1. Tìm giá trị nhỏ nhất,
tìm giá trị lớn nhất của x + y.
Giải: Với x,y R ta đều có:
(x+y)
2
+ (x-y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
+ x
2
- 2xy +y
2
= 2(x
2
+ y
2
) = 2 (Vì x
2
+ y

= 1

x
2
=
2
1


x=
2
2

+
Vậy max (x+y) =
2
x = y =
2
2
min (x+y) = -
2
x = y =
2
2

Ví dụ 15: Tìm giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
N = 2x+ 3y- 4z
Biết rằng x,y,z

0 và thoả mãn hệ phơng trình

3
16
+
3
4x
=
3
x
+
3
2


N
min
(N
max
)

3
x
có giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) mà 3 > 0 cố
định

N
min
(N
max
)


3
2
+
3
2
=
3
4


x = 2, y = 0, z =
3
2
Ví dụ 16: Cho a,b,c

-1;2 thoả mãn a+ b+ c = 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A = a
2
+ b
2
+ c
2

Giải: Ta có a,b,c

-1;2


-1

c + 2
Cộng 3 bất đẳng thức trên vế với vế ta có:
a
2
+ b
2
+ c
2


a + b + c + 6


a
2
+ b
2
+ c
2


6
a=2; b = c = -1


max A= 6

b=2; a = c = - 1
c=2; a = b = - 1
6.2- Bài tập tơng tự:

< 0 thì a. f(x)

x

R
b, Nếu

= 0 thì a.f(x)

0

x

R dấu = xảy ra khi x =
a
b
2

c, Nếu

> 0 ta có bảng xét dấu:
20
X

x
1
x
2
+




4
9
max A=
4
9


y =
2
1


2- x =
4
1


x =
4
7
Ví dụ 17: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
P = 19x
2
+ 54y
2
+ 16z
2
- 16xz- 24yz+ 36 xy

Khi đó:


y = 842.z
2
- 702. 240z
2



y =- 161. 424y
2


0

x





x

0

y,z


P = f(x)

+
+
x
bax


4

1
2
+
+
x
bax


1

x và dấu = xảy ra đợc
4x
2
- ax + 4-b

0

x và dấu = cũng xảy ra đợc



4x

2
- 4 (b+1) = 0 a =

4
Vậy a = 4, b= 3 hoặc a = -4, b= 3 thì:
f(x) =
1
2
+
+
x
bax
đạt giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng 1
VIII/ Tìm cực trị dựa vào miền giá trị hàm số:
20